Выражение затухающих вибраций после эффектов

Обновлено: 21.11.2024

Со временем движение затухающего гармонического осциллятора остановится.

Цели обучения

Опишите временную эволюцию движения затухающего гармонического осциллятора

Ключевые выводы

Ключевые моменты

  • Чтобы описать затухающий гармонический осциллятор, добавьте член, зависящий от скорости, bx, где b — порочныйкоэффициент затуханиядемпфирования.
  • Решите дифференциальное уравнение для уравнения движения x(t).
  • В зависимости от значений коэффициента демпфирования и незатухающей угловой частоты результаты будут одним из трех случаев: система с недостаточным демпфированием, система с чрезмерным демпфированием или система с критическим демпфированием.

Ключевые термины

  • Под демпфированием: «Состояние, при котором затухание осциллятора заставляет его вернуться к равновесию с постепенно уменьшающейся до нуля амплитудой; система возвращается к равновесию быстрее, но выходит за пределы положения равновесия и пересекает его один или несколько раз. “
  • Критическое демпфирование: «Состояние, при котором демпфирование осциллятора заставляет его как можно быстрее вернуться в положение равновесия, не колеблясь туда-сюда вокруг этого положения. “
  • Over Damped: «Состояние, при котором затухание осциллятора заставляет его вернуться в состояние равновесия без колебаний; осциллятор движется к равновесию медленнее, чем в системе с критическим демпфированием. “

Физическая ситуация

Простой гармонический осциллятор описывает многие физические системы по всему миру, но ранние исследования в области физики обычно рассматривают только идеальные ситуации, не связанные с трением. Однако в реальном мире силы трения, такие как сопротивление воздуха, замедляют или гасят движение объекта. Иногда эти демпфирующие силы достаточно сильны, чтобы со временем вернуть объект в равновесие.

Затухание гармонического движения: иллюстрирует положение во времени нашего объекта, движущегося в простом гармоническом движении. Мы видим, что при малом демпфировании амплитуда нашего движения со временем медленно уменьшается.

Простейший и наиболее часто встречающийся случай возникает, когда сила трения пропорциональна скорости объекта. Обратите внимание, что существуют и другие случаи, которые могут привести к нелинейным уравнениям, выходящим за рамки этого примера.

Рассмотрите объект массы m, прикрепленный к пружине постоянной k. Пусть демпфирующая сила пропорциональна скорости массы на константу пропорциональности, b, называемый порочным коэффициентом демпфирования. Мы можем описать эту ситуацию, используя второй закон Ньютона, который приводит к линейному, однородному, обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка. Мы просто добавляем член, описывающий демпфирующую силу, в наше уже знакомое уравнение, описывающее простой гармонический осциллятор, чтобы описать общий случай демпфирующего гармонического движения.

Эта запись использует [latex]\frac^2\text>^2>[/latex], ускорение нашего объекта, [latex]\frac>>[/latex], скорость нашего объекта, [latex ]\omega_0[/latex], незатухающая угловая частота колебаний и ɣ, которую мы можем назвать коэффициентом затухания.

Решение дифференциального уравнения; Интерпретация результатов

Мы решаем это дифференциальное уравнение для нашего уравнения движения системы x(t). Мы принимаем решение в виде экспоненты, где a — постоянное значение, для которого мы будем решать.

Подставив это в дифференциальное уравнение, мы обнаружим, что есть три результата для a, которые будут определять движение нашей системы. Мы можем найти a с помощью квадратного уравнения.

Физическая ситуация имеет три возможных результата в зависимости от значения a, которое зависит от значения того, что находится под нашим радикалом. Это выражение может быть положительным, отрицательным или равным нулю, что приведет к избыточному, недостаточному и критическому демпфированию соответственно.

[latex]\gamma^2 > 4\omega_0^2[/latex] — это случай Over Damped. В этом случае система возвращается к равновесию, экспоненциально затухая к нулю. Система не пройдет положение равновесия более одного раза.

Для четвертого и последнего задания мы решили создать анимацию с моушн-графикой, подробно исследуя мир выражений в After Effects и в то же время пытаясь следовать принципам анимации. В частности, нашей целью было написать выражения для создания самых классических физических движений, которые мы можем найти среди анимаций (падение тела, удары, колебания, движение снаряда и т. д.), чтобы получить реалистичные движения.

Видео состоит из анимации дорожки домино с цепной реакцией, которая была создана таким образом, что позволила нам в забавной форме показать и объяснить некоторые физические движения. Мы выбрали следующие движения: затухающий гармонический осциллятор, падающее тело, движение снаряда.

Прежде чем приступить к анимации в After Effects, мы создали анимацию в Photoshop, чтобы получить представление о времени и стиле, которые мы хотели для нашего видео. В то же время в Illustrator мы подготовили рисунки для анимации.

Затухающий гармонический осциллятор (случай маятника)

При наличии сил трения в присутствии воздуха амплитуда колебаний любого гармонического осциллятора уменьшается. Это уменьшение амплитуды является событием, которое называется демпфированием, отсюда и название движения. В случае с маятником, если бы не было трения о воздух, он качался бы бесконечно.

Формула затухающего гармонического осциллятора

где θ — амплитуда колебаний, θMax — максимальная амплитуда, α — постоянная времени затухания колебаний, а φ — фаза движения. Теперь мы проиллюстрируем, как адаптировать эту формулу для написания выражения After Effects, воспроизводящего классическое поведение маятника, который качается при наличии трения о воздух. Прежде чем двигаться дальше, важно, чтобы точка привязки маятника находилась на его конце. Выражение необходимо применить к параметру вращения слоя-фигуры «неподвижный шар» (см. рисунок).

Мы создали три переменные; один для угла, один для скорости и один для влажности, а затем три элемента управления выражением (один элемент управления углом и два элемента управления ползунком). Мы связали эти переменные с соответствующими контроллерами с помощью значка спирали в меню эффектов параметра вращения.

Выражение поворота

Движение снаряда

Для движения снаряда, в отличие от предыдущего случая, мы решили игнорировать трение о воздух, потому что эффект не был визуально заметен на коротком расстоянии, как это происходит в нашем видео. Согласно этой гипотезе известно, что снаряд, запущенный под определенным углом, описывает траекторию по параболе и что горизонтальная составляющая скорости остается постоянной, а вертикальная увеличивается (отрицательно) из-за ускорения свободного падения.

компоненты скорости

компоненты позиции

Теперь давайте посмотрим, как использовать эту информацию для написания выражения для движения снаряда в After Effects. Прежде всего, после открытия инструмента выражения параметра position слоя формы снаряда (alt+щелчок по часам) необходимо создать и инициализировать некоторые переменные для использования в формуле физики движения: скорость снаряда, угол параболического пути, проходимого снарядом, значение силы тяжести и начальную точку, из которой снаряд начинает свой путь. Эти переменные должны быть привязаны к соответствующему ползунку, чтобы управлять его значением (мы создали переменную и, перетащив курсор со значка спирали, привязали переменную к соответствующему ползунку). . К параметру position нам пришлось добавить еще две формулы, относящиеся к разбиению пути по осям x и y.

Выражение позиции

точка = эффект("Pinto di partenza")("Точка");

y = vel*Math.sin(alpha)*time – (g/2)*time*time;

[x + x0, -y + y0]; // результат

Поскольку снаряд должен быть ориентирован по касательной к траектории, нам пришлось также поработать над параметром rotation, создав и применив те же переменные, которые мы использовали для параметра position. как показано в следующем выражении (обратите внимание на положение точки привязки!).

Выражение поворота

tan = Math.tan(альфа) – x*g/(vel*vel*Math.cos(альфа)*Math.cos(альфа));

Важно помнить, что для переменной angle необходимо преобразовать градусы в радианы (degreesToRadians(angolo)) и наоборот значение тангенса из радианов в градусы (radiansToDegrees(tan ))

Отскок (сжатие и растяжение)

Отскок мяча можно сравнить с движением снаряда. Действительно, когда мяч ударяется о поверхность под определенным углом, он отскакивает по той же траектории, что и снаряд. Но для упрощения, поскольку парабола не является периодической функцией, для описания траектории отскока мы использовали модуль синусоидальной функции в выражении движения. В этом случае мы решили работать независимо с координатами x и y положения, и для этого мы щелкнули правой кнопкой мыши по параметру Position слоя формы шара и выбрали Отдельное измерение.

Итак, сначала для выражения координаты y мы создали переменную t, относящуюся к точке композиции, в которой начинается анимационный клип (то есть не начало композиции) . Переменная dec является значением демпфирования и получена с помощью экспоненциальной функции. Путь, по которому следует мяч, был достигнут с помощью функции косинуса, которую можно прочитать в выражении, перевернутом и в модуле. С другой стороны, выражение для координаты x представляет собой простое равномерное прямолинейное движение.

Выражение позиции Y

Выражение позиции X

Для реализации эффекта Squash&Stretch мы написали выражение для параметра Scale мяча. Значения переменных t и t1 были выбраны эмпирическим путем, наблюдая за кривой отскока, чтобы синхронизировать кривую Squash&Stretch. (переменные x и x1) с моментом возврата.

Два вложенных if управляют соответственно временем сжатия и растяжения.

К концу этого раздела вы сможете:

  • Сравните и обсудите колебательные системы с недо- и передемпфированием.
  • Объясните систему с критическим демпфированием.

Рис. 1. Чтобы противодействовать демпфирующим силам, этому отцу необходимо продолжать раскачивать качели. (кредит: Эрик А. Джонсон, Flickr)

Гитарная струна перестает колебаться через несколько секунд после того, как ее задернули. Чтобы ребенок был счастлив на качелях, вы должны продолжать толкать их. Хотя мы часто можем сделать трение и другие неконсервативные силы пренебрежимо малыми, полностью незатухающие движения встречаются редко. На самом деле, мы можем даже захотеть гасить колебания, например, с автомобильными амортизаторами.

Для системы с небольшим демпфированием период и частота почти такие же, как и для простого гармонического движения, но амплитуда постепенно уменьшается, как показано на рисунке 2. Это происходит потому, что неконсервативная демпфирующая сила удаляет энергию. из системы, обычно в виде тепловой энергии. В общем случае отвод энергии неконсервативными силами описывается как Wnc = Δ(KE + PE), где Wnc — это работа неконсервативной силы (здесь — демпфирующей силы). Для затухающего гармонического осциллятора Wnc имеет отрицательное значение, поскольку он удаляет механическую энергию (KE + PE) из системы.

Рис. 2. На этом графике зависимости смещения от времени для гармонического осциллятора с небольшим затуханием амплитуда медленно уменьшается, но период и частота почти такие же, как если бы система была полностью незатухающей.

Если вы постепенно увеличиваете величину демпфирования в системе, это начинает влиять на период и частоту, поскольку демпфирование противодействует и, следовательно, замедляет возвратно-поступательное движение. (Чистая сила меньше в обоих направлениях.) Если демпфирование очень велико, система даже не колеблется — она медленно движется к равновесию. На рис. 3 показано смещение гармонического осциллятора при различной степени затухания. Когда мы хотим погасить колебания, например, в подвеске автомобиля, мы можем захотеть, чтобы система вернулась в равновесие как можно быстрее. Критическое демпфирование определяется как условие, при котором демпфирование осциллятор приводит к тому, что он как можно быстрее возвращается в положение равновесия. Система с критическим демпфированием может выйти за пределы положения равновесия, но если это произойдет, то только один раз. Критическое демпфирование представлено кривой А на рис. 3. При демпфировании ниже критического система вернется к равновесию быстрее, но будет промахиваться и пересекаться один или несколько раз. Такая система недостаточно демпфирована; его смещение представлено кривой на рисунке 2. Кривая B на рисунке 3 представляет систему с избыточным демпфированием. Как и в случае критического демпфирования, оно также может выйти за пределы положения равновесия, но будет достигнуто равновесие в течение более длительного периода времени.

Рисунок 3. Зависимость смещения от времени для гармонического осциллятора с критическим демпфированием (A) и гармонического осциллятора с избыточным демпфированием (B). Осциллятор с критическим демпфированием возвращается к равновесию при X = 0 за минимально возможное время без перерегулирования.

Часто желательно критическое демпфирование, потому что такая система быстро возвращается к равновесию и также остается в равновесии. Кроме того, постоянная сила, приложенная к системе с критическим демпфированием, перемещает систему в новое положение равновесия за кратчайшее возможное время без перерегулирования или колебаний вокруг нового положения. Например, когда вы стоите на напольных весах со стрелкой, игла перемещается в положение равновесия, не колеблясь. Было бы весьма неудобно, если бы стрелка долго колебалась вокруг нового положения равновесия, прежде чем стабилизироваться. Силы демпфирования могут сильно различаться по характеру. Трение, например, иногда не зависит от скорости (как предполагается в большинстве мест в этом тексте). Но многие силы демпфирования зависят от скорости — иногда сложным образом, иногда просто пропорционально скорости.

Пример 1. Демпфирование колебательного движения: трение о предмет, соединенный с пружиной

Демпфирование колебательного движения важно во многих системах, а возможность управления демпфированием еще важнее. Обычно это достигается с помощью неконсервативных сил, таких как трение между поверхностями и вязкость для объектов, движущихся через жидкости. В следующем примере рассматривается трение. Предположим, что объект массой 0,200 кг соединен с пружиной, как показано на рис. 4, но между объектом и поверхностью существует простое трение, а коэффициент трения μk< /em> равно 0,0800.

  1. Какова сила трения между поверхностями?
  2. Какое общее расстояние пройдет объект, если его отпустить на 0,100 м от точки равновесия, начиная с v = 0? Силовая постоянная пружины k = 50,0 Н/м.

Рисунок 4. Преобразование энергии в простое гармоническое движение показано для объекта, прикрепленного к пружине на поверхности без трения.

Стратегия

Эта задача требует, чтобы вы объединили свои знания о различных понятиях, касающихся волн, колебаний и затухания. Чтобы решить проблему интегрированной концепции, вы должны сначала определить задействованные физические принципы. Часть 1 посвящена силе трения. Это тема, связанная с применением законов Ньютона. Часть 2 требует понимания работы и сохранения энергии, а также некоторого понимания горизонтальных колебательных систем.

Теперь, когда мы определили принципы, которые мы должны применять для решения задач, нам нужно определить известные и неизвестные для каждой части вопроса, а также количество, которое является постоянным в части 1 и части 2 вопроса. вопрос.

Решение части 1

Выберите правильное уравнение: Трение равно f = µkмг. Определите известные значения.

Введите известные значения в уравнение: f = (0,0800) (0,200 кг) (9,80 м/с 2 ) .

Рассчитать и преобразовать единицы измерения: f = 0,157 Н .

Обсуждение первой части

Сила здесь мала, потому что система и коэффициенты малы.

Решение части 2

Определите известные:

  • Система включает упругую потенциальную энергию, когда пружина сжимается и расширяется, трение, связанное с выполненной работой, и кинетическую энергию, когда тело ускоряется и замедляется.
  • Энергия не сохраняется, поскольку масса колеблется, поскольку трение является неконсервативной силой.
  • Движение горизонтальное, поэтому гравитационную потенциальную энергию учитывать не нужно.
  • Поскольку движение начинается из состояния покоя, энергия в системе изначально равна [латекс]\текст_>=\frackX^2\\[/латекс]. Эта энергия удаляется за счет работы трения Wnc = −fd, где d – общее пройденное расстояние. а f = μkmg — сила трения. Когда система перестанет двигаться, сила трения уравновесит силу пружины, поэтому [latex]\text_>=\frackx^2\\[/latex], где x — конечное положение, а предоставлено
<р>1. Приравняв выполненную работу к удаленной энергии, найдите расстояние d.

<р>2. Работа, совершаемая неконсервативными силами, равна начальной запасенной упругой потенциальной энергии. Определите правильное уравнение для использования:

<р>5. Объедините эти два уравнения, чтобы найти

<р>6. Решите уравнение для d:

<р>7. Введите известные значения в полученное уравнение:

<р>8. Рассчитайте d и преобразуйте единицы измерения d = 1,59 м.

Обсуждение второй части

Это общее расстояние, пройденное туда и обратно через x = 0, что является положением равновесия без демпфирования. Число колебаний вокруг положения равновесия будет больше

потому что амплитуда колебаний со временем уменьшается. В конце движения эта система не вернется к x = 0 для данного вида демпфирующей силы, поскольку трение покоя превысит восстанавливающую силу. Эта система недостаточно демпфирована.Напротив, система с избыточным демпфированием с простой постоянной демпфирующей силой не будет пересекать положение равновесия x = 0 один раз. Например, если бы эта система имела демпфирующую силу в 20 раз больше, она бы переместилась только на 0,0484 м в сторону положения равновесия от исходного положения на 0,100 м.

Этот рабочий пример показывает, как применять стратегии решения проблем в ситуациях, объединяющих различные понятия, которые вы изучили. Первым шагом является определение физических принципов, лежащих в основе проблемы. Второй шаг заключается в поиске неизвестных с использованием знакомых стратегий решения проблем. Их можно найти по всему тексту, и многие рабочие примеры показывают, как их использовать для отдельных тем. В этом примере интегрированных концепций вы можете увидеть, как применять их в нескольких темах. Вы найдете эти методы полезными в приложениях физики вне курса физики, например, в вашей профессии, в других научных дисциплинах и в повседневной жизни.

Проверьте свое понимание

Часть 1

Почему полностью незатухающие гармонические осцилляторы так редки?

Решение

Трение часто возникает всякий раз, когда объект движется. Трение вызывает затухание в гармоническом осцилляторе.

Часть 2

Опишите разницу между чрезмерным демпфированием, недостаточным демпфированием и критическим демпфированием.

Решение

Передемпфированная система медленно движется к равновесию. Система с недостаточным демпфированием быстро движется к равновесию, но при этом будет колебаться вокруг точки равновесия. Система с критическим демпфированием движется к равновесию как можно быстрее, не колеблясь вокруг равновесия.

Сводка раздела

  • Затухающие гармонические осцилляторы имеют неконсервативные силы, рассеивающие их энергию.
  • Критическое демпфирование возвращает систему к равновесию как можно быстрее, не допуская перерегулирования.
  • Система с недостаточным демпфированием будет колебаться через положение равновесия.
  • Система с чрезмерным демпфированием движется к равновесию медленнее, чем система с критическим демпфированием.

Концептуальные вопросы

  1. Приведите пример гармонического осциллятора с затуханием. (Они более распространены, чем незатухающие или простые гармонические генераторы.)
  2. Как автомобиль будет подпрыгивать после удара в каждом из этих условий? (а) избыточное демпфирование; (б) недостаточное демпфирование; (c) критическое демпфирование.
  3. Большинство гармонических осцилляторов затухают и, если их не возбуждать, в конце концов останавливаются. Как это наблюдение связано со вторым законом термодинамики?

Задачи и упражнения

  1. Амплитуда слегка затухающего осциллятора уменьшается на 3,0% в течение каждого цикла. Какой процент механической энергии генератора теряется в каждом цикле?

Глоссарий

критическое демпфирование: состояние, при котором демпфирование осциллятора заставляет его как можно быстрее вернуться в положение равновесия, не колеблясь туда-сюда вокруг этого положения

избыточное демпфирование: состояние, при котором демпфирование осциллятора заставляет его вернуться в состояние равновесия без колебаний; осциллятор движется к равновесию медленнее, чем в системе с критическим демпфированием

при затухании: состояние, при котором затухание осциллятора заставляет его вернуться в состояние равновесия с постепенно уменьшающейся до нуля амплитудой; система возвращается к равновесию быстрее, но выходит за пределы положения равновесия и пересекает его один или несколько раз

В реальном мире колебания редко следуют истинному SHM. Какое-то трение обычно действует, чтобы ослабить движение, поэтому оно затухает или требует большей силы для продолжения. В этом разделе мы рассмотрим некоторые примеры затухающего гармонического движения и посмотрим, как изменить уравнения движения, чтобы описать этот более общий случай.

Гитарная струна перестает колебаться через несколько секунд после того, как ее задернули. Чтобы продолжать качаться на детских качелях, вы должны продолжать толкать ((Рисунок)). Хотя мы часто можем сделать трение и другие неконсервативные силы малыми или пренебрежимо малыми, полностью незатухающие движения встречаются редко. На самом деле, мы можем даже захотеть гасить колебания, например, с автомобильными амортизаторами.

Рисунок 15.24. Чтобы противодействовать демпфирующим силам, вам нужно продолжать качать качели. (кредит: Боб Микал)

(Рисунок) показывает массу m, прикрепленную к пружине с постоянной силой

Масса поднимается в положение

\]" ширина="20" высота="14" />

, начальная амплитуда, а затем отпущен.Масса колеблется вокруг положения равновесия в жидкости с вязкостью, но амплитуда уменьшается для каждого колебания. Для системы с небольшим демпфированием период и частота постоянны и почти такие же, как для SHM, но амплитуда постепенно уменьшается, как показано. Это происходит из-за того, что неконсервативная демпфирующая сила забирает энергию из системы, обычно в виде тепловой энергии.

Рис. 15.25. Для груза на пружине, колеблющегося в вязкой жидкости, период остается постоянным, но амплитуды колебаний уменьшаются из-за демпфирования, вызванного жидкостью.

Рассмотрите силы, действующие на массу. Обратите внимание, что единственный вклад веса заключается в изменении положения равновесия, как обсуждалось ранее в этой главе. Следовательно, результирующая сила равна силе пружины и силе демпфирования

_)\]" ширина="36" высота="18" />

<р>. Если величина скорости мала, то есть масса колеблется медленно, демпфирующая сила пропорциональна скорости и действует против направления движения

_=\textbv)\]" ширина="76" высота="18" />

<р>. Таким образом, результирующая сила, действующая на массу, равна

bv-kx.\]" width="111" height="13" />

Записав это как дифференциальное уравнение относительно x, мы получим

^x>^>+b\frac+kx=0.\]" width="177" height="39" />

Чтобы определить решение этого уравнения, рассмотрите график зависимости положения от времени, показанный на (рис.). Кривая напоминает косинусоидальную кривую, колеблющуюся в огибающей экспоненциальной функции

^\alpha t>\]" width="43" height="19" />

\]" ширина="62" высота="37" />

<р>. Решение

^t>\text(\omega t+\varphi ).\]" width="213" height="23" />

В качестве упражнения остается доказать, что это и есть решение. Чтобы доказать, что это правильное решение, возьмите первую и вторую производные по времени и подставьте их в (рисунок). Установлено, что (Рисунок) является решением, если

-<(\frac)>^>.\]" width="148" height="54" />

Напомним, что угловая частота массы, подвергающейся СГМ, равна квадратному корню из силовой постоянной, деленному на массу. Это часто называют собственной угловой частотой, которая представлена ​​как

_=\sqrt>.\]" ширина="83" высота="43" />

Угловая частота для затухающего гармонического движения становится

_^-<(\frac)>^>.\]" width="148" height="54" />

Рисунок 15.26. Положение в зависимости от времени для массы, колеблющейся на пружине в вязкой жидкости. Обратите внимание, что кривая выглядит как функция косинуса внутри экспоненциальной огибающей.

Вспомните, что когда мы начинали это описание затухающего гармонического движения, мы утверждали, что затухание должно быть небольшим. На ум приходят два вопроса. Почему затухание должно быть маленьким? И насколько мала мала? Если вы постепенно увеличиваете величину демпфирования в системе, это начинает влиять на период и частоту, потому что демпфирование противодействует и, следовательно, замедляет возвратно-поступательное движение. (Чистая сила меньше в обоих направлениях.) Если демпфирование очень велико, система даже не колеблется — она медленно движется к равновесию. Угловая частота равна

-<(\frac)>^>.\]" width="148" height="54" />

-<(\frac)>^\]" width="89" height="40" />

становится меньше и в конечном итоге достигает нуля, когда

\]" ширина="81" высота="18" />

<р>. Если b станет больше,

-<(\frac)>^\]" width="89" height="40" />

становится отрицательным числом и

-<(\frac)>^>\]" width="107" height="54" />

это комплексное число.

(Рисунок) показывает смещение гармонического осциллятора для различной степени демпфирования. Когда константа затухания мала,

система колеблется, а амплитуда движения затухает экспоненциально. Эта система называется недодемпфированной, как на кривой (а). Многие системы недостаточно демпфированы и колеблются, в то время как амплитуда уменьшается экспоненциально, например, масса, колеблющаяся на пружине. Затухание может быть довольно небольшим, но в конце концов масса останавливается. Если константа затухания

\]" ширина="81" высота="18" />

говорят, что система имеет критическое демпфирование, как на кривой (b). Примером системы с критическим демпфированием являются амортизаторы в автомобиле. Желательно, чтобы колебания затухали как можно быстрее. Здесь система не колеблется, а асимптотически приближается к равновесию как можно быстрее. Кривая (c) на (Рисунок) представляет систему с избыточным демпфированием, в которой

Система с избыточным демпфированием будет приближаться к равновесию в течение более длительного периода времени.

Рисунок 15.27 Положение в зависимости от времени для трех систем, состоящих из массы и пружины в вязкой жидкости. (a) Если демпфирование мало

, масса колеблется, медленно теряя амплитуду по мере того, как энергия рассеивается неконсервативной силой (силами). Предельным случаем является (b), когда демпфирование

)\]" ширина="92" высота="21" />

<р>. (c) Если демпфирование очень велико

масса не колеблется при смещении, а пытается вернуться в положение равновесия.

Часто желательно критическое демпфирование, потому что такая система быстро возвращается к равновесию и также остается в равновесии. Кроме того, постоянная сила, приложенная к системе с критическим демпфированием, перемещает систему в новое положение равновесия за максимально короткое время без перерегулирования или колебаний вокруг нового положения.

Проверьте свое понимание

Почему полностью незатухающие гармонические осцилляторы так редки?

[reveal-answer q="fs-id1167134541830"]Показать решение[/reveal-answer]

Трение часто возникает всякий раз, когда объект движется. Трение вызывает затухание в гармоническом осцилляторе.

Обзор

  • Затухающие гармонические осцилляторы имеют неконсервативные силы, рассеивающие их энергию.
  • Критическое демпфирование возвращает систему к равновесию как можно быстрее, не допуская перерегулирования.
  • Система с недостаточным демпфированием будет колебаться через положение равновесия.
  • Система с чрезмерным демпфированием движется к равновесию медленнее, чем система с критическим демпфированием.

Концептуальные вопросы

Приведите пример затухающего гармонического осциллятора. (Они более распространены, чем незатухающие или простые гармонические генераторы.)

[reveal-answer q="fs-id1167134989944"]Показать решение[/reveal-answer]

Автомобильный амортизатор.

Как автомобиль будет подпрыгивать после удара в каждом из этих условий?

(c) критическое демпфирование

Большинство гармонических осцилляторов затухают и, если их не возбуждать, в конце концов останавливаются. Почему?

[reveal-answer q="442423″]Показать решение[/reveal-answer]
[hidden-answer a="442423″]Второй закон термодинамики гласит, что вечный двигатель невозможен. В конце концов упорядоченное движение системы уменьшается и возвращается к равновесию.[/hidden-answer]

Проблемы

Амплитуда слабозатухающего осциллятора уменьшается на

в каждом цикле. Какой процент механической энергии генератора теряется в каждом цикле?

[reveal-answer q="fs-id1167134928633″]Показать решение[/reveal-answer]

Глоссарий

состояние с критическим демпфированием, при котором демпфирование осциллятора заставляет его как можно быстрее вернуться в положение равновесия без колебаний вперед и назад вокруг этого положения собственная угловая частота угловая частота системы, колеблющейся в состоянии с избыточным демпфированием SHM, осциллятор заставляет его вернуться к равновесию без колебаний; осциллятор движется к равновесию медленнее, чем в критически демпфированной системе с недостаточным демпфированием, в котором демпфирование осциллятора вызывает уменьшение амплитуды колебаний затухающего гармонического осциллятора с течением времени, в конечном итоге приближаясь к нулю

Читайте также: