Для чего используется компьютерная графика в компьютерном математическом моделировании

Обновлено: 02.07.2024

Несмотря на то, что были приложены все усилия для соблюдения правил стиля цитирования, могут быть некоторые расхождения. Если у вас есть какие-либо вопросы, обратитесь к соответствующему руководству по стилю или другим источникам.

Наши редакторы рассмотрят то, что вы отправили, и решат, нужно ли пересматривать статью.

компьютерное моделирование, использование компьютера для представления динамических реакций одной системы поведением другой системы, смоделированной по ее образцу. Моделирование использует математическое описание или модель реальной системы в виде компьютерной программы. Эта модель состоит из уравнений, которые дублируют функциональные отношения в реальной системе. При запуске программы результирующая математическая динамика формирует аналог поведения реальной системы, а результаты представляются в виде данных. Моделирование также может иметь форму компьютерной графики, которая представляет динамические процессы в анимированной последовательности.

Компьютерное моделирование используется для изучения динамического поведения объектов или систем в ответ на условия, которые невозможно легко или безопасно применить в реальной жизни. Например, ядерный взрыв можно описать математической моделью, включающей такие переменные, как тепло, скорость и радиоактивное излучение. Затем можно использовать дополнительные математические уравнения, чтобы приспособить модель к изменениям определенных переменных, таких как количество расщепляющегося материала, вызвавшего взрыв. Моделирование особенно полезно, поскольку позволяет наблюдателям измерять и прогнозировать, как на функционирование всей системы может повлиять изменение отдельных компонентов в этой системе.

Компьютеры размещают веб-сайты, состоящие из HTML, и отправляют текстовые сообщения так же просто, как. РЖУ НЕ МОГУ. Взломайте этот тест, и пусть какая-нибудь технология подсчитает ваш результат и раскроет вам его содержание.

Простое моделирование, выполняемое персональными компьютерами, состоит в основном из бизнес-моделей и геометрических моделей. К первым относятся электронные таблицы, финансовые и статистические программы, которые используются в бизнес-анализе и планировании. Геометрические модели используются во многих приложениях, требующих простого математического моделирования объектов, таких как здания, промышленные детали и молекулярные структуры химических веществ. Более продвинутые модели, например моделирующие погодные условия или поведение макроэкономических систем, обычно выполняются на мощных рабочих станциях или суперкомпьютерах. В инженерии компьютерные модели вновь спроектированных конструкций проходят симуляционные испытания для определения их реакции на нагрузку и другие физические переменные. Моделированием речных систем можно манипулировать, чтобы определить потенциальное влияние плотин и ирригационных сетей до того, как начнется какое-либо фактическое строительство. Другие примеры компьютерного моделирования включают оценку конкурентной реакции компаний на конкретном рынке и воспроизведение движения и полета космических аппаратов.

Редакторы Британской энциклопедии Эта статья была недавно отредактирована и обновлена Эриком Грегерсеном.

"Какую математику мне нужно выучить, чтобы изучать компьютерную графику?" Это, пожалуй, самый распространенный общий вопрос, который студенты задают мне о компьютерной графике. Ответ зависит от того, насколько глубоко вы хотите войти в поле. Если вы хотите начать использовать готовые графические программы, ответ таков: вам, вероятно, вообще не нужно знать математику. Если вы хотите пройти вводный курс по компьютерной графике, вам следует прочитать первые два раздела ниже с моими рекомендациями (алгебра, тригонометрия и линейная алгебра). Если вы хотите когда-нибудь стать исследователем в области графики, я считаю, что вам следует рассматривать свое математическое образование как непрерывный процесс на протяжении всей вашей карьеры.

Если вас не особо интересует математика, есть ли шанс поработать в этой сфере? Да, некоторые области компьютерной графики мало связаны с математическими идеями. Вы не должны отказываться от графики только потому, что вы не математический волшебник. Однако вполне вероятно, что у вас будет больше свободы в выборе тем для исследований, если вы готовы узнавать о новых математических идеях.

Не существует однозначного ответа на вопрос, какая математика важна в компьютерной графике. Различные области в этой области требуют различных математических методов, и ваши собственные интересы, скорее всего, приведут вас к некоторым темам и никогда не коснутся других. Ниже приведены описания ряда областей математики, которые, как мне кажется, могут быть полезны в компьютерной графике.Не думайте, что вам нужно быть экспертом в каждой из этих областей, чтобы стать исследователем графики! Я намеренно включил многие области ниже, чтобы дать достаточно широкое представление о математических идеях, используемых в графике. Однако многие исследователи никогда не сочтут нужным рассмотреть некоторые темы, которые я упомяну ниже.

Наконец, хотя из прочтения этого должно быть ясно, мнения, изложенные в этом документе, полностью принадлежат мне. Вполне вероятно, что вы получите другой список тем или, по крайней мере, другие акценты от других людей, работающих в области компьютерной графики. Теперь перейдем к списку тем.

Алгебра и тригонометрия

Алгебра и тригонометрия на уровне старшей школы, вероятно, являются наиболее важными областями, которые нужно знать, чтобы начать изучать компьютерную графику. Почти каждый день мне нужно определить одно или несколько неизвестных из простого набора уравнений. Почти так же часто мне нужно выполнить простую тригонометрию, например, найти длину ребра какой-либо геометрической фигуры на основе других длин и углов. Алгебра и тригонометрия — это предметы, которые решат такие повседневные задачи в компьютерной графике.

А как насчет геометрии, которую мы изучаем в старшей школе? Может показаться неожиданным, но наша школьная геометрия не очень часто нужна для большинства задач компьютерной графики. Причина этого в том, что геометрия в том виде, в каком ее преподают во многих школах, на самом деле является курсом построения математических доказательств. Хотя построение доказательств, безусловно, является ценным интеллектуальным инструментом, фактические теоремы и доказательства из вашего класса геометрии не часто используются в компьютерной графике. Если вы поступаете в аспирантуру в области, связанной с математикой (включая компьютерную графику), вы вполне можете доказывать теоремы, но это не обязательно для того, чтобы начать заниматься графикой.

Если вы хорошо разбираетесь в алгебре и тригонометрии, вы вполне готовы приступить к чтению вводной книги по компьютерной графике. Большинство таких книг содержат по крайней мере сокращенное введение в следующую важную область математики для компьютерной графики, а именно в линейную алгебру.

Рекомендуемая книга: "Компьютерная графика: принципы и практика" Джеймс Фоули, Андрис ван Дам, Стивен Файнер, Джон Хьюз Аддисон-Уэсли [огромная книга, но все же моя любимая]

Линейная алгебра

Идеи линейной алгебры используются во всей компьютерной графике. На самом деле, любая область, занимающаяся числовым представлением геометрии, часто собирает числа, такие как координаты x, y, z, в математические объекты, называемые векторами. Векторы и связанный с ними математический объект, называемый матрицей, постоянно используются в графике. Язык векторов и матриц — это элегантный способ описания (среди прочего) того, как объект можно вращать, сдвигать (перемещать) или увеличивать или уменьшать (масштабировать). Линейная алгебра обычно предлагается либо в старших классах средней школы, либо в колледже. Любой, кто хочет работать в области компьютерной графики, должен со временем получить прочную основу в этом предмете. Однако, как я упоминал ранее, многие учебники по графике дают разумное введение в эту тему — часто достаточно, чтобы вы могли пройти первый курс графики.

Линейная алгебра и ее приложения Gilbert Strang Academic Press

Исчисление

Знание математических вычислений – важная часть продвинутой компьютерной графики. Если вы планируете заниматься графикой, я настоятельно рекомендую получить базовые знания в области исчисления. Это верно не только потому, что это набор инструментов, которые часто используются в полевых условиях, но и потому, что многие исследователи описывают свои проблемы и решения на языке исчисления. Кроме того, ряд важных математических областей требует исчисления в качестве предварительного условия. Это единственная область математики в дополнение к базовой алгебре, которая может открыть вам больше всего дверей в компьютерной графике с точки зрения вашего будущего понимания математики.

Исчисление — это последняя из тем, которые я упомяну, которые часто вводятся в средней школе. Темы для изучения почти всегда можно найти в курсах колледжа.

Дифференциальная геометрия

Эта область математики изучает уравнения, управляющие геометрией гладких кривых и поверхностей. Если вы пытаетесь выяснить, какое направление перпендикулярно (указывает прямо от) гладкой поверхности («вектор нормали»), то вы используете дифференциальную геометрию. Движение автомобиля с определенной скоростью по криволинейной траектории также является дифференциальной геометрией. В графике существует распространенный метод создания шероховатой гладкой поверхности, известный как «рельефное отображение», и этот метод основан на дифференциальной геометрии. Если вы планируете работать с кривыми и поверхностями для создания форм (называемых «моделированием» в области графики), вам следует изучить хотя бы основы дифференциальной геометрии. Расчет с несколькими переменными является необходимым условием для этой области.

Элементарная дифференциальная геометрия Barrett O'Neill Academic Press

Численные методы

Почти каждый раз, когда мы представляем числа и манипулируем ими на компьютере, мы используем приблизительные значения вместо точных, и из-за этого всегда есть возможность закрасться ошибками. Более того, часто существует много разных подходов к решению заданных числовых проблема, и некоторые методы будут быстрее, точнее или требуют меньше памяти, чем другие. Изучение этих вопросов имеет ряд названий, включая «численные методы» и «научные вычисления». Это очень широкая область, и несколько других областей математики, о которых я упомяну, можно рассматривать как подобласти под этим зонтиком. Эти подобласти включают теорию выборки, матричные уравнения, численное решение дифференциальных уравнений и оптимизацию.

Численные рецепты на C: Искусство научных вычислений Уильям Пресс, Сол Теукольски, Уильям Феттерлинг и Брайан Фланнери Издательство Кембриджского университета [это очень ценный справочник, но обычно он не используется в качестве учебника]

Теория выборки и обработка сигналов

Снова и снова в компьютерной графике мы представляем какой-либо объект, например изображение или поверхность, в виде набора чисел, которые хранятся в обычном двумерном массиве. Всякий раз, когда мы это делаем, мы создаем «выборочное» представление объекта. Хорошее понимание теории выборки важно, если мы хотим использовать и контролировать качество таких представлений. Распространенной проблемой сэмплирования применительно к графике являются зубчатые края, которые могут появиться на силуэте объекта, когда он рисуется на экране компьютера. Появление таких зазубренных краев (одна из форм явления, известного как «алиасинг») очень отвлекает, и это можно свести к минимуму, используя хорошо понятные методы теории выборки. В основе теории выборки лежат такие понятия, как свертка, преобразование Фурье, а также пространственные и частотные представления функций. Эти идеи также важны в области обработки изображений и звука.

Преобразование Фурье и его приложения Рональд Н. Брейсуэлл МакГроу Хилл

Матричные уравнения

В компьютерной графике возникает множество задач, требующих численного решения матричных уравнений. Некоторые проблемы, для решения которых требуются матричные методы, включают: поиск наилучшего положения и ориентации для сопоставления одного объекта с другим (один из примеров задачи «наименьших квадратов»), создание поверхности, которая драпируется по заданному набору точек с минимальными складками (тонкая пластина). сплайны) и моделирование таких материалов, как вода или ткань. Матричные формулировки задач достаточно часто встречаются в графике, поэтому я отношу эту область к очень высокому месту в моем списке тем, которые нужно знать.

Матричные вычисления, Джин Голуб и Чарльз Ван Лоан, издательство Университета Джонса Хопкинса

Физика

Очевидно, что физика — это самостоятельная область изучения, а не подкатегория математики. Тем не менее, физика и математика тесно связаны друг с другом в нескольких областях компьютерной графики. Примеры графических задач, связанных с физикой, включают взаимодействие света с поверхностями объектов, отражение света в сложной среде, движение людей и животных, движение воды и ветра. Знание физики важно для моделирования всех этих явлений. Это тесно связано с решением дифференциальных уравнений, о которых я расскажу далее.

Численные решения дифференциальных уравнений

Я считаю, что методы решения дифференциальных уравнений чрезвычайно важны для компьютерной графики. Как мы только что обсуждали, большая часть компьютерной графики посвящена моделированию физических систем из реального мира. То, как образуются волны в воде и как животное ходит по земле, — два примера физической симуляции. Моделирование физических систем очень часто приводит к численному решению дифференциальных уравнений. Обратите внимание, что на самом деле это сильно отличается от символических решений дифференциальных уравнений. Символические решения являются точными ответами и обычно могут быть найдены только для чрезвычайно простых систем уравнений. Иногда курс колледжа под названием «Дифференциальные уравнения» исследует только символьные решения, и это мало поможет для большинства задач компьютерной графики.

В физическом моделировании мир разбивается на маленькие кусочки, которые представляются в виде больших векторов. Затем отношения между частями света фиксируются в элементах матриц. Решение возникающих матричных уравнений обычно выполняется не точно, а вместо этого выполняется длинная серия вычислений, которая дает приближенное решение в виде списка чисел. Это то, что касается численных решений дифференциальных уравнений. Обратите внимание, что решение матричных уравнений является неотъемлемой частью численного решения дифференциальных уравнений.

Оптимизация

Довольно часто в компьютерной графике мы ищем описание объекта или набор объектов, которые удовлетворяют какой-либо желаемой цели. Примеры включают в себя поиск положения источников света, которые придают определенное «ощущение» освещенности комнаты, определение того, как анимированный персонаж может двигать конечностями для выполнения определенного действия, а также размещение фигур и текста на странице таким образом, чтобы результат не выглядит загроможденным. Каждый из этих примеров можно сформулировать как задачу оптимизации. Десять лет назад в литературе по графике мало что использовало методы оптимизации, но в последнее время оптимизация используется все больше и больше. Я думаю, что оптимизация будет продолжать играть все более важную роль в компьютерной графике.

Вероятность и статистика

В компьютерной графике есть ряд областей, в которых используется вероятность и/или статистика. Конечно, когда исследователи проводят исследования с участием человека, им требуются статистические методы для выполнения анализа данных. Связанные с графикой области, в которых часто используются человеческие объекты, включают виртуальную реальность и взаимодействие человека с компьютером (HCI). Кроме того, многие компьютерные описания реального мира включают использование различных вероятностей того, что данное действие произойдет. Вероятность того, что ветка дерева разветвится во время роста или что синтетическое животное решит идти в определенном направлении, — вот два примера этого. Наконец, некоторые методы решения сложных уравнений используют случайные числа для оценки их решений. Важным примером этого является класс методов, известных как методы Монте-Карло, которые часто используются для определения того, как свет распространяется в окружающей среде. Это лишь некоторые из способов использования вероятности и статистики в компьютерной графике.

Вычислительная геометрия

Вычислительная геометрия — это изучение эффективных способов представления геометрии и управления ею в компьютере. Типичные проблемы включают проверку того, сталкиваются ли два объекта, принятие решения о том, как разбить многоугольник на треугольники, и поиск точки в группе, ближайшей к заданному местоположению. Эта область представляет собой смесь алгоритмов, структур данных и математики. Исследователи графики, работающие над созданием фигур (моделированием), активно используют эту область.

Вычислительная геометрия в издательстве Кембриджского университета Джозефа О'Рурка [текст для студентов]

Вычислительная геометрия: введение Франко Препарата и Майкл Шамос Springer-Verlag [классический текст, несколько устаревший]

Заключительные слова: прикладная и чистая математика

Одной общей чертой многих математических тем, связанных с графикой, является то, что они касаются прикладной, а не теоретической стороны математики. Это не должно вызывать удивления. Многие проблемы компьютерной графики тесно связаны с проблемами, которые изучали физики и инженеры, а математические инструменты физиков и инженеров в подавляющем большинстве являются инструментами, которые используют исследователи графики. Большинство тем, из которых состоит теоретическая («чистая») математика, редко используются в компьютерной графике. Однако это не следует воспринимать как абсолютную истину. Мы должны обратить внимание на примеры из других областей: молекулярная биология теперь опирается на теорию узлов для изучения динамики ДНК, а субатомная физика использует абстрактную теорию групп. Кто может сказать, когда тема «чистой» математики будет использована в компьютерной графике?

Есть несколько областей математики, которые кажутся важными, но никогда не играют большой роли в компьютерной графике. Пожалуй, наиболее интересной из этих областей является топология. Обычное описание топологии в одном предложении — это исследование того, почему пончик и кофейная чашка — это одно и то же. Ответ заключается в том, что обе они представляют собой поверхности с одним отверстием. Здесь мы говорим об идеях из топологии. Разве поверхности не составляют большую часть компьютерной графики? Да, но оказывается, что большинство идей топологии, полезных для графики, можно изучить на первом курсе дифференциальной геометрии. Дифференциальная геометрия изучает *формы* поверхностей, тогда как топология изучает такие вещи, как то, какие части поверхности находятся рядом с какими другими частями. Я видел очень мало топологии, которая используется в графике, и я полагаю, что это потому, что большая часть топологии связана с довольно абстрактными множествами, и что большая часть топологии далека от концепций трехмерного евклидова пространства, которое так занимает центральное место в большинстве графических изображений. Бывают времена, когда формализм топологии (символическая нотация) является удобным способом выражения идей в графике, но реальные инструменты абстрактной топологии так редко играют роль в графике. Изучайте эту прекрасную тему ради нее самой, но не ждите немедленной отдачи от графики!

Меня несколько раз спрашивали, является ли абстрактная алгебра (теория групп, кольца и т.) или теории чисел играют роль в компьютерной графике. Не так много, что я видел. Эти предметы, как и топология, полны прекрасных идей. К сожалению, эти идеи редко находят применение в компьютерной графике.

Двадцать два года назад я написал эссе о важности математики для компьютерной графики. Этот документ сейчас довольно устарел, и я решил, что пришло время вернуться к этому вопросу. Я пишу это эссе отчасти для студентов колледжей, которые хотят знать, какие курсы могут иметь отношение к изучению компьютерной графики. По этой причине я упомяну факультеты, которые могут предлагать курсы по данной теме. Надеюсь, очевидно, что вам не нужно быть студентом колледжа, чтобы прочитать это эссе!

Компьютерная графика опирается на множество различных областей математики для создания инструментов, помогающих выполнять различные вычислительные задачи. Пока вы хотите заниматься компьютерной графикой, вы также должны планировать дальнейшее изучение математических методов. В компьютерной графике очень мало уголков, в которых не используется та или иная форма математики.

Самый важный момент, который я хочу донести в этом эссе, заключается в следующем. Математические темы, которые часто наиболее полезны для графики, — это так называемые численные методы. Это инструменты, которые берут абстрактные математические понятия (дифференцирование, интегрирование, обращение матриц и т. д.) и превращают их в конкретные алгоритмы, которые мы можем использовать для получения числовых результатов для решения рассматриваемой проблемы. Когда вы впервые изучаете на уроках математического анализа, как дифференцировать и интегрировать, вы начинаете делать это символически. (Например, производной функции синуса является косинус.) В графике нам нужно уметь переводить символьный ответ на заданную задачу в числовую технику, которую можно реализовать на компьютере. По этой причине чаще всего именно курсы по прикладной математике (а не по чистой математике) наиболее актуальны для графики.

Численные методы, полезные для графики, часто представляют собой те же инструменты, которые используют различные инженеры. Это означает, что иногда самые полезные курсы по графике могут быть не на математическом факультете. Вместо этого их можно найти в других отделах, таких как электротехника или машиностроение.

Моделирование — создание описаний трехмерных форм объектов
Анимация: перемещение объектов
Синтез изображений, также называемый рендерингом – создание изображений из трехмерных фигур.
Обработка изображений и видео

Основы математики: линейная алгебра и тригонометрия

Наиболее важными темами для начала работы с графикой являются линейная алгебра и тригонометрия. Обычно мы описываем местоположение объекта 3D-графики в соответствии с его координатами x, y и z. Затем мы можем применить к 3D-объекту следующие операции: перевести (переместить), масштабировать (изменить размер) и повернуть. Перевод и масштабирование выполняются с помощью сложения и умножения соответственно. Вращение выполняется с помощью синуса и косинуса, отсюда и необходимость тригонометрии. Координаты x, y и z объекта можно удобно представить в виде трехмерного вектора, а операции перемещения, масштабирования и поворота можно описать как умножение на матрицу (размером 3x3 или 4x4). Это одна из причин, по которой знания линейной алгебры важны для начала работы с графикой. Полезны и некоторые другие понятия из линейной алгебры, в том числе обращение матриц, скалярное произведение и векторное произведение.

Многомерное исчисление

Многие из более сложных тем компьютерной графики используют инструменты многомерного исчисления. Эти темы обычно сохраняются для второго или третьего курса исчисления. Многие из представлений, которые используются в компьютерной графике, являются функциями нескольких переменных и поэтому требуют инструментов для рассуждений о производных и интегралах таких функций. Если вы хотите изучать компьютерную графику в дополнение к первому курсу в этой области, я настоятельно рекомендую пройти полный набор курсов по математическому анализу, предлагаемых вашей школой.

Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия — это измерение свойств кривых и поверхностей, и эти методы очень важны для моделирования в графике. Общие связанные с графикой задачи, подпадающие под эту область, включают определение касательных, измерение кривизны, оценку длин и площадей и поиск кратчайших путей. Часто методы дифференциальной геометрии сочетаются с методами оптимизации (подробнее об этом ниже). К счастью, многие математические факультеты предлагают курс бакалавриата по дифференциальной геометрии.

Вычислительная геометрия

Вычислительная геометрия – это изучение алгоритмов, которые эффективно и надежно решают геометрические задачи. Некоторые распространенные проблемы в этой области включают поиск выпуклых оболочек, поиск ближайших соседей к заданной точке запроса, определение пересечения двух поверхностей и триангуляцию многоугольника.Инструменты вычислительной геометрии часто используются как в моделировании, так и в анимации (например, для обнаружения столкновений). Строго говоря, вычислительная геометрия — это раздел теории информатики, а не математики. Вы, скорее всего, найдете курс вычислительной геометрии на факультете информатики, а не на математическом факультете.

Числовая линейная алгебра

Единственной темой в прикладной математике, которая, возможно, является самой важной в широком спектре графических задач, является числовая линейная алгебра. Обычно изучение численных методов линейной алгебры обычно не рассматривается в первом курсе линейной алгебры. Задачи линейной алгебры, возникающие при использовании компьютерной графики, часто требуют построения и решения больших линейных систем уравнений с очень большими матрицами и тысячами или десятками тысяч неизвестных. Простые методы решения матричных уравнений, которые вы изучаете на первом курсе линейной алгебры, для таких задач не подходят. Вместо этого вам нужно научиться описывать линейные системы в форме разреженной матрицы (гораздо более эффективно использующей память) и узнать об итерационных методах решения таких систем. Некоторые из этих используемых методов включают Якоби, метод Гаусса-Зейделя и метод сопряженных градиентов. Иногда вы можете столкнуться с другими связанными с числовыми проблемами, такими как поиск собственных векторов и собственных значений.

Оптимизация

Многие проблемы как в моделировании, так и в анимации описывают данную задачу как проблему оптимизации. Скажем, мы хотим создать гладкий объект, который проходит через заданный набор точек. Во-первых, рассматриваемый объект представляется численно, например, набором треугольников, описывающим форму поверхности. Далее мы численно представляем желаемое качество объекта, например гладкость поверхности. Теперь задача состоит в том, чтобы найти положения вершин треугольников, которые максимизируют меру гладкости, но при этом проходят через заданный набор точек. Такая задача минимизации описывается как большая линейная система уравнений, и для решения такой системы используются итерационные численные методы.

Уравнения с частными производными

Анимация таких материалов, как вода, резина и снег, требует численных методов для дифференциальных уравнений в частных производных (УЧП). Уравнения, возникающие из этих задач, включают уравнения диффузии, уравнения переноса, уравнения Лапласа и уравнения Пуассона. Их часто решают, превращая проблему в большую линейную систему уравнений или формулируя задачу как задачу оптимизации с ограничениями. Вы вряд ли много узнаете об этих методах на уроках математического анализа. Методы решения таких задач чаще изучаются в инженерных курсах и курсах численных методов. Хорошо известный метод решения некоторых из этих проблем известен как метод конечных элементов (МКЭ). Хотя это ни в коем случае не единственный метод решения некоторых из этих проблем, это один из наиболее важных методов, и этому подходу часто посвящены курсы. Эти численные методы важны не только для компьютерной анимации, но и часто возникают в задачах трехмерного моделирования.

Обычные дифференциальные уравнения

Анимация персонажей (людей, животных, роботов) часто выполняется путем представления персонажа в виде набора жестких объектов, соединенных шарнирами. Например, руку человека можно описать как плечевой сегмент, нижний сегмент руки и локтевой сустав, соединяющий эти два сегмента. Движение персонажа, описанное таким образом, определяется численным интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Увы, типичный курс ОДУ, скорее всего, даст вам очень мало помощи в этом, потому что такие курсы больше посвящены символическим решениям, а не числовым решениям. В курсе по численным методам, скорее всего, будут обсуждаться соответствующие численные методы (прямой Эйлер, метод средней точки, неявное интегрирование, Рунге-Кутта и т. д.)

Обработка сигналов

Многие области синтеза изображений и обработки изображений связаны с обработкой сигналов. Действительно, эти методы иногда также применимы к моделированию и анимации. Обычно мы представляем изображение в виде двухмерной сетки пикселей, где каждому пикселю присваивается цвет. Этот регулярный массив значений цвета можно рассматривать как цифровое представление 2D-функции, и это «сигнал». Мы можем выполнять операции над нашим изображением (сигналом), такие как изменение контраста, размытие, деформация, повышение резкости и так далее. Форма поверхности или движение анимированного персонажа также могут рассматриваться как сигнал, что делает эти методы актуальными для моделирования и анимации. Часто лучший способ анализа и обработки сигналов — преобразовать их в другое представление с помощью таких инструментов, как преобразование Фурье.Обработка сигналов широко используется при изучении электроники и звука, поэтому курсы по этой теме часто преподаются на факультете электротехники.

Методы интеграции Монте-Карло

В то время как задачи анимации обычно приводят к дифференциальным уравнениям, задачи синтеза изображений обычно представляют собой интегральные уравнения. Количество света, достигающего светочувствительного элемента камеры или нашего глаза, представляет собой сумму всего света, идущего со всех разных направлений, и этот свет мог исходить от нескольких разных источников света и отражаться от разных материалов. Например, сумма световых путей может быть записана в виде интегрального уравнения. Хотя вы можете узнать об основных квадратурных методах вычисления интегралов на вводном уроке по математическому анализу, оказывается, что такие методы плохо работают для легких транспортных задач. Вместо этого случайная выборка множества различных световых путей — гораздо лучший способ. Эти методы называются методами Монте-Карло, и эти методы рандомизации были названы в честь одноименного курорта, где азартные игры в казино являются крупным бизнесом. К сожалению, курсы по методам Монте-Карло проводятся довольно редко.

Расцвет машинного обучения

Если вы изучаете информатику, вы, несомненно, знаете, что в последнее время область машинного обучения стала огромной. (Я пишу это в 2019 году.) В частности, резко возросла активность методов глубоких нейронных сетей. Вероятно, неудивительно, что глубокое обучение оказало большое влияние на компьютерную графику. Нейронные сети используются для решения многочисленных графических задач, в том числе: куда стрелять лучами для лучшего расчета освещения, устранения шумов в изображениях, управления движением виртуальных персонажей, классификации 3D-моделей и редактирования изображений. Если вы хотите изучать графику, важно изучить инструменты машинного обучения и особенно узнать о нейронных сетях. Обратите внимание, что машинное обучение тесно связано с математическими темами вероятности и статистики.

В глуши

Некоторые темы математики не так широко используются в графике, как те, о которых я упоминал выше. В старой версии этого эссе я сказал, что топология и абстрактная алгебра бесполезны для графики. Теперь я должен исправить себя.

Топология

Как оказалось, один из моих аспирантов, Юджин Чжан, защитил свою диссертацию по компьютерной графике, в основном из области топологии. Он изучал, как создавать и редактировать векторные и тензорные поля на основе критических точек полей. Анализ связей между этими критическими точками во многом является проблемой топологии. Его работа — не единственный такой случай, и в графике есть несколько других техник, в значительной степени основанных на идеях топологии.

Абстрактная алгебра

Абстрактная алгебра — это изучение таких объектов, как группы, кольца и поля. Хотя многие из этих математических конструкций не особенно полезны для компьютерной графики, исследователь по имени Кен Турковски указал мне, что теория групп действительно играет важную роль в графике. Когда мы описываем ориентацию трехмерного объекта и когда хотим изменить его ориентацию, мы используем теорию групп. Пространство всех трехмерных ориентаций известно как группа SO(3), и оказывается, что это довольно противоречивый математический объект. Исследователи графики использовали несколько различных способов описания элементов этой группы и операций над этими элементами, включая матрицы 3x3, кватернионы и экспоненциальные карты. Описание плавных изменений ориентации часто приводит исследователей графики к изучению SO(3).

Теория чисел

Темой теории чисел является изучение целых чисел, и исследователи в этой области исследуют такие вопросы, как распределение простых чисел. Известно, что Великая теорема Ферма (теперь решенная!) является проблемой теории чисел. Математик Г. Х. Харди написал книгу под названием «Апология математика», в которой описывает красоту чистой математики. Одна из тем его книги заключается в том, что его собственная область знаний, теория чисел, является темой, которую следует ценить саму по себе. Далее он говорит, что теория чисел на самом деле не имеет большого практического применения к реальным проблемам. Насколько я знаю, теория чисел не особенно полезна в компьютерной графике. Если вы решите изучать теорию чисел, вы должны делать это для красоты предмета, а не для какого-либо возможного применения в графике.

Моделирование в техническом смысле означает преобразование объектов или явлений из реального мира в математические уравнения. Компьютерное моделирование — это представление трехмерных объектов на компьютере с использованием той или иной формы программного обеспечения, разработанного для этой цели.Компьютерное моделирование используется, например, в военных играх и имитации стихийных бедствий, когда компьютеры предлагают безопасные и относительно недорогие средства создания или воссоздания событий без сопутствующей гибели людей или имущества.

Математика, компьютеры и программное обеспечение для моделирования

Математическое моделирование восходит к достижениям в геометрии и других дисциплинах в конце восемнадцатого века. Среди них была начертательная геометрия французского математика Гаспара Монжа, чья техника была настолько ценна для артиллерии Наполеона, что долгие годы оставалась засекреченной оборонной тайной. Почти полтора века спустя, в конце Второй мировой войны, математики и ученые, работавшие на военные нужды Соединенных Штатов, разработали машину для быстрого преобразования математических моделей в формы, понятные нематематикам.

Этой машиной был компьютер, и за последние два десятилетия двадцатого века появилось множество различных программ для трехмерного моделирования. Сюда входило любое количество пакетов компьютерной анимации и игр, а также различные системы автоматизированного проектирования / автоматизированного производства (CAD / CAM). Например, CAD позволил инженерам и архитекторам создавать сложные модели, которые позволяли им «заглядывать» в незастроенные конструкции и проверять их на уязвимости, не рискуя жизнью или деньгами.

Одной из примечательных разновидностей трехмерного программного обеспечения является язык моделирования виртуальной реальности, сокращенно VRML и произносимый как "ver-mal". Необходимый для представления трехмерных объектов во Всемирной паутине (та часть Интернета, к которой наиболее привыкли обычные пользователи), VRML создает виртуальный мир или гиперпространство, которое можно рассматривать через двумерный экран компьютера. Нажимая назначенные клавиши, пользователь может перемещаться не только вверх, вниз, вправо и влево, но и вперед и назад в этом виртуальном мире.

Катастрофы, войны и другие симуляции

После крушения космического корабля "Колумбия" 1 февраля 2003 года аналитики Национального управления по аэронавтике и исследованию космического пространства (НАСА) использовали программное обеспечение для моделирования, применяемое Национальным советом по безопасности на транспорте (NTSB), для изучения аварий. В таких приложениях, как исследования НАСА и NTSB, цель состоит в том, чтобы понять не только то, что произошло, но и то, как и почему это произошло, и чем это вызвано.

Чем больше данных о стихийном бедствии доступно, тем лучше модель, а это, в свою очередь, дает следователям более точные инструменты для анализа. В конце концов, однако, ничто не может заменить человеческое мышление. Например, в моделировании NTSB авиакатастрофы рейса 111 компании Swissair в сентябре 1998 года отслеживался ход пожара из кабины, который в конечном итоге привел к падению самолета, но не объяснялось, что стало причиной пожара.

Тем не менее, моделирование бесценно, поскольку оно предоставляет человеческому разуму чрезвычайно точный и яркий источник информации о точной последовательности событий, имевших место во время стихийного бедствия. Аналитики НАСА использовали компьютерное моделирование для изучения первой крупной катастрофы шаттла, катастрофы Челленджера в 1986 году, но технология 2003 года была намного лучше. Мало того, что компьютер за 2000 долларов был способен запускать симуляции, для которых 17 лет назад требовалась машина за 75000 долларов, но и прогресс в области графики — по иронии судьбы вызванный кажущимися легкомысленными требованиями игр и фильмов — привел к гораздо более точной картине того, что произошло. .

Военные игры и симуляторы террора. Связь между развлечением и симуляцией в целом, а также технологией компьютерного моделирования в частности, не ускользнула от внимания руководства США в области безопасности и обороны. Сразу же после теракта 11 сентября 2001 г. федеральные чиновники собрали команду, в которую входили Дэвид Финчер, директор Seven и Бойцовский клуб, Стивен Э.< /p>

Де Соуза, сценарист фильма Крепкий орешек, и Спайк Джонз, режиссер фильма Быть Джоном Малковичем. Задача, поставленная перед этими творческими умами, идеально подходила для Голливуда: представьте себе сценарии, в которых террористы напали на Соединенные Штаты.

Эти сценарии, наряду с другими формами входных данных, помогли сформировать основу для моделирования такими группами, как Институт творческих технологий (ICT), исследовательский центр Университета Южной Калифорнии в Лос-Анджелесе. ИКТ — одна из многих организаций, в которые федеральное правительство инвестирует почти 100 миллионов долларов в год с целью разработки военных симуляций — исследований, которые, в отличие от моделей катастроф для NTSB или NASA, касаются не столько того, что произошло, сколько того, что < я>могло случиться. У Министерства обороны также есть собственные аналитические центры по моделированию, в том числе Командование моделирования, обучения и приборостроения армии США, известное как STRICOM.

Моделирование, разработанное с помощью ИКТ, ошеломляет своей степенью правдоподобия.«Виртуальные люди» на экране — не автоматы; скорее, они были запрограммированы личностями и эмоциями, как персонажи в кино. Передовые компьютерные технологии позволяют имитировать даже запахи. В результате необычного слияния государственного и частного секторов компания ICT продала коммерческие версии игр, которые она создала совместно с армией США.

Цель моделирования, создаваемого ИКТ и другими участниками компьютерного моделирования, выходит далеко за рамки простого развлечения: за небольшую часть расходов и рисков, связанных с военными играми с участием реальных войск и техники, командиры и их подчиненные могут учиться и учиться в бою. . Компьютерное моделирование также дает возможность изучить десятки различных ужасов, но без каких-либо человеческих или финансовых затрат. Предоставляя лаборатории для обучения, моделирование может предотвратить потери в реальных ситуациях.

█ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЧТЕНИЕ:

КНИГИ:

Дэнби, Дж. М. А. Компьютерное моделирование: от спорта к космическим полетам — от порядка к хаосу. Ричмонд, Вирджиния: Willmann-Bell, 1997.

Эммер, Микеле. Зрительный разум: искусство и математика. Кембридж, Массачусетс: MIT Press, 1993.

Моделирование и симуляция: связь развлечений и защиты. Вашингтон, округ Колумбия: National Academy Press, 1997.

ЭЛЕКТРОННЫЙ:

Ли, Дэвид Б., подполковник ВВС США. «Военные игры: мысли о будущем». Журнал Airpower (14 марта 2003 г.).

США Исполнительный офис армейской программы моделирования, обучения и приборостроения. (14 марта 2003 г.).

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ

Интернет
НАСА (Национальное управление по воздуху и исследованию космического пространства)
NTSB (Национальный совет по безопасности на транспорте)
Суперкомпьютеры

Процитировать эту статью
Выберите стиль ниже и скопируйте текст для своей библиографии.

Стили цитирования

В инструменте "Процитировать эту статью" выберите стиль, чтобы увидеть, как вся доступная информация выглядит в формате, соответствующем этому стилю. Затем скопируйте и вставьте текст в свою библиографию или список цитируемых работ.

Ассоциация современного языка

Чикагское руководство по стилю

Американская психологическая ассоциация

Примечания:

Компьютерное моделирование — это общий термин, описывающий использование компьютеров для имитации объектов или событий. Поэтому его иногда называют компьютерным моделированием. Криминалистические приложения компьютерного моделирования могут давать чисто графические результаты (например, лицо неизвестной жертвы убийства, реконструированное по черепу) или математические идеализации физических, химических, биологических или геологических процессов (например, расчеты, выполняемые для оценки скорости автомобиль до аварии). Большинство криминалистических компьютерных моделей являются расширениями графических и математических методов, которые использовались судебными экспертами в течение многих лет, но которые стали намного сложнее и визуально привлекательными из-за продолжающегося развития компьютерных технологий.

При компьютерной черепно-лицевой реконструкции виртуальное изображение черепа создается с помощью лазерного сканера или стереофотографии для создания трехмерной сетки точек. Толщина ткани в выбранных точках черепа определяется математически, часто с использованием статистических соотношений, полученных из большой базы данных КТ или МРТ, а форма лица моделируется как гладкая трехмерная поверхность, проходящая через точки измерения. Основной недостаток любого метода черепно-лицевой реконструкции заключается в том, что толщина мягких тканей всегда является оценочной, и по форме черепа трудно вывести характеристики лица, отражающие возраст, вес, пол и этническую принадлежность (хотя эту информацию можно вывести из полного скелета). . Внешние характеристики, такие как цвет волос и текстура кожи, невозможно вывести из формы черепа, и они являются лишь художественными украшениями. Поэтому общее сходство между черепно-лицевой реконструкцией и умершим человеком — лучшее, чего можно достичь.

Компьютерные модели судебной экспертизы на основе процессов объединяют уравнения, описывающие физические или химические процессы, с эмпирической информацией, чтобы реконструировать последовательность событий. Одна широко используемая компьютерная программа для реконструкции автомобильных аварий, известная как SMAC (имитационная модель автомобильных столкновений), была первоначально разработана Национальным управлением безопасности дорожного движения. Он использует законы силы и движения Ньютона для имитации столкновения автомобилей как движущихся тел почти так же, как можно было бы моделировать столкновение бильярдных шаров. Такие факторы, как состояние дороги и тип шин, учитываются с использованием эмпирических коэффициентов, а входные данные модели корректируются до тех пор, пока выходные данные не согласуются с наблюдениями, сделанными на месте происшествия. В то время как такого рода компьютерная модель может рассчитывать энергию удара, она не будет явно моделировать смятие и деформацию автомобилей.Компьютерная анимация может использоваться для визуализации результатов моделей, основанных на процессах, путем изображения автомобилей в виде конкретных марок, моделей и цветов, а не неописуемых масс, или путем включения реалистичной топографии и пейзажа для имитации места аварии. Этот вид анимации, в котором такие переменные, как положение и скорость автомобиля, являются результатом научного анализа и выводов, называется криминалистической анимацией.

Более сложный вид компьютерного моделирования процессов включает в себя детальное моделирование физических или химических процессов в двух или трех измерениях (часто во времени) для реконструкции события или процесса. Например, сложная модель аварии может имитировать изгиб и коробление каждого элемента конструкции автомобиля, а не только общее количество энергии, поглощаемой одной движущейся массой при столкновении с другой. Другим примером является использование компьютерных моделей для имитации двух- и трехмерного движения химических веществ, загрязняющих водоносный горизонт. Чтобы получить точные результаты, используя такую модель, геологи должны собрать подробную информацию о материалах, составляющих водоносный горизонт, путем бурения пробных скважин, отбора образцов материалов водоносного горизонта и проведения различных испытаний. Затем скорость и химический состав грунтовых вод рассчитываются во многих тысячах и, возможно, даже миллионах точек в моделируемом водоносном горизонте, и модель калибруется путем корректировки входных данных до тех пор, пока результаты не согласуются с наблюдаемыми условиями. Эксперты могут использовать такую модель, чтобы сделать вывод об источнике загрязняющих веществ или времени их попадания в водоносный горизонт, что может быть важно в судебных разбирательствах, таких как известный судебный процесс о загрязнении подземных вод в Вобурне, штат Массачусетс. Ученые-пожарники также используют модели вычислительной гидродинамики для моделирования распространения пожаров в зданиях, а другие компьютерные модели могут использоваться для моделирования механики твердых объектов, потока жидкостей и химических реакций. Однако по мере того, как компьютерные модели становятся более сложными, их также становится все труднее применять, поскольку качество и количество входных данных резко возрастают. Как и в случае с простыми процессными моделями, результаты многомерного моделирования можно визуализировать с помощью статической и анимированной компьютерной графики.

Уильям С. Ханеберг

Процитировать эту статью
Выберите стиль ниже и скопируйте текст для своей библиографии.

Стили цитирования

Ассоциация современного языка

Чикагское руководство по стилю

Американская психологическая ассоциация

Примечания:

Черепано-лицевая реконструкция (восстановление формы черепа и лица) — это один из примеров чисто эмпирического графического криминалистического метода, который можно адаптировать к компьютерному моделированию. Традиционный подход состоит в том, чтобы сформировать слои глины, помещенные на слепок черепа, чтобы создать подобие неизвестного человека. Толщина глины на разных частях черепа ограничена информацией из баз данных о толщине тканей, которые первоначально были получены от трупов, но теперь измеряются с использованием таких методов, как компьютерная томография (КТ), магнитно-резонансная томография (МРТ) или ультразвук. изображения живых объектов. Это было важным достижением, поскольку измерения трупов представляли лишь небольшой сегмент населения в целом. При компьютерной черепно-лицевой реконструкции виртуальное изображение черепа создается с помощью лазерного сканера или стереофотографии для создания трехмерной сетки точек. Толщина ткани в выбранных точках черепа определяется математически, часто с использованием статистических соотношений, полученных из большой базы данных КТ или МРТ, а форма лица моделируется как гладкая трехмерная поверхность, проходящая через точки измерения.Основной недостаток любого метода черепно-лицевой реконструкции заключается в том, что толщина мягких тканей всегда является оценочной, и по форме черепа трудно вывести характеристики лица, отражающие возраст, вес, пол и этническую принадлежность (хотя эту информацию можно вывести из полного скелета). . Внешние характеристики, такие как цвет волос и текстура кожи, невозможно вывести из формы черепа, и они являются лишь художественными украшениями. Поэтому общее сходство между черепно-лицевой реконструкцией и умершим человеком — лучшее, чего можно достичь.

Компьютерные модели судебной экспертизы на основе процессов объединяют уравнения, описывающие физические или химические процессы, с эмпирической информацией, чтобы реконструировать последовательность событий. Одна широко используемая компьютерная программа для реконструкции автомобильных аварий, известная как SMAC (имитационная модель автомобильных столкновений), была первоначально разработана Национальным управлением безопасности дорожного движения. Он использует законы силы и движения Ньютона для имитации столкновения автомобилей как движущихся тел почти так же, как можно было бы моделировать столкновение бильярдных шаров. Такие факторы, как состояние дороги и тип шин, учитываются с использованием эмпирических коэффициентов, а входные данные модели корректируются до тех пор, пока выходные данные не согласуются с наблюдениями, сделанными на месте происшествия. В то время как такого рода компьютерная модель может рассчитывать энергию удара, она не будет явно моделировать смятие и деформацию автомобилей. Компьютерная анимация может использоваться для визуализации результатов моделей, основанных на процессах, путем изображения автомобилей в виде конкретных марок, моделей и цветов, а не неописуемых масс, или путем включения реалистичной топографии и пейзажа для имитации места аварии. Этот вид анимации, в котором такие переменные, как положение и скорость автомобиля, являются результатом научного анализа и выводов, называется криминалистической анимацией.

Более сложный вид компьютерного моделирования процессов включает в себя детальное моделирование физических или химических процессов в двух или трех измерениях (часто во времени) для реконструкции события или процесса. Например, сложная модель аварии может имитировать изгиб и коробление каждого элемента конструкции автомобиля, а не только общее количество энергии, поглощаемой одной движущейся массой при столкновении с другой. Другим примером является использование компьютерных моделей для имитации двух- и трехмерного движения химических веществ, загрязняющих водоносный горизонт. Чтобы получить точные результаты, используя такую модель, геологи должны собрать подробную информацию о материалах, составляющих водоносный горизонт, путем бурения пробных скважин, отбора образцов материалов водоносного горизонта и проведения различных испытаний. Затем скорость и химический состав подземных вод рассчитываются во многих тысячах и, возможно, даже миллионах точек в моделируемом водоносном горизонте, и модель калибруется путем корректировки входных данных до тех пор, пока результаты не согласуются с наблюдаемыми условиями. Эксперты могут использовать такую модель, чтобы сделать вывод об источнике загрязняющих веществ или времени их попадания в водоносный горизонт, что может быть важно в судебных разбирательствах, таких как известный судебный процесс о загрязнении подземных вод в Вобурне, штат Массачусетс. Ученые-пожарники также используют модели вычислительной гидродинамики для моделирования распространения пожаров в зданиях, а другие компьютерные модели могут использоваться для моделирования механики твердых объектов, потока жидкостей и химических реакций. Однако по мере того, как компьютерные модели становятся более сложными, их также становится все труднее применять, поскольку качество и количество входных данных резко возрастают. Как и в случае с простыми процессными моделями, результаты многомерного моделирования можно визуализировать с помощью статической и анимированной компьютерной графики.

см. также Реконструкция аварии; расследование авиационных происшествий; реконструкция места преступления; Расследование пожара.

Читайте также: