Распределение Вейбулла в Excel

Обновлено: 21.11.2024

для x ≥ 0. Здесь β > 0 — параметр формы, а α > 0 — параметр масштаба.

Совокупная функция распределения (cdf) равна

Таким образом, обратная кумулятивная функция распределения

Наблюдение. Существует также трехпараметрическая версия распределения Вейбулла. Щелкните здесь для получения дополнительной информации об этой версии.

Интерпретация параметров

Если x представляет «время до отказа», распределение Вейбулла характеризуется тем, что частота отказов пропорциональна степени времени, а именно β – 1. Таким образом, β можно интерпретировать следующим образом:

Значение β
Значение β = 1 указывает на то, что частота отказов постоянна во времени. Это может свидетельствовать о случайных внешних событиях, вызывающих сбой или сбой.
Значение β > 1 указывает на то, что частота отказов увеличивается со временем. Это происходит, если идет процесс «старения»; например если детали с большей вероятностью изнашиваются и/или выходят из строя с течением времени.

Поскольку F(x) — это вероятность того, что время до отказа не превышает x, мы также можем определить выживаемость функция (она же функция надежности) S(x) = 1 – F(x) как вероятность выживание в течение как минимум x единиц времени.

1/α можно рассматривать как частоту отказов. Также обратите внимание, что для любых значений α и β F(α) = 0,63212.

Свойства

Рисунок 1. Статистические свойства распределения Вейбулла

Графики

На рис. 2 показано, как изменяется распределение Вейбулла при изменении значений бета и неизменного значения альфа.

Рисунок 2. Диаграмма распределения Вейбулла по бета-параметру

Функции рабочего листа

Функция Excel: Excel предоставляет следующую функцию для поддержки распределения Вейбулла, где α и β — параметры в определении 1.

WEIBULL.DIST(x, β, α, cum) = PDF распределения Вейбулла f(x), когда cum = FALSE, и cdf F(x), когда cum эм> = ИСТИНА

Эта функция недоступна в версиях Excel до Excel 2010. Вместо этого в этих версиях Excel используется эквивалентная функция WEIBULL.

Функция реальной статистики. Поскольку в Excel нет обратной функции, вы можете вместо нее использовать следующую функцию из пакета ресурсов Real Statistics.

WEIBULL_INV(p, β, α) = x, так что WEIBULL.DIST( х, β, α, ИСТИНА) = p; то есть обратное WEIBULL.DIST(x, β, α, TRUE)

Примеры

Пример 1. Время до отказа очень чувствительного экрана компьютера подчиняется распределению Вейбулла с α = 1000 часов и β = 0,6. Какова вероятность того, что экран прослужит более 5000 часов? Каково среднее время до отказа?

Вероятность того, что экран прослужит не более 5000 часов

= WEIBULL.DIST(5000, .6, 1000, ИСТИНА) = 0,92767.

Таким образом, вероятность того, что экран прослужит более 5000 часов = 1 – 0,92767 = 7,2%

MTTF = αΓ(1+1/β) = 1000Γ(1+1/.6) = 1000*EXP(GAMMALN(1 + 1/. 6)) = 1504,575 часа

Пример 2. Если среднее время наработки на отказ компонента, работающего по распределению Вейбулла, составляет 1000 часов со стандартным отклонением 400 часов, какова вероятность того, что этот компонент проработает более 2 000 часов?

Из рисунка 1 следует, что

Теперь мы решим эти уравнения для α и β. Сначала упростим второе уравнение. Затем мы берем натуральный логарифм обеих частей обоих уравнений, чтобы получить

Устранение α

что эквивалентно

Вышеупомянутое уравнение имеет форму h(β) = 0, которую мы решаем с помощью функции поиска цели Excel, выбрав «Данные» > «Прогноз|Что, если анализ» > «Поиск цели». и заполните диалоговое окно, как показано на рис. 2. Для версий Excel до Excel 2016 выберите Данные > Что, если анализ|Поиск цели.

После получения значения β мы можем вычислить значение α с помощью уравнения

Затем мы вычисляем вероятность того, что компонент прослужит более 2000 часов, используя функцию WEIBULL.DIST.

Рисунок 2. Первоначальное предположение поиска цели

После нажатия кнопки OK результат показан на рис. 3.

Рисунок 3. Результаты поиска цели

Значения α и β показаны в ячейках B5 и B3. Вероятность того, что компонент прослужит более 2000 часов, составляет 0,91 %, как показано в ячейке B6.

Ссылки

148 мыслей о «распределении Вейбулла»

Пример 1. Время до отказа очень чувствительного экрана компьютера соответствует распределению Вейбулла с α = 1000 часов и β = 0,6. Какова вероятность того, что экран прослужит более 5000 часов? Каково среднее время до отказа?

Как в этом примере определить альфа = 1000 часов? насколько я понимаю, общее количество часов, деленное на количество сбоев, это альфа-часы?

Во время работы я хочу узнать, отказало ли оборудование x раз в течение 7 часов, какова потенциальная вероятность того, что это оборудование проработает z часов?

Здравствуйте, Чарльз, есть ли простой способ получить процентное значение непрерывного распределения вероятностей в Excel?

Пример: у меня есть распределение Вейбулла, описанное формой 2 / шкалой 6. У меня есть только описательная статистика. И я хотел бы получить процентиль 0,135% от этих двух значений.

Есть ли для этого функция Excel? Как =НОРМ.С.ОБР для непрерывного нормального распределения, что эквивалентно Вейбуллу?

Предыстория: я работаю над формой Excel, где пользователь вводит описательную статистику (нормальную, вейбулла или другую) и пределы допуска, а форма отображает значения Cp.

Я знаю, что могу попасть туда, если проинтегрирую функцию плотности вероятности в пределах неизвестного интервала и получу желаемую область. Но я ищу более простой способ, который может быть доступен в Excel?

Здравствуйте, Роман!
Excel не поддерживает обратную функцию Вейбулла. Если вы устанавливаете надстройку Real Statistics для Excel (это бесплатно), вы можете использовать для этой цели функцию =WEIBULL_INV(p,beta,alpha). Кроме того, вы можете использовать формулу Excel =альфа*(-LN(1-p))^(1/бета). Это объясняется на этой веб-странице.
Чарльз

Привет, Чарльз! Это замечательный инструмент. Я пытался подобрать распределение для некоторых новых данных о клиентах, и ваш инструмент показал хорошее соответствие Weibull. Я пытаюсь получить случайные числа из распределения, чтобы предсказать новых клиентов, но получаю только одно число. =WEIBULL_INV(0,05,13839,5,84) возвращает 5,8375.

Я ожидаю, что результат будет аналогичен тому, что я получаю с помощью NORMINV, когда он дает мне случайное значение со средним значением и стандартным отклонением. Что я делаю не так?

альфа 13839,67283
бета 5,840371763
среднее действие 12885,97564
среднее значение 12820,09662
var действие 5122220,074
вар значение 6485456,301
mle -358,3200547

Распределение Вейбулла – это распределение вероятностей, которое часто используется в инженерии.

Функция плотности вероятности Вейбулла:

где x — независимая переменная, α — параметр формы, а β — параметр масштаба.

Совокупная функция распределения Вейбулла:

Дополнительная информация о дистрибутиве Вейбулла представлена на странице дистрибутива Вейбулла в Википедии

В Excel 2010 функция WEIBULL была переименована в функцию WEIBULL.DIST.

Хотя функция Вейбулла была заменена, она по-прежнему доступна в Excel 2010 (хранится в списке функций совместимости), чтобы обеспечить совместимость с более ранними версиями Excel.

Описание функции

Функция WEIBULL в Excel вычисляет функцию плотности вероятности Вейбулла или кумулятивную функцию распределения Вейбулла для заданного набора параметров.

Синтаксис функции:

Примеры функций Вейбулла

Пример 1. Функция плотности вероятности Вейбулла

Функция плотности вероятности Вейбулла с α = 3 и β = 1

На приведенной выше диаграмме справа показана функция плотности вероятности Вейбулла с параметром формы, значением альфа-канала, равным 3, и параметром масштаба, значением бета, равным 1.

Если вы хотите вычислить значение этой функции при x = 1, это можно сделать с помощью функции Вейбулла Excel следующим образом:

Это дает результат 1,10363832351433.

Пример 2. Кумулятивная функция распределения Вейбулла

Совокупная функция распределения Вейбулла с α = 5 и β = 1,5

На приведенном выше графике справа показана кумулятивная функция распределения Вейбулла с параметром формы, альфа-значением 5 и параметром масштаба, бета-значением 1,5.

Если вы хотите использовать Excel для вычисления значения этой функции при x = 2, это можно сделать с помощью функции Вейбулла следующим образом:

Это дает результат 0,985212776817482.

Дополнительную информацию и примеры функции Вейбулла в Excel см. на веб-сайте Microsoft Office.

Ошибки функции Вейбулла

Если вы получаете сообщение об ошибке функции Вейбулла в Excel, это может быть одно из следующих:

Распределение Вейбулла в Excel широко используется в статистике для получения модели для нескольких наборов данных. Исходная формула для расчета распределения Вейбулла очень сложна, но у нас есть встроенная функция в Excel, известная как функция Weibull.Dist, которая вычисляет Вейбулла. распространение.

Пояснение

Мы уже узнали, что распределение Вейбулла является непрерывным распределением вероятностей. И функция распределения Вейбулла в excel двух типов:

Кумулятивная функция распределения Вейбулла
Функция плотности вероятности Вейбулла

Единственная разница между двумя типами функции распределения Вейбулла заключается в кумулятивном логическом аргументе,

Функция кумулятивного распределения Вейбулла принимает в качестве кумулятивного аргумента True, тогда как функция плотности вероятности Вейбулла принимает в качестве кумулятивного аргумента False.

Как использовать распределение Вейбулла в Excel? (с примерами)

Чтобы использовать распределение Вейбулла, нам нужно иметь три значения: X, Alpha и Beta.

X — это значение функции.
Альфа – это параметр функции.
Бета также является параметром функции.
Накопление — это логический аргумент, который может быть истинным или ложным в зависимости от типа функции распределения Вейбулла, которую мы пытаемся использовать. Если мы используем кумулятивную функцию распределения Вейбулла, то кумулятивное значение будет истинным, или мы используем функцию плотности вероятности Вейбулла, тогда кумулятивное значение будет ложным.

КАК мы знаем, X оценивается, по которому мы оцениваем функцию, альфа и бета. Оба являются параметрами функции. Давайте воспользуемся этой функцией в Excel.

Укажите значение функции WEIBULL.DIST, например 100.

Приведенное выше значение вычисляет кумулятивное распределение Вейбулла. Для этого значение кумулятивного должно быть истинным.

Мы видели, что вставка True в значение кумулятивного дает нам кумулятивное распределительное значение Вейбулла. Если мы вставим False в кумулятивное значение, это даст нам значение плотности вероятности Вейбулла. Давайте рассмотрим первый пример.

Мы видели, что X оценивается, по которому мы оцениваем функцию. Альфа и Бета являются параметрами функции. Давайте снова воспользуемся этой функцией в Excel.

Вы еще не перевернули страницу? Те из вас, кто остался, вероятно, относятся к одной из двух категорий: те, кто знаком с анализом данных о надежности, и энтузиасты Excel, которым интересно узнать еще один способ использования этого универсального программного обеспечения. Я предполагаю, что читатели в обеих группах будут рады, что остались здесь.

Для непосвященных: анализ Вейбулла — это метод моделирования наборов данных, содержащих значения больше нуля, например данные об отказах. Анализ Вейбулла может прогнозировать срок службы продукта, сравнивать надежность конкурирующих конструкций продуктов, статистически устанавливать гарантийные политики или активно управлять запасами запасных частей, и это лишь некоторые из распространенных промышленных применений. В научных кругах анализ Вейбулла моделирует такие разнообразные явления, как продолжительность забастовок, смертность от СПИДа и вероятность землетрясений.

Учиться на примерах

Давайте пока не будем пользоваться формулами и начнем с примера анализа Вейбулла в действии. Представьте себе, что вы работаете в компании по производству игрушек, которая хочет сравнить надежность двух предложенных конструкций корпуса пружины «домкрат из коробки». Желаемая надежность при 400 000 циклов составляет 0,90. Другими словами, компания по производству игрушек хотела бы, чтобы 90 процентов корпусов пружин выдерживали не менее 400 000 циклов. Эта цель надежности математически выражается как R(400 000) 0,90. Было собрано по десять блоков с каждой из двух конструкций корпуса (конструкция A и конструкция B). Эти 20 блоков были протестированы до тех пор, пока их пружинные корпуса не вышли из строя.1 На рис. 1 показано количество циклов до отказа для каждого протестированного элемента.

Данные на рис. 1 не дают четкого представления о том, соответствует ли тот или иной проект желаемой надежности. Обе конструкции имели по крайней мере один отказ до 400 000 циклов, но очевидно, что среднее количество циклов до отказа превышает 400 000 для обеих конструкций. Сравнение средних значений выборки с использованием t-критерия Стьюдента не выявило статистической разницы между средними циклами для схемы А и средними циклами для схемы В (значение p = 0,965). Но как простая мера центральной тенденции, выборочное среднее не дает информации о разбросе или форме распределения времени отказа. Могут ли средние значения двух конструкций быть одинаковыми, но их надежность сильно различаться? Как можно более научно сравнить надежность двух предложенных конструкций?

Подготовка к анализу

Моделирование данных с помощью анализа Вейбулла требует некоторой подготовки. А пока сосредоточьтесь на данных из плана A.

1.Откройте Excel и в ячейку A1 введите метку: Design A Cycles. Введите данные об отказе для проекта А в ячейки A2:A11. Выделите ячейки A1:A11 и нажмите кнопку «Сортировать по возрастанию», чтобы упорядочить циклы отказов от меньшего к большему.

2.В ячейке B1 введите метку: Ранг. В ячейках B2:B11 введите целые числа от 1 до 10 (см. рис. 2).

3.В столбце C введите оценку доли населения, которое выйдет из строя, по количеству циклов, указанному в столбце A. Это можно сделать с помощью нескольких различных методов, наиболее распространенным из которых является медианное ранжирование. В ячейке C1 введите метку «Средние ранги». В ячейку C2 введите формулу: =((B2-0,3)/(10+0,4)). Затем скопируйте ячейку C2 вниз через ячейку C11. Обратите внимание, что в формуле медианных рангов 10 в знаменателе — это общее количество протестированных единиц конструкции A.

4.Введите в ячейку D1 метку: 1/(1-медианный ранг). Затем в D2 введите формулу: =1/(1-C2). Скопируйте ячейку D2 вниз по ячейке D11.

5.В ячейку E1 введите метку: ln(ln(1/(1-Median Rank))). В ячейке E2 введите формулу: =LN(LN(D2)). Скопируйте ячейку E2 вниз по ячейке E11.

6. Наконец, вам нужно преобразовать данные Cycles. В ячейке F1 введите метку: ln(Design A Cycles). В ячейке F2 введите формулу: =LN(A2). Скопируйте ячейку F2 вниз по ячейке F11.

7.Снова сравните свою таблицу с рисунком 2. Убедившись, что все верно, сохраните книгу.

Оценка параметров Вейбулла

Почему мы можем ожидать, что график зависимости ln(Cycles) от преобразованных медианных рангов будет представлять собой прямую линию?

Приложив некоторые усилия, кумулятивную функцию распределения Вейбулла можно преобразовать так, чтобы она отображалась в привычной форме прямой линии: Y=mX+b : Вот как:

Сравнивая это уравнение с простым уравнением для прямой, мы видим, что левая часть уравнения соответствует Y , ln x соответствует X ,� соответствует m , а - ln соответствует b . Таким образом, когда мы выполняем линейную регрессию, оценка параметра Вейбулла исходит непосредственно из наклона линии. Оценка параметра� должна быть рассчитана следующим образом: Подгонка строки к данным

Теперь вы готовы выполнить анализ Вейбулла. Прелесть этого метода в том, что вы можете ожидать увидеть прямую линию при построении данных в столбце E по сравнению с столбцом F.2 Выполняя простую линейную регрессию, вы можете получить оценки параметров, которые позволят вам делать выводы о конструкции. Надежность А.3

Во-первых, убедитесь, что надстройка Analysis ToolPak загружена в Excel. В строке меню выберите Инструменты . Надстройки. Установите флажок для Analysis ToolPak, а затем нажмите OK.

Чтобы выполнить простую линейную регрессию:

1. Находясь на только что созданной странице, в строке меню выберите Инструменты и анализ данных. Прокрутите вниз, выделите «Регрессия» и нажмите «ОК». Появится окно ввода данных.

2.В разделе "Входной диапазон Y" введите: $E$1:$E$11.

3.В поле "Входной диапазон X" введите: $F$1:$F$11.

4.Нажмите, чтобы добавить флажок в поле "Ярлыки".

5. В разделе "Параметры вывода" выберите "Новый слой рабочего листа".

6.Нажмите, чтобы добавить галочку в поле "Графики с линейным соответствием".

7.Нажмите "ОК". Excel выполнит регрессию и поместит результат на новый лист.

Переформатирование вывода

Прежде чем интерпретировать вывод, вам нужно немного привести его в порядок. Столбцы не настраиваются автоматически на оптимальную ширину. Для этого на только что созданном рабочем листе щелкните заголовок столбца A и перетащите его к заголовку столбца I. Теперь дважды щелкните границу справа от заголовка любого столбца. Ваша таблица должна выглядеть примерно так, как показано на рис. 3.

Теперь прокрутите вправо и щелкните один раз по графику. Растяните график, нажав и перетащив маркер в правом нижнем углу. В строке меню, по-прежнему выделенный график, нажмите «Просмотр» . Окно диаграммы. Переформатируйте график в соответствии с вашими предпочтениями. Лучше всего использовать сплошную линию без точечных маркеров для прогнозируемой линии и удалить легенду. Кроме того, переместите горизонтальную ось, щелкнув правой кнопкой мыши по вертикальной оси, выбрав «Формат оси», щелкнув вкладку «Масштаб» и изменив «Значение (X) пересекает ось в» на -3 (см. рис. 4). ).

В ячейке A19 введите метку: Beta (или параметр формы)=. В ячейке B19 введите формулу: =B18. В ячейке A20 введите метку: Alpha (или Character Life)=. В ячейке B20 введите формулу: =EXP(-B17/B18). Ваши результаты должны быть очень похожи на рисунок 3. Для варианта A b = 4,25 и a = 693 380,4

Идентичный анализ с использованием данных плана B дает a� = 2,53 и an = 723 105.

Интерпретация результатов

Параметр формы Вейбулла, называемый , указывает, увеличивается ли частота отказов, остается ли она постоянной или уменьшается. A = 1,0 указывает на постоянную частоту отказов. Часто компоненты, пережившие приработку, впоследствии демонстрируют постоянную частоту отказов. >1,0 указывает на увеличение частоты отказов. Это характерно для продуктов, которые изнашиваются. Так обстоит дело с корпусами пружин - обе конструкции А и В имеют значения намного выше 1,0. Корпуса выходят из строя из-за усталости, т. е. изнашиваются.

Характеристический срок службы Вейбулла, называемый , является мерой масштаба или разброса в распределении данных. Так получается, что равно количеству циклов, при которых 63,2 процента изделия вышли из строя. Другими словами, для распределения Вейбулла R( = 0,368, независимо от значения . Например, для корпусов конструкции A около 37 % корпусов должны выдержать не менее 693 380 циклов.

Несмотря на то, что это интересно, из этого по-прежнему не видно, соответствует ли какой-либо из готовых решений целевому показателю надежности R(400 000) 0,90. Для этого вам нужно знать формулу надежности в предположении распределения Вейбулла:

где x — время (или количество циклов) до отказа.

Формула выглядит устрашающе, но просто подставив известные значения для , и x , можно получить желаемую оценку надежности.

Вычисление приведенных выше формул может быть запутанным и трудоемким с использованием калькулятора. Кроме того, вы не можете визуализировать или сравнить надежность каждой конструкции для нескольких значений цикла. Excel предлагает лучший способ.

Создание таблицы калькулятора надежности

1. В рабочем листе выходных данных регрессии Design A выделите и скопируйте ячейки A19:B20.Активируйте новый слой рабочего листа и поместите курсор в ячейку A1. Выберите Изменить . Специальная вставка, нажмите «Значения» и нажмите «ОК». Это вставит ваши метки и значения в ячейки A1: B2 нового рабочего листа. При необходимости измените размер столбцов.

2.В ячейке D1 введите метку Cycles.

3.В ячейках D2:D11 введите значения от 100 000 до 1 миллиона с шагом 100 000.

4.В ячейке E1 введите метку Вероятность выживания.

5.В ячейке E2 введите формулу =WEIBULL(D2,$B$1,$B$2,ИСТИНА).

6. Скопируйте ячейку E2 вниз по ячейке E11.

7.В ячейке F1 введите метку: Надежность.

8.В ячейке F2 введите формулу: =1-E2.

9. Скопируйте ячейку F2 вниз по ячейке F11.

10. Измените формат ячеек по желанию. Сравните свой рабочий лист с верхней частью рисунка 5.

Вы создали калькулятор надежности Weibull. Вы указываете интересующие циклы и , а Excel вычисляет надежность за вас. Просто изменив входные данные в ячейках B1, B2 и D2:D11, вы можете получить оценки надежности для любого интересующего вас распределения Вейбулла.

Аналогично, иногда вам нужно вычислить количество циклов (или время до отказа), соответствующее определенному уровню надежности. Например, через какое количество циклов 99 % корпусов конструкции А выйдут из строя?

К сожалению, в Excel нет обратной функции Вейбулла. Чтобы выполнить этот расчет (называемый определением «критических значений»), выполните следующие действия:

1.В таблице калькулятора надежности Weibull введите метку и значения, как показано в ячейках C13:C18 на рис. 5.

2.В ячейке D13 введите метку Cycles.

3.В ячейке D14 введите формулу: =$B$2*(-LN(C14))^(1/$B$1).

4. Скопируйте ячейки D14 вниз по ячейке D18.

Мы обнаружили, что для конструкции А домкрата из коробки R(992 975) = 0,01, или 99 % корпусов выходят из строя через 992 975 циклов.

Создание графика выживаемости

Возможно, лучший способ сравнить надежность схемы А с надежностью конструкции Б – использовать график выживаемости. На этом линейном графике показаны вероятности выживания каждого типа жилья при различном количестве циклов. Используя формулы, описанные выше, введите данные в новый рабочий лист (см. рис. 6). Используйте Мастер диаграмм, чтобы построить диаграмму рассеяния X-Y. Выберите стили линий по вашему выбору и удалите маркеры точек. Результирующий график выживаемости выглядит так, как показано на рис. 7.

Рисунок 7 позволяет всесторонне сравнить показатели выживаемости двух дизайнов. Обратите внимание, что после 400 000 циклов уцелело около 90 % корпусов конструкции A, в то время как у корпусов конструкции B — только около 80 %. Таким образом, для заявленной цели надежности R(400 000) 0,90 конструкция A явно лучше. Однако около 10 % корпусов конструкции B выдерживают 1 миллион циклов по сравнению с менее чем 1 % корпусов конструкции A. Этот график ясно показывает важность определения цели надежности для выбора наиболее предпочтительной конструкции.

Пример гарантии

Предположим, что, выбрав вариант А как лучшую альтернативу, ваша компания планирует предоставить гарантию на коробку из коробки. Конечно, вы хотели бы выделить соответствующие средства для выполнения гарантии, чтобы не быть ошеломленным неожиданными гарантийными расходами. Вы решили установить гарантийный срок таким образом, чтобы не более 1 процента проданных устройств вышло из строя до истечения гарантийного срока. Как определить срок гарантии?

Утвержденная модель Вейбулла показывает, что 99 % корпусов должны выдерживать не менее 235 056 циклов (см. рис. 5). Маркетинговые исследования показывают, что часто используемый «чертик из коробки» срабатывает 100 раз в день. Мы обнаружили, что 235 056 циклов соответствуют примерно 6,4 годам использования.

Вооружившись этой информацией и зная, что конкуренты предлагают только двухлетнюю гарантию на свои устройства, ваша компания может предпочесть быть консервативной и предложить пятилетнюю гарантию. Это обеспечило бы превосходство над конкурентами с точки зрения маркетинга, но при этом позволило бы гарантийным расходам оставаться на желаемом уровне или ниже его.

Приведенный выше пример несколько упрощен. Заинтересованные читатели могут найти более сложные иллюстрации гарантийной стратегии с использованием анализа Вейбулла в академических статьях, таких как Jayprakash Patankar и Amitava Mitra «Effects of Warranty Execution on Warranty Reserve Costs» (Management Science , 1995).

Краткий обзор статистики

Анализ Вейбулла включает подгонку набора данных к следующей кумулятивной функции распределения (cdf):5

В прошлом возникала путаница из-за отсутствия стандартизированной номенклатуры для Weibull cdf. Ее создатель, Валодди Вейбулл, сам опубликовал несколько версий этой формулы, используя разные номенклатуры. Артур Халлинан-младший представил превосходную историю различных форм распределения Вейбулла в «Обзоре распределения Вейбулла» (Journal of Quality Technology, 1993).

Приведенный выше формат является наиболее распространенным.К сожалению, в Excel экран «Справка» для функции «=WEIBULL» дает формулу с перевернутыми параметрами и (т. Е. Характеристический срок службы помечен, а параметр формы помечен).

Сильная сторона распределения Вейбулла – его универсальность. В зависимости от значений параметров распределение Вейбулла может быть приближено к экспоненциальному, нормальному или асимметричному распределению.

Практически безграничная универсальность дистрибутива Weibull соответствует бесчисленным возможностям Excel. Проницательный аналитик данных, который понимает теорию, лежащую в основе данного анализа, часто может получить в Excel результаты, которые, по мнению других, требуют специализированного статистического программного обеспечения. В Excel анализ Вейбулла доступен большинству инженеров, имеющих опыт работы со статистикой.

Для получения дополнительной информации

<р>1. Для простоты в этой статье рассматриваются полные данные об отказах, т. е. все образцы тестировались до тех пор, пока они не вышли из строя. На практике анализ данных о надежности часто включает цензурированные данные или выборки, для которых по той или иной причине время отказа неизвестно. Часто испытания приостанавливают до того, как все образцы выйдут из строя. Или, возможно, элементы могут выйти из строя по другой причине, чем та, которая изучается.

Вопросы, связанные с анализом и интерпретацией подвергнутых цензуре данных, сложны. Неправильный анализ подвергнутых цензуре данных может привести к вводящим в заблуждение результатам, на что указывают Маргарет Макисак и Рональд Стиллман в «Предостерегающем рассказе об анализе Вейбулла» (IEEE Transactions on Reliability, 1996). Для получения дополнительных технических подробностей об анализе подвергнутых цензуре данных о жизни читатели также могут обратиться к книге Уэйна Нельсона «Прикладной анализ данных о жизни» (John Wiley & Sons, 1982) или книге Уильяма Микера и Луиса Эскобара «Статистические методы для надежных данных» (John Wiley & Sons, 1998).

<р>3. Существует множество методов оценки параметров распределения Вейбулла по набору данных. В этой статье используется метод, называемый вероятностным графиком. Читатели, интересующиеся другими методами, такими как оценка максимального правдоподобия или построение графика опасностей, могут обратиться к книге Нельсона, книге Микера и Эскобара или книге Брайана Додсона «Анализ Вейбулла с помощью программного обеспечения» (ASQ Quality Press, 1994).

<р>4. Некоторые программные пакеты могут давать несколько отличные от приведенных в этой статье оценки параметров. Это связано с тем, что эти приложения регрессируют преобразованные медианные ранги ( Y ) по преобразованным срокам службы ( X ), а не наоборот. «Исследования с моделированием показывают, что регрессия Y на X дает почти вдвое большую погрешность в оценке параметра формы, чем регрессия X на Y», — говорит Додсон. Более того, универсальное соглашение для отображения графика вероятности Вейбулла состоит в том, чтобы отобразить «ln (время жизни)» на горизонтальной оси. Метод регрессии, представленный в этой статье, автоматически создает график в этом стандартном формате.

<р>5. Тип распределения Вейбулла, обсуждаемый в этой статье, называется двухпараметрическим распределением Вейбулла. Эта простая форма подходит для большинства сценариев анализа Вейбулла. Однако, если преобразованный график данных об отказах имеет кривую, а не прямую линию, или если он больше 6,0, то для адекватного моделирования данных может потребоваться третий параметр. Третий параметр, включенный в удачно названное трехпараметрическое распределение Вейбулла, эффективно сдвигает все распределение вправо. Этот параметр местоположения чаще всего называют (греческой буквой гамма). На практике можно интерпретировать как самое раннее возможное время, в которое может произойти отказ. Конечно, никогда не может быть больше, чем значение самого раннего сбоя из набора данных. Читатели, столкнувшиеся с кривым графиком регрессии или со значением выше 6,0, должны обратиться к статье Халлинана или статье Джона Маккула «Вывод о параметре местоположения Вейбулла» (Journal of Quality Technology, 1998) для получения рекомендаций по подбору модели Вейбулла с тремя параметрами.

Об авторе

Уильям В. Дорнер (William W. Dorner) — старший инженер по качеству/технологии в компании Best Access Systems в Индианаполисе. Он является сертифицированным инженером по качеству и членом ASQ и ASA.

Читайте также: