Решение кубического уравнения в Excel

Обновлено: 21.11.2024

Я размещаю это в Интернете, потому что некоторым учащимся это может показаться интересным. Его можно было бы легко упомянуть во многих математических курсах бакалавриата, хотя, похоже, его нет в большинстве учебников, используемых для этих курсов. Ни один из этих материалов не был обнаружен мной. -- ЕС

Вы должны знать, что решение ax 2 +bx+c=0

Существует аналогичная формула для многочленов третьей степени: решение ax 3 +bx 2 +cx+d=0 есть

(Подобная формула была впервые опубликована Кардано в 1545 году.) Или, короче,

где p = -b/(3a), q = p 3 + (bc-3ad)/(6a 2 ), r = c/(3a)

Но я не рекомендую вам запоминать эти формулы.

Помимо того, что это слишком сложно, есть и другие причины, по которым мы не обучаем этой формуле студентов, изучающих математический анализ. Одна из причин заключается в том, что мы пытаемся не учить их комплексным числам. Комплексные числа (т. е. рассмотрение точек на плоскости как чисел) — более сложная тема, которую лучше оставить для более углубленного изучения. Но тогда единственные числа, которые нам разрешено использовать в исчислении, — это действительные числа (то есть точки на прямой). Это накладывает на нас некоторые ограничения — например, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Недостаток формулы Кардана в том, что она может использовать такие квадратные корни на промежуточных этапах вычислений, даже если эти числа не фигурируют в задаче или ее ответе.

Например, рассмотрим кубическое уравнение x 3 -15x-4=0. (Этот пример был упомянут Бомбелли в его книге в 1572 году.) Эта задача имеет действительные коэффициенты и имеет три действительных корня для ответов. (Подсказка: один из корней — небольшое положительное целое число; теперь вы можете найти все три корня?) Но если мы применим формулу Кардано к этому примеру, мы используем a=1, b=0, c=-15, d=- 4, и мы обнаруживаем, что нам нужно извлечь квадратный корень из -109 в результирующем вычислении. В конце концов, квадратные корни из отрицательных чисел сокращаются позже в вычислениях, но это вычисление не может быть понято изучающим математику без дополнительного обсуждения комплексных чисел.

Есть аналогичная формула и для полиномов 4-й степени, но ее гораздо хуже записывать; Здесь даже пробовать не буду.

Excel имеет множество функций, которые могут выполнять различные задачи. Помимо выполнения различных статистических, финансовых анализов, мы можем решать уравнения в Excel. В этой статье мы проанализируем популярную тему «Решение уравнений в Excel».

В этой статье мы будем решать различные виды уравнений, такие как кубические, полиномиальные, линейные, квадратичные, с различными функциями Excel.

Решение полиномиальных уравнений в Excel

Полиномиальное уравнение/функция может быть квадратным, линейным, четверным, кубическим и т. д. Полиномиальные уравнения не содержат отрицательной степени своих переменных. Примеры различных полиномиальных уравнений приведены ниже.

1) Одночлен: y=mx+c
2) Бином: y=ax 2 +bx+c
3) Трехчлен: y=ax 3 +bx 2 +cx+d

Что касается метода прямого вычисления, мы также обсудим в этой статье другие методы, такие как Goal Seek, Array и Solver, для решения различных полиномиальных уравнений.

Решение кубического уравнения в Excel с помощью поиска цели

Допустим, у нас есть кубическое уравнение Y=5x 3 -2x 2 +3x-6. Мы будем решать это уравнение для нахождения значения «X» с конкретным значением «Y». Здесь мы будем использовать функцию поиска цели Excel, чтобы решить уравнение. Процедура приведена ниже.

  • Сначала установите коэффициенты в разных ячейках.
  • Установите начальное значение X равным «0» в ячейке B6.
  • После этого запишите уравнение полинома в ячейку G3 относительно ячеек коэффициентов и начального значения X.

  • Теперь на вкладке "Данные" выберите параметр "Поиск цели" в разделе "Прогноз".

  • В диалоговом окне "Поиск цели" введите следующие данные и нажмите "ОК".

  • Функция поиска цели выполнит несколько итераций для окончательного значения Y, которое в этом примере установлено равным 15.

  • После того, как поиск цели завершит свою работу, вы увидите, что начальное значение X и ячейка, в которую была помещена формула, изменены. Теперь начальное значение показывает значение X, когда значение Y становится равным 15.

Решение кубического уравнения в Excel с помощью Решателя

Вы также можете использовать функцию "Решатель" Excel для решения кубических уравнений. Давайте решим предыдущее уравнение для лучшего понимания.

  • Сразу после ввода уравнения в ячейке G3 нажмите на решатель, который находится в разделе "Анализ" на вкладке "Данные".
  • В диалоговом окне "Параметры решения" выполните следующие действия и нажмите кнопку "Решить".

  • Здесь мы устанавливаем целевое значение 15. Здесь ячейка переменной B6. Поскольку это нелинейное уравнение, метод решения был выбран как GRG Nonlinear.
  • После операции будет найден следующий результат.

Решение квадратного уравнения в Excel с помощью функции поиска цели

Давайте решим квадратное уравнение Y=3x 2 +6x-5. Мы увидим, как это уравнение можно решить с помощью функции поиска цели. Процедуры приведены ниже.

  • Сначала установите коэффициенты в разных ячейках.
  • Установите начальное значение X равным «0» в ячейке B6.
  • После этого запишите уравнение в ячейку F3 относительно ячеек коэффициентов и начального значения X.

  • Теперь на вкладке "Данные" выберите параметр "Поиск цели" в разделе "Прогноз".

  • В диалоговом окне "Поиск цели" введите следующие данные и нажмите "ОК".

  • Функция "Поиск цели" вызовет некоторое раздражение из-за конечного значения Y, которое в этом примере установлено равным 12.

  • После того, как поиск цели завершит свою работу, вы увидите, что начальное значение X и ячейка, в которую была помещена формула, изменены. Теперь начальное значение показывает значение X, когда значение Y становится равным 12.

Использование решателя для решения квадратного уравнения в Excel

Вы также можете использовать функцию "Решатель" Excel для решения квадратных уравнений. Давайте решим то же уравнение для лучшего понимания.

  • Сразу после ввода уравнения в ячейке F3 нажмите на решатель, который находится в разделе "Анализ" на вкладке "Данные".
  • В диалоговом окне "Параметры решения" выполните следующие действия и нажмите "Решить".

  • Здесь мы устанавливаем целевое значение 15. Здесь ячейка переменной B6. Поскольку это нелинейное уравнение, метод решения был выбран как GRG Nonlinear.
  • После операции будет найден следующий результат.

Решение квадратного уравнения в Excel с использованием формулы

Формат квадратного уравнения: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a . Используя эту формулу напрямую, мы можем найти корни квадратной функции. На картинке ниже мы вычисляем корни квадратичных функций. Здесь корни X1 и X2.

Решение линейных уравнений в Excel с помощью матричной системы

Мы можем использовать матричную систему для решения набора линейных уравнений в Excel. Допустим, у нас есть 3 уравнения, в которых значения x, y и z неизвестны. Уравнения,

Мы будем использовать формулу X=A-1B. Где A-1 и B являются массивами. Процедура решения системы линейных уравнений приведена ниже.

  • Запишите коэффициенты при x, y и z вместе с константами в виде массива, как показано на рисунке ниже. Коэффициенты x, y и z заданы матрицей A, а константы заданы матрицей B.

  • Теперь выделите диапазон B11:D13 и запишите формулу =MINVERSE(B7:D9) и одновременно нажмите Ctrl+Shift+Enter, чтобы использовать эту формулу в качестве массива.

  • Теперь, чтобы найти результат X, выберите диапазон G11:G13 и введите формулу =МУМНОЖ(B11:D13,G7:G9) и одновременно нажмите Ctrl+Shift+Enter, чтобы использовать эту формулу в качестве массива. Эта функция возвращает матричное произведение двух массивов. Здесь B11:D13 — набор массивов A-1, а G7:G9 — набор массивов

Решение линейных уравнений в Excel с помощью решателя

С помощью решателя довольно легко найти переменные различных линейных уравнений. Процедура показана ниже.

  • Создайте на листе таблицу "Значение переменных" и оставьте несколько пробелов рядом с x, y и z.
  • Создайте еще одну таблицу, содержащую уравнения с переменными и константами.
  • В столбце "Уравнения" (столбец E) запишите уравнения =3*C7+2*C8+C9, =11*C7-9*C8+23*C9 и =8*C7-5*C8. Мы используем формулу =FORMULATEXT(), чтобы показать эти уравнения в столбце F. Константы записаны в столбце G.

  • Нажмите "Решатель" в разделе "Анализ данных".
  • В диалоговом окне «Параметры решателя» установите для параметра «Установить цели» значение $E$7, выберите параметр «Значение» и введите 8. В параметре путем изменения ячеек переменной напишите $C$7:$C$9. Снимите флажок «Сделать неограниченные переменные неотрицательными» и выберите «Симплекс LP» в параметре «Выбор метода решения».

Нажмите, чтобы увидеть полное изображение

  • Нажмите, чтобы добавить в диалоговом окне "Параметры решения".
  • В диалоговом окне "Добавить ограничение" выполните следующие действия и нажмите "Добавить".

  • Пришло время собрать информацию о последнем уравнении в качестве входных данных для решателя. Сделайте следующее и нажмите OK.

  • После этого ваши параметры решателя будут выглядеть так, как показано на рисунке ниже. Нажмите на опцию "Решить", чтобы продолжить операцию.

  • После того, как вы нажмете кнопку "Решить", вы увидите изменение значений переменных. Значения, которые вы получаете в этой таблице, являются фактическими значениями переменных x, y и z.

Примечание. После того, как вы нажмете кнопку «Решить», вы получите новое диалоговое окно «Результаты решения». Нажмите на Keep Solver Solution и нажмите OK, чтобы внести изменения в свой рабочий лист.

Загрузить рабочий файл

Заключение

В этой статье мы видим различные процессы решения самых разных уравнений. Из многих процессов Solver в Excel является лучшим вариантом. В Solver вы можете не только найти корни уравнения, но и одновременно найти значения разных переменных. Решатель в Excel упрощает решение задач линейного программирования.

Надеемся, что эта статья оправдает ваши ожидания. Ждем ваших отзывов.

Дополнительная литература

Сиам Хасан Хан

Здравствуйте! Добро пожаловать в мой профиль. Здесь я буду публиковать статьи, связанные с Microsoft Excel. Я получил степень бакалавра в области электротехники и электроники в Американском международном университете в Бангладеш. Я прилежный, целеустремленный инженер с огромной жаждой знаний и стремлением к постоянному росту. Моими девизами являются постоянное совершенствование и обучение на протяжении всей жизни.

Как правило, для нахождения корней полинома требуется использование итеративного метода (например, метода Ньютона или метода Бэрстоу). В этом нет необходимости для линейных и квадратных уравнений. Оказывается, существует безытеративный подход к нахождению корней кубического многочлена. Мы описываем этот метод здесь.

Точные корни кубического многочлена a3x 3 + a2x 2 + a1x + a0< /sub> можно найти, используя следующий подход. Здесь мы предполагаем, что a3 ≠ 0; в противном случае мы имеем квадратичный многочлен. Мы также можем предположить, что a0 ≠ 0; в противном случае x = 0 — это один корень, а остальные корни — это корни квадратного многочлена a3x 2 + а2х + а1.

Шаг 1. Поскольку a3 ≠ 0, если мы разделим обе части уравнения на a3 x 3 + a2x 2 + a1x + a0 = 0 на a3, левая сторона уравнения будет полином вида x 3 + bx 2 + cx< /em> + d с одинаковыми корнями.

Шаг 2. Затем мы делаем замену y = x + b/3, что приводит к кубическому уравнению

Упрощая, получаем

Обратите внимание, что левая часть уравнения представляет собой многочлен вида y 3 + py + q, т. е. в нем нет члена y 2. Если r является корнем этого многочлена, то поскольку x = y – b/3, то r – b/3 — корень исходного кубического многочлена.

Шаг 3. Теперь сделаем замену y = w + p/(3w), которая преобразует y 3 + py + q = 0 в

что эквивалентно

Теперь мы делаем дополнительную замену u = w 3

Это уравнение можно решить с помощью квадратичной формулы

Таким образом, существует 6 возможных значений w, хотя оказывается, что знак плюс или минус перед квадратным корнем дает те же три решения.

Шаг 4. Если бы мы знали, что u — действительное число, мы могли бы просто вычислить w как (действительный) кубический корень из u, а затем r = w – p/(3w) – b/3 будет одним корнем кубического многочлена. Как только мы нашли один корень r кубического многочлена, мы можем выразить кубический многочлен как (x–r)f(x ), где f(x) — квадратичный многочлен. Затем мы можем найти два корня f(x), используя квадратичную формулу, и эти корни будут оставшимися корнями кубического многочлена. Если вы выполните факторизацию (подобную длинному делению), предполагая, что r — действительное число, вы увидите, что f(x) = x 2 + (b+r)x – d/ р.

Поскольку u может быть мнимым числом, вместо этого мы вычислим все три кубических корня из u с помощью функции CRoots реальной статистики, как описано в разделе Полярные координаты и корни Комплексное число. Для каждого корня w из u, w – p/(3w) – b/3 является корнем исходного кубического многочлена. В этих вычислениях используется арифметика комплексных чисел, даже если корни действительны.

Наблюдение: если Q 2 + P 3 2 + P 3 > 0, то кубический многочлен имеет один действительный корень и два мнимых корня. корни. Если Q 2 + P 3 = 0, то кубический многочлен имеет один (действительный) тройной корень (а именно –b/3), когда P = 0, и один (действительный) двойной корень и один (действительный) одиночный корень, когда P ≠ 0.

Если кубический многочлен имеет тройной корень r, то многочлен имеет вид (x–r) 3 = x 3 – rx 2 + r 2 x – r 3 , В этом случае подстановка на шаге 2 приводит к < em>p = c – b 2/3 = 3r 2 – 3r 2 = 0 и q = d + 2b 3 /27 – bc/3 = –r 3 –2 r 3 + 3r 3 = 0, поэтому уравнение y 3 + py + q = 0 становится y 3 = 0. Поскольку y = x + b/3, это означает, что x + b/ 3 = 0, т. е. тройной корень равен –b/3.

Пример 1. Найдите корни уравнения 2x 3 – 6x 2 +12x – 11

Шаг 1. Это эквивалентно нахождению корней x 3 – 3x 2 +6x – 5,5

.

Шаг 2. Пусть y = x – 1. Тогда многочлен принимает вид

Шаг 3. Таким образом, p = 3 и q = -1,5, поэтому P = 1 и Q = 0,75. Сейчас

Таким образом, u = 2 или -.5. Мы будем использовать u = 2.

Шаг 4. Затем мы вычисляем все три кубических корня из u с помощью функции CROOTS реальной статистики. Для каждого корня w w – p/(3w) – b/3 является корнем исходного кубического многочлена. В этих вычислениях используется арифметика комплексных чисел, даже если корни действительны.

Сводка расчетов показана на рис. 1. Корни полинома равны 1,46621 и 0,76689 ± 1,77849.

Рисунок 1. Нахождение корней кубического многочлена

На рисунке 2 показаны корни некоторых других репрезентативных кубических многочленов.

Рисунок 2 – Корни кубического многочлена

Функция Real Statistics: Ресурсный пакет Real Statistics предоставляет следующую функцию, где R1 — это диапазон столбцов, содержащий значения b, c, d

CubicRoots(R1) = массив 3 × 2, в котором каждая строка содержит один уникальный корень многочлена x 3 + bx 2 + cx + d; каждый корень представляет собой массив 1 × 2, где первый элемент представляет собой действительную часть корня, а второй элемент представляет собой мнимую часть.

Ссылаясь на рис. 1, результат =CubicRoots(B3,B5) такой же, как и в диапазоне B18:C20.

Кубическое уравнение — это уравнение вида ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где a,b,c и d — действительные числа. Например, x 3 -2x 2 -5x+6 = 0 и x 3 -3x 2 + 4x – 2 = 0 являются кубическими уравнениями. Первая имеет действительные решения или корни -2, 1 и 3, а вторая имеет действительный корень 1 и комплексные корни 1+i и 1-i.

ЧТО ТАКОЕ A в кубическом уравнении?

Кубическое уравнение — это уравнение, которое может быть представлено в виде ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 ax3+bx2+cx+d=0, где a , b , c , da,b,c,da,b,c,d — комплексные числа, a не равно нулю. По основной теореме алгебры кубическое уравнение всегда имеет 3 корня, некоторые из которых могут быть равными.

Как писать кубические уравнения?

Кубическое уравнение — это алгебраическое уравнение третьей степени.

Общая форма кубической функции: f (x) = ax 3 + bx 2 + cx 1 + d. А кубическое уравнение имеет вид ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где a, b и c — коэффициенты, а d — константа.

Как решить кубическое уравнение?

Общая стратегия решения кубического уравнения состоит в том, чтобы свести его к квадратному уравнению, а затем решить квадратное уравнение обычными средствами, либо факторизуя, либо используя формулу. все кубические уравнения. Так же, как квадратное уравнение может иметь два действительных корня, кубическое уравнение может иметь три корня.

Для чего используются кубические уравнения?

Кубическая модель использует кубические функции (в форме \beginax^3+bx^2+cx+d\end) для моделирования реальных ситуаций. Их можно использовать для моделирования трехмерных объектов, чтобы определить отсутствующее измерение или изучить результат изменения одного или нескольких измерений.

Кто изобрел кубическое уравнение?

Джероламо Кардано
Джероламо Кардано приписывают публикацию первой формулы для решения кубических уравнений, приписывая ее Сципионе дель Ферро.

Что после кубического?

Степень 3 – куб. 4-я степень – квартика (или, если все члены имеют четную степень, биквадратность) 5-я степень – квинтика. Степень 6 – секстическая (или, реже, гексическая)

Как быстро решить кубическое уравнение?

Что такое кубический многочлен на примере?

Многочлен, имеющий наивысшую степень 3, называется кубическим многочленом. Например, f (x) = 8×3 + 2×2 – 3x + 15, g(y) = y3 – 4y + 11 — кубические многочлены.

Как решить кубическое уравнение в Excel?

  1. Сначала установите коэффициенты в разных ячейках.
  2. Установите начальное значение X равным «0» в ячейке B6.
  3. После этого запишите уравнение полинома в ячейку G3 относительно ячеек коэффициентов и начального значения X.

Что такое кубическая функция?

Обзор урока. Кубическая функция — это любая функция вида y = ax3 + bx2 + cx + d, где a, b, c и d — константы, а a не равно нулю, или полиномиальная функция со старшим показателем, равным 3 .

Что такое дискриминант кубического уравнения?

дискриминант, в математике параметр объекта или системы, вычисляемый для помощи в его классификации или решении. В случае квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 дискриминант равен b 2 − 4ac; для кубического уравнения x 3 + ax 2 + bx + c = 0 дискриминант равен a 2 b 2 + 18abc - 4b 3 - 4a 3 c - 27c 2 .

Как решить кубическое уравнение без квадратного уравнения?

Как узнать, является ли функция кубической?

«Основная» кубическая функция — это f(x) = x 3 . Вы можете увидеть это на графике ниже. В кубической функции наибольшая степень над переменной (переменными) x равна 3. Функция коэффициента «a» делает график «шире» или «тоньше» или отражает его (если он отрицательный): константа «d» в уравнении является точкой пересечения графика по оси Y.

Как подавить кубик?

Как сдвинуть кубическую функцию вправо?

Если y = f(x + d) и d > 0, график сдвинется по горизонтали на d единиц влево. Если y = f(x + d) и d

Имеет ли трехчлен степень 2?

Если степень многочлена f(x) четная, а старший коэффициент положительный, то f(x) → ∞ при x → ±∞.
…
Полиномиальные функции.

Степень многочлена Имя функции
Постоянная функция
1 Линейная функция
2 Квадратичная функция
3 Кубическая функция

Что такое нули 2x3?

Следовательно, 3/2 является нулем многочлена 2x – 3.

Что такое кубическая последовательность?

Кубические последовательности характеризуются тем, что третья разность между их членами постоянна. Например, рассмотрим последовательность: 4,14,40,88,164,… … Глядя на это, мы видим, что третья разность постоянна и не равна нулю, это означает, что это кубическая последовательность.

Как решить кубическое уравнение на инженерном калькуляторе?

Как найти кубический многочлен?

Мы будем использовать сумму, сумму произведений и произведений, указанных в вопросе, чтобы найти кубический многочлен. сумма произведений = α+β+γ=−ba, где b — коэффициент при x2, а a — коэффициент при x3. Кроме того, у нас есть сумма произведений, взятых по два за раз, = αβ+βγ+γα=ca, где c – коэффициент при x.

Как вы расширяете кубические уравнения?

Что понимается под кубическим полиномом?

Кубический многочлен — это многочлен степени 3. Одномерный кубический многочлен имеет вид. . Уравнение, включающее кубический многочлен, называется кубическим уравнением. Решение в закрытой форме, известное как кубическая формула, существует для решений произвольного кубического уравнения.

Что такое пример кубического трехчлена?

Кубические трехчлены вида Ax^3 + Bx+^2 + Cx

Например, наибольший общий делитель трехчлена 3x^3 – 6x^2 – 9x равен 3x, поэтому многочлен в 3 раза больше трехчлена x^2 – 2x -3, или 3x*(x^2 – 2х – 3). … Например, многочлен x^2 – 2x – 3 размножается как (x – 3)(x + 1).

Что такое кубический трехчлен?

Кубический трехчлен – это трехчлен от одной переменной степени 3.

Как написать кубический корень в Excel?

Чтобы вычислить кубический корень числа в Excel, используйте оператор вставки (^) с 1/3 в качестве показателя степени в простой формуле. В этом примере формула =D3^(1/3) используется для нахождения кубического корня из 216, что равно 6.

Как вы используете решатель?

  1. В Excel 2016 для Mac: нажмите «Данные» > «Поиск решения». …
  2. После определения проблемы в диалоговом окне "Параметры решения" нажмите "Параметры".
  3. Установите флажок "Показать результаты итерации", чтобы просмотреть значения каждого пробного решения, а затем нажмите "ОК".
  4. В диалоговом окне "Параметры решения" нажмите "Решить".

Как писать многочлены в Excel?

Что такое график кубической функции?

Построение графика кубических функций дает двумерную модель функций, где x возводится в третью степень. Графики кубических функций в некотором роде аналогичны графикам квадратичных функций. В частности, мы можем использовать базовую форму кубического графика для создания моделей более сложных кубических функций.

Являются ли кубические функции четными или нечетными?

Эта кубическая с центром в точке (0, –3). Этот график симметричен, но не относительно начала координат или оси Y. Таким образом, эта функция не является ни четной, ни нечетной. … Поскольку она зеркально отражается вокруг оси Y, функция четная.

Каковы корни кубического уравнения?

Три корня x3 + ax + b — это действительные числа 2R, -R + /3I и -R — /3I. Эти четыре шага вместе составляют кубическую формулу. Он использует комплексные числа (D и z) для создания вещественных чисел (2R, -R + /3I и -R – /3I), которые являются корнями кубического многочлена x3 + ax + b.

Для чего используется дискриминант?

Дискриминант — это часть квадратной формулы под символом квадратного корня: b²-4ac. Дискриминант сообщает нам, есть ли два решения, одно решение или нет решений.

Какова стандартная форма квадратного уравнения?

Квадратичная функция имеет вид f(x) = ax 2 + bx + c, где a, b и c — числа, где a не равно нулю. График квадратичной функции представляет собой кривую, называемую параболой.

Является ли многочлен кубическим?

<р>. Кубический многочлен — это многочлен степени 3. … Уравнение, включающее кубический многочлен, называется кубическим уравнением. Решение в закрытой форме, известное как кубическая формула, существует для решений произвольного кубического уравнения.

500 лет НЕПРЕПОДАВАНИЯ КУБИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ. С чем, по их мнению, ты не справишься?

Как решать сложные кубические уравнения: пошаговое руководство

Как были изобретены мнимые числа

Факторизация кубических многочленов — алгебра 2 и предварительный расчет

решатель кубических уравнений
корни формулы кубического уравнения
пример кубического уравнения
решить кубическое уравнение
доказательство кубической формулы
как разложить кубические уравнения на множители
кубическое уравнение график уравнения
формула кубического многочлена

Читайте также: