• Вопросы

• Процедура для части A
• Анализ данных для части A

• Процедура для части B
• Анализ данных для части Б.

Момент инерции и колебания

Цель

Чтобы измерить момент инерции трех разных объектов относительно заданной оси вращения и проверить теорему о параллельности осей.

Домашнее задание перед лабораторной работой

Домашняя работа перед лабораторной работой должна быть выполнена дома и передана ассистенту лаборатории до начала лабораторной работы. Прочтите инструкции к этому лабораторному занятию.

Вопросы

Период колебаний массы M на пружине массы m равен,

где K — жесткость пружины. Рассчитайте следующее для небольших удлинений пружины и малых значений m/M , b = 1/3.

1) Запишите кинетическую энергию бесконечно малого элемента dm пружины. Запишите dm через m , длину пружины L и бесконечно малый элемент длины dx.

2) Найдите выражение для скорости v(x) dm в точке x через V, скорость массы M , L длину пружины и x при изменении от 0 до L .< /p>

Подсказка. Закрепленный конец пружины всегда неподвижен, поэтому, скажем, при x = 0 v = 0. Конец, к которому прикреплена масса M, движется с той же скоростью, что и M , поэтому при x = L , тогда v = V . Таким образом, например, в точке посередине между ними, при x = L/2 , тогда v = V/2 . Вы можете предположить, что скорость изменяется линейно от x = 0 до x = L.

3) Найдите кинетическую энергию всей пружины путем интегрирования по x . Добавьте это к кинетической энергии M . Сравните эту кинетическую энергию со случаем, когда m = 0, чтобы увидеть, что b = 1/3. Вы также должны предположить, что потенциальная энергия в первом порядке не зависит от того, конечно ли m или нет.

[интегрировать с ограничениями от x =0 до x =L]

4) Просмотрите и поймите соответствие между вращательной и линейной кинематикой.

Часть A: Момент инерции

Рассмотрите твердое тело, вращающееся вокруг оси. Если угловая скорость равна [omega] , каждая точка тела будет двигаться с линейной скоростью

, где r — перпендикулярное расстояние точки от оси. Полный угловой момент L вращающегося тела направлен вдоль оси и по модулю равен,

называется момент инерции тела относительно оси вращения. В м.к.с. система единиц, единицы I являются . Если выбрана ось вращения, проходящая через центр масс объекта, то момент инерции относительно оси центра масс называется Icm. Например, Icm= для тонкого кольца массой M и радиусом R для случая, когда ось является осью симметрии кольца. В таблице 4.1 приведены примеры Icm для различных типов объектов (например, см. Оганян, глава 12).

Теорема о параллельных осях связывает момент инерции Icm относительно оси, проходящей через центр масс, с моментом инерции I относительно параллельной оси, проходящей через какую-либо другую точку. Теорема утверждает, что

Объект Ось Icm

(Масса M, радиусы) Ось симметрии

(Масса M, радиус R) Ось симметрии

Тонкая сферическая оболочка

(Масса M, радиус R) О диаметре

(Масса M, радиус R) О диаметре

где M — общая масса тела, а d — расстояние между двумя осями. Это означает, что Icm всегда меньше I относительно любой другой оси.

При работе с вращательным движением твердых тел многие уравнения идентичны уравнениям линейного движения с соответствующей заменой.Вместо линейной скорости используется угловая скорость, а вместо массы M используется момент инерции I. В таблице 4.2 приведены соответствия между линейной и вращательной кинематикой для твердых тел.

Прибор состоит из поворотного стола, на который можно установить объект, момент инерции которого необходимо измерить. Пружина кручения ограничивает движение стола и обеспечивает восстанавливающий крутящий момент. Если стол повернуть на угол , действующий на него крутящий момент будет равен,

где K — константа, которую необходимо измерить. Если сумма моментов инерции стола и предмета наверху I равна , то стол будет совершать вращательные колебания с частотой,

соответствует периоду

Обратите внимание, что есть два неизвестных параметра аппарата и K . Чтобы определить их, вам нужно измерить период голого стола и период, возникающий, когда на стол устанавливается объект с известным моментом инерции. Теперь

Поэтому, возводя оба уравнения в квадрат, а затем складывая, мы получаем,

и, вычитая,

Это решение для одной из констант таблицы,

Другой можно получить, разделив,

Таким образом неизвестные константы стола и K могут быть определены, если имеется тело с известным моментом инерции. Обратите внимание, что момент инерции неизвестного объекта можно найти с помощью приведенного выше уравнения, т. Е.

где точка с неизвестным предметом на столе.

Процедура для части A

1) Рассчитайте момент инерции латунного кольца по теоретической формуле путем измерения внутреннего и внешнего радиуса и массы по формуле из Таблицы 4.1.

2) Определить период колебаний только таблицы, .

3) Определить период колебаний стола с кольцом, .

4) Каждое измерение следует повторить пять раз.

5) Используйте расчетное значение для латунного кольца в качестве известного момента инерции и определите K и для таблицы, используя уравнение (4.13). [В этой лаборатории K находится где-то между 0,25 и 1,0 Н/м].

6) Измерьте периоды колебаний диска вокруг пяти различных осей вращения, расположенных на достаточно равномерном расстоянии от центра к краю (включая период, в котором ось находится в центре).

7) Сделайте пять попыток на каждой дистанции. Используйте эти измерения вместе с соотношением между I и T для расчета момента инерции диска в каждой позиции оси (используя уравнение 4.14).

8) Взвесьте диск и определите его размеры.

9) Рассчитайте значение теоретическими методами и сравните его с измеренным значением, полученным, когда ось диска находится в центре стола. Используйте разницу в качестве оценки ошибок.

Анализ данных для части A

1) С помощью планок погрешностей нарисуйте зависимость момента инерции от квадрата расстояния от центра масс диска до оси поворотного стола.

2) Найдите наклон и точку пересечения, когда вы уложите пять точек на прямую.

3) Соответствует ли ваше значение наклона известной массе латунного диска?

4) Соответствует ли значение момента инерции, полученное из точки пересечения, ожидаемому значению?

Часть B: Колебания спиральной пружины

Часто предполагается, что длинная спиральная пружина подчиняется закону Гука, если она не растянута слишком сильно. Если пружина подвешена вертикально к неподвижной опоре, а к ее свободному концу прикреплена масса, то масса может совершать вертикальные колебания простым гармоническим движением. Период колебаний зависит от ускоряемой массы М и постоянной силы К пружины. Период измеряется поднятием веса и отпусканием его. Время, необходимое для возврата веса в исходное положение, определяется как период. Если масса пружины m пренебрежимо мала, период T равен,

Однако, поскольку пружина также движется, ее масса m, если ею нельзя пренебречь, должна войти в уравнение для периода. Поскольку уравнение должно оставаться правильным с точки зрения размеров, масса пружины может вводиться только следующим образом:

где b — постоянное число без размеров.

Процедура для части B

Согласно закону Гука растяжение пружины должно быть пропорционально силе, приложенной к пружине. F = - Kx, где F — сила, x — удлинение, а K — силовая постоянная пружины.

Будьте осторожны, чтобы не повредить пружину из-за чрезмерного растяжения. НИКОГДА НЕ ИСПОЛЬЗУЙТЕ ГРУЗ БОЛЕЕ 100 г! Осторожно прикрепите грузы к осциллятору. Приведите осциллятор в движение, осторожно ПОДНИМАЯ груз (тем самым сжимая пружину), а затем отпуская его.

Анализ данных для части B.

1) Постройте T 2 против M на графике. Вы можете измерить период более точно, измерив время, необходимое для десяти полных колебаний, и разделив это время на 10, чтобы найти время, необходимое для 1 колебания.

Анализ ошибок . Вы можете пренебречь ошибками в массах. Просто нанесите ошибки в T на график и оцените ошибки по графику по мере необходимости.

2) Найдите точку пересечения графика на оси М и рассчитайте коэффициент b, принимая массу пружины, определенную выше. Сравните экспериментальное значение константы b с теоретическим значением, полученным в ответе на предварительный вопрос.

Читайте также:

  
• Самый мощный процессор Intel i9
  
• Замена процессора компьютера
  
• Код ошибки 42 видеокарты
  
• Сколько ядер процессора мне нужно для игр
  
• Объем оперативной памяти у школьников – обязательный вопрос