Интервал 1 5 в слове как сделать

Обновлено: 21.11.2024

На предыдущем уроке мы познакомились с основными строительными блоками музыки — полутонами и целыми шагами. Они представляют наименьшие интервалы/движения в большинстве музыкальных произведений и дают нам формулу, по которой строятся гаммы.

Теперь мы рассмотрим более крупные интервалы — группы половинных и целых шагов, которые создают большие расстояния между шагами. Если вы когда-нибудь задавались вопросом, что означают эти числа на масштабных диаграммах (например, 1, 3, ♭6, ♭7 и т. д.), то этот урок прояснит ситуацию.

Номера интервалов указаны как в аккордах, так и в гаммах, поэтому их понимание поможет вам соединить эти два элемента, что важно для импровизации и сокращения количества ненужного времени на пробы и ошибки, затрачиваемого на создание осмысленной музыки. Кроме того, как вы обнаружите, интервалы обучения очень помогают в изучении музыки на слух.

Начните с просмотра вводного видео ниже. Далее вы найдете расшифровку видео (включая некоторые дополнительные фрагменты).

Что такое музыкальный интервал?

Интервалы — это строительные блоки музыки.

Это способ измерения и передачи расстояния и отношения между нотами, независимо от того, сложены ли они в аккорд или выложены в гамму.

Например, интервал между A и E больше, чем между A и C.

На примере интервала A–E.

Можно выразить "горизонтально", играя ноты одну за другой, что составляет основу мелодии.

Мы бы назвали это "мелодическим интервалом".

Или это может быть выражено «вертикально», играя ноты вместе, что является основой гармонии.

Мы бы назвали это "гармоническим интервалом".

Итак, тот же интервал, та же музыкальная дистанция, другое применение.

Теперь, хотя в музыкальном алфавите каждая нота обозначается буквой (A–G), интервалы представлены числами (1–7), каждое из которых соответствует определенному расстоянию между двумя нотами.

Поэтому функция нот и интервалов немного отличается.

В то время как ноты сообщают нам абсолютное положение высоты звука на нашем инструменте, интервалы относятся к начальной или эталонной высоте. Например, в приведенной ниже таблице показано, как формируются эти интервалы по отношению к трем начальным нотам (вы всегда можете вернуться к этой таблице позже, если сейчас она покажется вам слишком сложной).

Примечание: не беспокойтесь о том, используете ли вы диез (♯) или бемоль (♭) в данной степени прямо сейчас. Это станет ясно, когда мы пройдем этот урок. Просто имейте в виду, что в двенадцатитоновой (хроматической) гамме у нас есть семь «естественных» интервалов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) и пять диезов/бемолей (между натуральными). .

Таким образом, хотя до и соль, например, являются двумя отдельными нотами со своими именами, вместе они представляют собой один интервал (1–5), который может располагаться на разных высотах.

От C до G, от D до A и от E до B — один и тот же интервал (1–5), потому что все они представляют одно и то же расстояние и, следовательно, музыкальные отношения.

Кстати, у этого интервала (как и у других интервалов) есть название — совершенная квинта. Но об интервалах именования мы поговорим позже.

Примечание: музыканты часто называют способность определять эти отношения, независимо от того, с какой контрольной ноты они начинают, распознаванием относительной высоты тона. Такой музыкант услышит движение от ми к си так же, как от ля к ми, даже если проигрываются разные ноты. Именно соотношение между нотами определяет их музыкальное качество.

Вы тоже можете развить эту способность, используя хорошую программу для тренировки слуха, такую как Musical U.

Как интервалы помогают формировать подвижные фигуры и узоры

Визуально эта возможность перемещать связи заметок в разные места создает знакомые формы и узоры. Формы для аккордов. Выкройки для весов.

Например, этот образец гаммы имеет одинаковую структуру интервалов, независимо от того, начинаем ли мы его с G , A , C , D или с любой начальной ноты.

Аналогично, эта форма аккорда имеет одинаковую структуру интервала, независимо от того, позиционируем ли мы ее на B , D , E или G .

Потренировавшись, вы услышите форму на ноте B так же, как и на ноте E, даже несмотря на то, что второй звук в целом выше по высоте. Другими словами, обе позиции имеют одинаковое музыкальное качество.

Вернемся к нашему шаблону масштаба. В нем содержится несколько тонов и, следовательно, несколько интервалов по отношению к начальному или эталонному тону, иногда называемому корнем или 1 .

Используя первый экземпляр корня, посмотрите, как на анимированной диаграмме мы перемещаемся по каждому интервалу шкалы от его 1-й до 7-й степени.

Возьмем из этого паттерна всего один интервал, между его 1-м и 3-м тоном, более точно называемый 1-й и 3-й ступенью звукоряда.

Натренировав свои глаза и уши на выявление этой взаимосвязи, мы сможем настроить таргетинг на один и тот же интервал в любой позиции или тональности. с 1-го по 3-е.

Обратите внимание, что нам даже не нужно было думать о том, к какой букве алфавита мы переходим в каждой позиции. Мы просто воспользовались знакомой визуальной и звуковой связью интервала, чтобы воссоздать его в новом месте.

Распространите эту концепцию на целые паттерны или формы (как мы будем делать на протяжении всего нашего учебного пути), и вы сможете увидеть преимущества, которые интервалы дают нам в формировании знакомых подвижных отношений на шее, независимо от того, в какой тональности мы находимся. играть.

Нумерация и именование интервалов

Несмотря на то, что многие музыканты определяют интервалы исключительно по зрению и звуку, большинство из них считают полезным обозначать эти интервалы цифрами. Это также помогает общаться с другими музыкантами о том, что происходит. Вы увидите, что эти числа используются в большинстве диаграмм на моих (и других учителей) уроках. Итак, давайте выясним, откуда они берутся.

Возвращаясь к нашему шаблону масштаба.

Мы можем обозначить его первую степень как 1 — корень и, следовательно, эталон для всех остальных интервалов шкалы.
Вторая степень, мы можем обозначить это как 2, также называемое большим вторым интервалом.
Третья степень, мы можем обозначить это 3, также называемое большим 3-м интервалом.
Четвертая степень, 4, также известная как совершенная четвертая степень.
Пятая степень, 5 или совершенная 5-я степень.
Шестая степень, 6 или большая 6-я степень.
и 7-я степень, 7 или большая 7-я.

Теперь мы подошли к октаве основного тона — той же ноте и ступени гаммы, что и у 1. Некоторые музыканты предпочитают обозначать октаву как 8 . Но я думаю, что проще использовать 1 при каждом появлении корня.

Итак, всего семь степеней и, следовательно, семь интервалов по отношению к корню, который на приведенной выше диаграмме равен A.

Кстати, у этой шкалы есть название. Он наиболее известен как мажорная гамма. Так как 1 находится на A , мы называем это мажорной гаммой. Таким образом, корень определяет, какую букву мы используем в названии весов. Например, если бы корень был в до , и мы использовали ту же структуру интервалов, у нас была бы гамма до мажор.

Поэтому именно структура интервала определяет название, которое мы даем гамме после основной ноты.

Те, кто только начинает со всем этим, могут спутать числа степеней с числами интервалов. Например, если мы удалим 4-ю и 7-ю ступени из мажорной гаммы, у нас останется только пять ступеней, также известных как пентатоническаяатоническая гамма.

Но мы по-прежнему используем те же числа интервалов для оставшихся степеней — 2 3 5 и 6, поскольку они обозначают определенные положения или расстояния относительно корня .

Просто сказать, что гамма имеет пять ступеней, мало что говорит нам о ее музыкальной структуре. Но если мы скажем, что у него есть 2, 3, 5 и 6, это говорит нам что-то очень конкретное о его структуре. Он сообщает нам положение каждого градуса на шкале по отношению к 1 .

Вернемся к нашей семитоновой (гептатонической) мажорной гамме.

Что произойдет, если мы переместим вторую ступень вниз на один лад или полутон?

Теперь шкала имеет ровную вторую секунду. Также называется минорной 2-й. Итак, раньше у нас был большой 2-й интервал, а теперь мы уменьшили его до второстепенного 2-го интервала. Это наименьший интервал, существующий на обычной гитаре с ладами.

Итак, между 1 и ♭2 всего один лад или полутон. Вы должны играть эти интервалы, когда мы идем, чтобы натренировать свой слух к их звучанию.

Несмотря на то, что мы изменили только один интервал, это придает гамме совсем другое звучание, а также уникальное имя (сейчас не беспокойтесь об этом — мы изучим отдельные гаммы на их собственных уроках).

Как бы вы ни описывали этот звук, полезно знать, что его создает. При достаточной практике вы сможете услышать присутствие минорной 2-й в мелодической последовательности. Но это происходит при индивидуальном изучении весов.

Давайте вернем 2 в исходное положение.Вы можете назвать это "естественным" положением, поскольку оно не резкое и не плоское.

Что, если мы переместим 3-й таким же образом?

Как и ожидалось, мы получаем плоскую терцию, также называемую минорной терцией, ключевой интервал в минорных аккордах и гаммах. Как и минорная 2-я, минорная 3-я придает гамме особое качество при воспроизведении с другими интервалами.

Теперь мы превратили нашу мажорную гамму в минорную. А все из-за одного небольшого интервального изменения на 3 степени. Мы могли бы, если бы захотели, вместо этого сыграть минорную терцию на шестой струне, так как она представляет ту же ноту и расстояние от 1.

Вернёмся к мажору. Давайте теперь переместим 4-ю степень. Мы не можем сдвинуть его вниз, потому что 3-й там.

Давайте лучше поднимем его!

Теперь у нас есть острая четвертая, также называемая усиленной четвертой. Почему дополнено? Исторически используемый термин для диезной четверти, о котором вы можете прочитать, если вам интересно.

Просто помните, что усиление в музыке — это интервал, говорящий о диезе.

Как и другие изменения интервалов, которые мы внесли, эта увеличенная четвертая создает новую гамму с уникальным звуком.

Нам даже не нужно знать, на какой ноте он расположен. Интервалы относятся к относительным позициям.

Вернемся в исходное положение, давайте переместим пятую часть. Теперь, вот где все может стать немного запутанным. Потенциально у нас может быть ровная пятерка или острая пятерка.

Бемоль 5, также известная как уменьшенная 5-я, занимает ту же позицию, что и увеличенная 4-я! Итак, как мы узнаем, называть ли это 5-м или 4-м? Что ж, если в шкале уже есть 4, мы используем ♭5.

Вы увидите, что ♭5 используется в звукорядах, таких как приведенный ниже, вместе с минорной 2-й и минорной 3-й. Поскольку в этой шкале есть 4, мы используем уменьшенную пятую вместо увеличенной четвертой.

Примечание: когда два интервала имеют одинаковую высоту тона, например, увеличенная 4-я и уменьшенная 5-я, они называются энгармоническими. Наличие других интервалов определяет, какой из них мы используем.

Везде, где это возможно, семиградусная шкала должна быть пронумерована от 1 до 7 с указанием соответствующих бемолей и диезов, где это необходимо.

Мы также можем поднять пятую, что даст нам острую пятерку, также известную как усиленная пятая.

Но на основании правила нумерации, которое мы только что установили, если в шкале уже есть 5, позиция диезной 5 становится бемольной 6 или минорной 6-й. Например, вы услышите, как минорная шестая используется в таких гаммах, как гармонический минор.

Наконец, 7-я степень, которая может быть либо большой 7-й, просто пронумерованной 7, либо второстепенной 7-й, когда она находится в плоском положении. Минорная септима присутствует в нескольких минорных и мажорных гаммах, таких как миксолидийский, который представляет собой просто мажорную гамму с ♭7.

Одна из визуальных подсказок для определения мажорной септимы – это один лад вниз (на один полутон) от основного тона. Следовательно, мы могли бы также расположить мажорную 7-ю струну на 6-й струне, как показано на рисунке.

Морная септима всегда находится на два лада (целый шаг) ниже основного тона.

Практическая функция интервалов

Именно различные комбинации этих интервалов, будь то естественные, бемольные или диезные, дают нам различные качества гаммы, необходимые для игры на совместимых аккордах и последовательностях.

Например, если аккорд, который мы играем, минорный, мы будем знать, что минорная терция будет частью гаммы.

Если в аккорде есть минорная септаккорд, мы должны убедиться, что наш лад соответствует этому.

Но что еще более важно, интервалы определяют высоту тона каждой ступени гаммы, независимо от того, где на грифе находится корень этой гаммы.

Поэтому, хотя в гамме ля минор используются ноты, отличные от гаммы ре минор, единственные ноты, о которых нам действительно нужно знать, — это корни, поскольку интервальная структура гаммы одинакова для обоих.

Независимо от того, начинается ли минорная гамма с A , B , C , D , E и т. д., ее интервальная структура по-прежнему 1 2 ♭ 3 4 5 ♭ 6 ♭ 7. Относительное расстояние между каждым шагом в звукоряде одинаково для любого корня.

Со временем вы сможете понять, как будет формироваться чешуя на шее, просто по формуле ее нумерации. Например, 1 ♭ 2 3 4 5 ♭ 6 ♭ 7 дает нам эту шкалу, известную как фригийская доминанта.

Посмотрите, сможете ли вы добавить правильные интервалы в первой строке.

Преимущество знания того, где находится каждый интервал в шаблоне, заключается в том, что вы можете ориентироваться на определенные интервалы в своих фразах для получения желаемого звучания. Например, вы можете настроить таргетинг на 3 шкалы. Или, для более напряженного звучания, вы можете ориентироваться на ♭2. Подробнее об этом в другой раз.

Краткий обзор интервалов

В приведенной ниже таблице показан каждый интервал, включая его формулу половины/целого шага и звуковой пример его воспроизведения с использованием ссылки C (поэтому C равно 1 в каждом примере). Каждый интервал представляет определенное музыкальное расстояние и, следовательно, звук.

Интервал	Название интервала	Половина/половина шага	Услышьте
1	Perfect Unison	-	-
♭2< /td>	Вторая секунда	H	Упс. Ваш браузер не поддерживает собственное аудио. Вместо этого загрузите его здесь
2	Большая секунда	W	Скачать
♯2 ♭3	Увеличенная секунда Младшая Третий	WH	Скачать
3	Основной Третий	WW	Скачать
4	Идеально Четвертый	WWH	Скачать
♯4 ♭5< /td>	Увеличенный четвертый Уменьшенный пятый	WWW	Скачать
5	Идеальный пятый	WWWH	Скачать
♯5 ♭6	Расширенная пятая Малая шестая	WWWW	Скачать
6	Главная шестая	WWWWH	Скачать
♭7	Вторая седьмая часть	WWWWW	Скачать
7	Большая седьмая часть	WWWWWH	Скачать

По мере прохождения моих уроков числа, которые я использую на диаграммах, должны быть вам знакомы. Но что действительно важно в освоении интервальной грамотности, так это то, что вы начнете видеть и слышать движения шеи в относительном выражении, а не просто набор нот.

На практике это означает, что вы сможете воссоздать желаемый звук (на основе интервалов, из которых он построен) в любом месте грифа. Этот навык будет развиваться по мере того, как вы узнаете больше о применении мелодии и гармонии.

Если вам нужна более глубокая помощь в разблокировании мощного навыка распознавания интервалов на слух, я настоятельно рекомендую программу Musical U для тренировки слуха.

Это помогло вам?

Скажите спасибо, поделившись этим с другими гитаристами.

Пожалуйста, рассмотрите возможность пожертвования fretjam и поддержите бесплатные уроки.

Будьте в курсе и узнавайте больше

Подпишитесь на обновления и дополнительные материалы.

Кроме того, возьмите бесплатную книгу Uncommon Chords и получите личную помощь от меня, когда она вам понадобится.

Поделитесь своими мыслями.

Есть вопросы, мысли или идеи по поводу этого урока? Дайте нам знать, используя форму комментариев ниже.

Указать решение неравенства, например [latex]x\ge 4[/latex], можно несколькими способами.

Можно использовать числовую прямую, как показано на рис. 2. Синий луч начинается с точки [latex]x=4[/latex] и, как показано стрелкой, продолжается до бесконечности, что показывает, что набор решений включает все действительные числа больше или равные 4.

Можно использовать нотацию построителя множеств: [latex]\[/latex], что переводится как «все действительные числа x такие, что x больше или равно 4». Обратите внимание, что фигурные скобки используются для обозначения набора.

Третий метод — интервальная запись, в которой наборы решений обозначаются круглыми или квадратными скобками. Решения [латекс]x\ge 4[/латекс] представлены как [латекс]\влево[4,\infty \вправо)[/латекс]. Это, пожалуй, самый полезный метод, поскольку он применяется к понятиям, изучаемым позже в этом курсе, и к другим математическим курсам более высокого уровня.

Основная концепция, которую следует помнить, заключается в том, что круглые скобки обозначают решения, большие или меньшие, чем число, а скобки представляют решения, которые больше или равны или меньше или равны числу. Используйте круглые скобки для обозначения бесконечности или отрицательной бесконечности, поскольку положительная и отрицательная бесконечность не являются числами в обычном смысле этого слова и, следовательно, не могут быть «приравнены». Несколько примеров интервала или набора чисел, в которые попадает решение: [латекс]\влево[-2,6\вправо)[/латекс] или все числа между [латекс]-2[/латекс] и [латекс]6[/латекс], включая [латекс]-2[/латекс], но не включая [латекс]6[/латекс]; [латекс]\влево(-1,0\вправо)[/латекс], все действительные числа между, но не включая [латекс]-1[/латекс] и [латекс]0[/латекс]; и [latex]\left(-\infty ,1\right][/latex], все действительные числа меньше и включая [latex]1[/latex]. В таблице ниже приведены возможные варианты.

В записи интервалов используются скобки и квадратные скобки для описания наборов действительных чисел и их конечных точек.

Цели обучения

Использовать интервальную нотацию для представления наборов чисел.

Ключевые выводы

Ключевые моменты

Вещественный интервал — это набор действительных чисел, обладающий тем свойством, что любое число, лежащее между двумя числами, включенными в набор, также включается в набор.
Интервал чисел между [латекс]а[/латекс] и [латекс]b[/латекс], включая [латекс]а[/латекс] и [латекс]b[/латекс], обозначается [латекс] [а,б][/латекс]. Два числа [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] называются конечными точками интервала.
Чтобы указать, что конечная точка набора не включена в набор, квадратную скобку, заключающую конечную точку, можно заменить скобкой.
Открытый интервал не включает свои конечные точки и заключен в круглые скобки. Замкнутый интервал включает его конечные точки и заключен в квадратные скобки.
Интервал считается ограниченным, если обе конечные точки являются действительными числами. Интервал считается неограниченным, если обе конечные точки не являются действительными числами.
Замена конечной точки положительной или отрицательной бесконечностью, например, [latex](- \infty, b][/latex], указывает на то, что набор не ограничен в одном направлении или наполовину ограничен.

Ключевые термины

интервал: расстояние в пространстве.
ограниченный интервал: набор, обе конечные точки которого являются действительными числами.
открытый интервал: набор действительных чисел, не включающий его конечные точки.
конечная точка: любая из двух точек на концах сегмента прямой.
полуограниченный интервал: набор, для которого одна конечная точка является действительным числом, а другая — нет.
замкнутый интервал: набор действительных чисел, включающий обе его конечные точки.
неограниченный интервал: множество, для которого ни одна конечная точка не является действительным числом.

"Вещественный интервал" – это набор действительных чисел, в котором любое число, лежащее между двумя числами в наборе, также включается в этот набор. Например, множество всех чисел [latex]x[/latex], удовлетворяющих условию [latex]0 \leq x \leq 1[/latex], представляет собой интервал, содержащий 0 и 1, а также все числа между ними. Другие примеры интервалов включают набор всех действительных чисел и набор всех отрицательных действительных чисел.

Интервал чисел между [латекс]а[/латекс] и [латекс]b[/латекс], включая [латекс]а[/латекс] и [латекс]b[/латекс], часто обозначается [латекс ][а,б][/латекс]. Эти два числа называются конечными точками интервала.

Открытые и закрытые интервалы

Открытый интервал не включает свои конечные точки и обозначается круглыми скобками. Например, [latex](0,1)[/latex] описывает интервал больше 0 и меньше 1.

замкнутый интервал включает свои конечные точки и обозначается квадратными скобками, а не скобками. Например, [latex][0,1][/latex] описывает интервал, больший или равный 0 и меньший или равный 1.

Чтобы указать, что в этот набор включена только одна конечная точка интервала, будут использоваться оба символа. Например, интервал чисел от 1 до 5, включая 1, но исключая 5, записывается как [латекс][1,5)[/латекс].

На изображении ниже показаны открытые и закрытые интервалы на числовой прямой.

Интервалы: Представление открытых и закрытых интервалов на прямой с действительными числами.

Ограниченные и неограниченные интервалы

Интервал называется ограниченным, если обе его конечные точки являются действительными числами. Ограниченные интервалы также часто называют конечными интервалами. И наоборот, если ни одна из конечных точек не является действительным числом, интервал называется неограниченным. Например, интервал [латекс](1,10)[/латекс] считается ограниченным; интервал [latex](- \infty, + \infty)[/latex] считается неограниченным.

Набор всех действительных чисел — это единственный интервал, неограниченный с обеих сторон; пустое множество (множество, не содержащее элементов) ограничено.

Интервал, который имеет только одну конечную точку с действительным числом, называется полуограниченным или, точнее, ограниченным слева или ограниченным справа. Например, интервал [latex](1, + \infty)[/latex] является полуограниченным; в частности, он ограничен слева.

Абсолютное значение

Абсолютное значение можно рассматривать как расстояние от нуля до действительного числа.

Цели обучения

Определить абсолютное значение числа

Ключевые выводы

Абсолютное значение действительного числа можно рассматривать как его расстояние от нуля вдоль линии действительного числа.
Абсолютное значение [latex]a[/latex] обозначается как [latex]\left | a \право |[/латекс].

Ключевые термины

абсолютное значение: расстояние действительного числа от [latex]0[/latex] вдоль линии вещественного числа.

В математике абсолютное значение (иногда называемое модулем) действительного числа [latex]a[/latex] обозначается [latex]\left | а \право |[/латекс]. Это относится к расстоянию [latex]a[/latex] от нуля. Следовательно, [латекс]\левый | a \right |>0[/latex] для всех чисел. Например, абсолютное значение 5 равно 5, и абсолютное значение −5 также равно 5, поскольку оба числа находятся на одинаковом расстоянии от 0.

Абсолютное значение: абсолютные значения 5 и -5, показанные на числовой прямой.

Применительно к разнице между действительными числами абсолютное значение представляет собой расстояние между числами на числовой прямой.

История

Абсолютное значение тесно связано с математическими и физическими понятиями величины, расстояния и нормы. Термин «абсолютная стоимость» используется в этом смысле по крайней мере с 1806 г. во французском языке и с 1857 г. в английском языке. Обозначение [латекс]\left | a \right |[/latex] был введен Карлом Вейерштрассом в 1841 году. Другими названиями абсолютного значения являются «числовое значение», «модуль» и «величина».

Примеры

Ниже приведены некоторые примеры уравнений с абсолютным значением:

[латекс]\left | 7 \справа |=7[/латекс]
[латекс]\left | -2 \справа |=2[/латекс]
[латекс]-\left | 4 \справа |=-4[/латекс]
[латекс]-\left | -3 \справа |=-3[/латекс]

Наборы чисел

Набор представляет собой набор уникальных чисел, часто обозначаемых фигурными скобками: <>.

Цели обучения

Использовать набор обозначений для представления наборов чисел и описания свойств часто используемых наборов чисел

Ключевые выводы

Ключевые моменты

Набор представляет собой набор отдельных объектов и считается самостоятельным объектом. С числами набор представляет собой набор уникальных чисел, например [латекс]\влево \< 1, 2, 5, 8, 4 \вправо \>[/латекс].
В наборах порядок чисел не имеет значения; важно только, чтобы номера не дублировались.
Если каждый член множества A также является членом множества B, то говорят, что A является подмножеством B, пишется [latex]A \subseteq B[/latex] (также произносится как «A содержится в B» ). И наоборот, [латекс]В[/латекс] можно считать надмножеством [латекс]А[/латекс]. Это написано [latex]B \supseteq A[/latex].
Общими категориями наборов чисел являются натуральные числа, действительные числа, целые числа, рациональные числа, мнимые числа и комплексные числа.

Ключевые термины

супернабор: набор, содержащий другой набор.
набор: Набор уникальных объектов потенциально бесконечного размера, который не зависит от порядка содержащихся в нем объектов.
подмножество: набор, который также является элементом другого набора.

Множества — одно из самых фундаментальных понятий математики. Набор представляет собой набор отдельных объектов и считается объектом сам по себе. Например, числа 2, 4 и 6 являются различными объектами, если рассматривать их по отдельности, но когда они рассматриваются вместе, они образуют единый набор размера три, который записывается [латекс]\влево \< 2,4,6 \вправо \> [/латекс].

Определение набора

Существует два способа описания или указания членов набора. Один из способов — преднамеренное определение с использованием правила или семантического описания. Например: «[latex]A[/latex] — это множество, члены которого являются первыми четырьмя положительными целыми числами».

Второй способ описания набора — это расширение: перечисление каждого члена набора. Экстенсиональное определение обозначается заключением списка членов в фигурные скобки: [latex]C = \left \< 4, 2, 1, 3 \right \>[/latex].

поскольку расширенная спецификация означает просто то, что каждый из перечисленных элементов является членом множества.

Для множеств со многими элементами перечисление членов может быть сокращено. Например, набор из первой тысячи положительных целых чисел может быть расширен как:

где многоточие ([латекс]\cdots[/латекс]) указывает на то, что список продолжается очевидным образом. Эллипсы также можно использовать там, где множества имеют бесконечно много членов. Таким образом, множество положительных четных чисел можно записать как [латекс]\влево \< 2,4,6,8, \cdots \вправо \>[/латекс].

Подмножества и надмножества

подмножество — это набор, каждый элемент которого также содержится в другом наборе. Например, если каждый член множества [latex]A[/latex] также является членом множества [latex]B[/latex], то [latex]A[/latex] называется подмножеством [latex] Б[/латекс]. Это пишется [латекс]А \подмножество В[/латекс] (также произносится как «[латекс]А[/латекс] содержится в [латекс]В[/латекс]»). Эквивалентно, мы можем сказать, что [latex]B[/latex] является надмножеством [latex]A[/latex], что означает, что [latex]B[/latex] включает [latex]A [/latex] или [latex]B[/latex] содержит [latex]A[/latex]. Это написано [latex]B \supseteq A[/latex].

Например, [латекс]\влево \ < 1,3 \вправо \>\subseteq \влево \< 1,2,3,4 \вправо \>[/латекс].

Общие наборы

Некоторые из наиболее часто упоминаемых наборов чисел приведены ниже.

Набор натуральных чисел, также известный как "счетные числа", включает все целые числа, начинающиеся с 1 и увеличивающиеся. Множество натуральных чисел представлено символом [латекс]\mathbb[/латекс] и может быть обозначено как [латекс]\mathbb=\left \< 1,2,3,4, \cdots \right \>[/ латекс].

Набор действительных чисел включает все числа, включая отрицательные и десятичные, которые существуют в числовой строке. Набор действительных чисел представлен символом [латекс]\mathbb[/латекс].

Набор целых чисел включает все целые числа (положительные и отрицательные), включая [latex]0[/latex]. Набор целых чисел представлен символом [латекс]\mathbb[/латекс]. (Это может показаться странным, но это означает немецкий термин «Zahlen», что означает «числа».)

Набор рациональных чисел, обозначаемый символом [latex]\mathbb[/latex], включает в себя любое число, записанное в виде дроби. Символ [латекс]\mathbb[/латекс] используется, потому что Q представляет слово «частное».

Набор мнимых чисел, обозначаемый символом [латекс]\mathbb[/латекс], включает все числа, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число.

Набор комплексных чисел, обозначаемый символом [latex]\mathbb[/latex], включает в себя комбинацию действительных и мнимых чисел в виде [latex]a+bi[/ латекс], где [латекс]а[/латекс] и [латекс]b[/латекс] — действительные числа, а [латекс]i[/латекс] — мнимое число.

Факторы

Любое целое число больше единицы можно разложить на множители, что означает, что его можно разбить на меньшие целые числа.

Цели обучения

Вычисление множителей и простых множителей чисел

Ключевые выводы

Ключевые моменты

Факторизация (или факторизация) – это процесс разбиения объекта (например, числа или алгебраического выражения) на произведение других объектов или факторов, которые при умножении вместе дают исходное число или выражение.
Разложение на простые множители – это особый тип факторизации, при котором интересующее число разбивается на простые числа, которые при обратном умножении дают исходное число.
Каждое положительное целое число больше 1 имеет различную простую факторизацию.
Дерево множителей можно использовать для нахождения простой факторизации числа.

Ключевые термины

простой множитель: множитель, который также является простым числом.
фактор: любой из различных объектов, сложенных вместе, чтобы сформировать некоторое целое.
факторизация: процесс создания списка элементов, которые при умножении дают желаемое количество или выражение.
простое число: целое число больше 1, которое можно разделить без остатка только на число 1 и на себя самого.

В математике факторизация (или факторизация) – это процесс разбиения объекта (например, числа или алгебраического выражения) на произведение других объектов или множителей, которые при умножении дают исходное число или выражение. Цель факторинга — свести что-то к «основным строительным блокам». Этот процесс имеет множество реальных применений и может помочь нам решать задачи по математике.

В частности, разложение числа на множители означает его разложение на числа, которые при обратном умножении дают заданное число. Сейчас мы сосредоточимся на разложении на множители целых чисел.

Например, рассмотрим число 24. Чтобы найти множители, рассмотрим числа, которые дают произведение 24. Мы знаем, что [латекс]6 х 4 = 24[/латекс], поэтому и 6, и 4 являются множителями. числа 24. Если подумать, мы можем перечислить все числа, на которые делится 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24. Это полный список делителей числа 24.

Пример простой факторизации. Это дерево факторов показывает факторизацию числа 864. Оно показывает, что число 864 является произведением пяти двоек и трех троек. Сокращенный способ записи этих результирующих простых множителей: [латекс]2^5 \times 3^3[/латекс].

Первичная факторизация

Разложение на простые множители — это особый тип факторизации, при котором интересующее число разбивается на простые числа, которые при обратном умножении дают исходное число. Такие простые числа называются простыми множителями.

Пример 1

Например, рассмотрим число 6. Мы знаем, что [латекс]2 умножить на 3 = 6[/латекс], поэтому 2 и 3 являются делителями 6. Также обратите внимание, что 2 и 3 являются простыми числами, потому что каждое делится только на 1 и на себя. Следовательно, 2 и 3 являются простыми множителями числа 6.

Пример 2

Теперь рассмотрим число 12. Мы знаем, что [латекс]2 умножить на 6 = 12[/латекс], поэтому 2 и 6 являются делителями числа 12. Однако 6 не является простым делителем. В этом случае мы также должны привести 6 к его простым множителям. Поскольку из предыдущего примера мы знаем, что простые множители числа 6 равны 2 и 3 (поскольку [латекс]2 \times 3 = 6[/latex]), мы можем легко понять, что [латекс]2 \times 2 \times 3 = 12[/латекс]. Теперь мы нашли множители для 12, которые все являются простыми числами. Таким образом, простая факторизация для 12 равна [латекс]2 \times 2 \times 3[/latex].

Дерево факторов и простая факторизация

Каждое положительное целое число больше 1 имеет различную простую факторизацию. Чтобы разложить на множители большие числа, может быть полезно нарисовать дерево множителей.

В дереве факторов интересующее число записывается вверху. Затем находятся два множителя этого числа и соединяются ниже этого числа ветвями. Этот процесс повторяется для каждого последующего множителя исходного числа, пока все множители в нижней части ветвей не станут простыми.

Большинство онлайн-опросов в той или иной форме содержат рейтинговые шкалы. На этих шкалах вы просите людей выбрать из ряда вариантов шкалы между двумя крайними значениями. Они полезны, потому что позволяют вам задавать количественные вопросы об абстрактных понятиях, таких как удовлетворенность клиентов, предпочтения или чувства, или опыт использования продукта или услуги. При правильном выполнении они могут помочь снизить риск того, что ваши опросы содержат предвзятость и повлияют на ваши результаты. Но одна рейтинговая шкала не похожа на другую — они бывают разных форм и размеров.

Хотите узнать о других форматах вопросов, которые мы предлагаем? Посетите нашу страницу обзора вопросов , чтобы узнать больше!

Существует множество различных типов рейтинговых шкал, которые подходят для разных типов вопросов или ситуаций. Во-первых, существуют порядковые (словесные) шкалы и интервальные шкалы (числовые или числовые рейтинговые шкалы). Затем есть третий тип — графическая рейтинговая шкала, в которой могут использоваться как числа, так и слова. Ниже мы дадим определение каждому типу, поговорим об их преимуществах и недостатках и рассмотрим несколько практических примеров.

Порядковые рейтинговые шкалы

Порядковая шкала – это шкала, в которой варианты ответов выражены словами. Например, вас могут попросить оценить уровень вашего удовлетворения по шкале от «очень доволен» на одном конце до «очень неудовлетворен» на другом. Обычно они содержат максимум семь вариантов ответа, так как более семи словесных вариантов могут сбивать с толку. Поскольку в этих шкалах используются слова, расстояние между различными вариантами не поддается количественной оценке. Например, вы не можете количественно определить разницу между «очень доволен» и «в некоторой степени доволен». Хорошо известная шкала Лайкерта [HL1] представляет собой разновидность порядковой шкалы. Шкалы Лайкерта часто называют шкалами удовлетворенности, и обычно они включают нечетное количество возможных ответов с одним нейтральным вариантом посередине.

Порядковые шкалы — плюсы

Одним из самых больших преимуществ порядковых шкал является то, что, поскольку различные варианты определены, становится ясно, как будет интерпретироваться каждый ответ. Еще одним преимуществом для организаторов опросов является то, что вы можете использовать варианты ответов, когда сообщаете о своих выводах. Например, основываясь на результатах вашего опроса, вы можете сообщить, что «80 % клиентов Tesco были довольны или очень довольны своим общим опытом покупок в Интернете».

Порядковые шкалы — минусы

Недостаток порядкового номера или шкалы слов заключается в том, что людям, не владеющим языком, варианты ответов могут быть трудны для понимания. Порядковые шкалы также вынуждают респондентов выбирать из категорий, выбранных организатором опроса. И это потенциальный источник предвзятости. Лучший способ решить эту проблему — тщательно протестировать свой опрос перед его отправкой и убедиться, что вы включили категорию отказа, например «Н/Д», «Не уверен» или «Не знаю». Кроме того, тот факт, что порядковые шкалы обычно имеют максимум семь различных вариантов ответов, означает, что они менее точны, чем интервальные шкалы.

Шкалы интервальных оценок

Интервальные шкалы включают ряд пронумерованных опций, например шкалу от 1 до 10. Эти шкалы, как правило, больше, чем порядковые шкалы, и дают больше вариантов для выбора. Поскольку различные параметры пронумерованы, их часто называют числовыми или пронумерованными шкалами. При таком типе шкалы интервалы между каждым вариантом поддаются количественному измерению. Текст обычно сопровождает некоторые числа, по крайней мере, на каждом конце шкалы. Таким образом, люди, отвечающие на вопросы, будут знать, что представляет собой каждый конец шкалы, например, 1 — "удивительно" или "ужасно"?

Интервальные шкалы — плюсы

Самая большая сила интервальных шкал — их простота. Они просты для понимания и широко используются во всем мире. Еще одно преимущество состоит в том, что числовые рейтинговые шкалы легко анализировать. Вы можете обрабатывать цифры практически любым удобным для вас способом. И вы можете сделать все это сразу, так как вам не нужно кодировать, что представляет каждый ответ (как с порядковыми шкалами). Наконец, они предоставляют более точные и детализированные данные.

Шкалы интервалов — минусы

Что означает 5 баллов по шкале от 1 до 10? Это немного субъективно. Точно так же, как одни люди видят стакан наполовину пустым, а другие — наполовину полным, люди по-разному воспринимают числовые ответы. Это означает, что люди со схожими взглядами могут выбирать разные категории, поскольку их восприятие каждой категории отличается. Это потенциальный источник ошибки ответа, который затрудняет определение того, что на самом деле представляют данные. Добавление описаний того, что представляет каждый конец вашей нумерованной шкалы, либо в вопросе, либо на вашей шкале, может помочь решить эту проблему.

Графическая шкала оценок

Графические шкалы часто используются для оценки работы персонала. Обычно они изображаются в виде таблицы или матрицы со списком качеств или черт в левом столбце и рядом вариантов рейтинга в верхней строке. Варианты рейтинга могут быть либо числами, например от 1 до 5, либо сериями словесных категорий.

Ключевым преимуществом графических масштабов является простота их понимания. Они также быстро отвечают. Однако у них есть свои недостатки. Во-первых, один оценщик может быть более жестким или щедрым, чем другой. И эффект "ореола" может также означать, что сила в одной области может привести к чрезмерно щедрой оценке в других областях.

Читайте также: