Распределение Erlang в Excel
Обновлено: 25.06.2024
Гамма-распределение имеет такое же отношение к распределению Пуассона, как отрицательное биномиальное распределение к биномиальному распределению. Гамма-распределение также напрямую связано с экспоненциальным распределением и особенно с распределением хи-квадрат.
Определение 1. Гамма-распределение имеет функцию плотности вероятности (PDF), определяемую выражением
для положительных значений x, где α (параметр формы) и β (параметр масштаба) также являются положительными числами.
Функции Excel: Excel предоставляет следующие функции для гамма-распределения:
GAMMA.DIST(x, α, β, cum) = PDF-файл f(x) гамма-распределения, когда cum = FALSE, и соответствующей кумулятивной функции распределения (cdf) F(x), когда cum = TRUE
ГАММА.ОБР(p, α, β) = x так, что ГАММА.РАСП(x, α, β, ИСТИНА) = p. Таким образом, GAMMA.INV является обратным значением cdf гамма-распределения.
Эти функции недоступны в версиях Excel до Excel 2010. Вместо этого в этих версиях Excel используется ГАММАРАСП, эквивалентный ГАММА.РАСП, и ГАММАРАСП, эквивалентный ГАММА.ОБР.
Наблюдение: если λ — константа, представляющая среднее число случайных событий, происходящих за фиксированный интервал времени (т. е. по пуассоновскому процессу), то вероятность того, что k такое событие произойдет менее чем через x и определяется как F(x), где F кумулятивная функция гамма-распределения с параметрами α = k и β = 1/λ.
Пример 1. Предположим, что отправка денежного перевода является случайным событием и что в определенном магазине кто-то отправляет денежный перевод в среднем каждые 15 минут. Какова вероятность того, что магазин отправит в общей сложности 10 денежных переводов менее чем за 3 часа?
Для этого примера λ = 4 платежных поручения в час. Пусть x = время отправки 10 денежных переводов, и пусть F(x) будет кумулятивной функцией гамма-распределения с α = k = 10 и β = 1/λ = 0,25. Таким образом
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще. Меньше
Возвращает гамма-распределение. Вы можете использовать эту функцию для изучения переменных, которые могут иметь асимметричное распределение. Гамма-распределение обычно используется при анализе очередей.
Важно! Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые могут обеспечить повышенную точность и имена которых лучше отражают их использование. Хотя эта функция по-прежнему доступна для обратной совместимости, вам следует рассмотреть возможность использования новых функций с этого момента, поскольку эта функция может быть недоступна в будущих версиях Excel.
Дополнительную информацию о новой функции см. в разделе Функция ГАММА.РАСП.
Синтаксис
Синтаксис функции ГАММАРАСП имеет следующие аргументы:
X Обязательно. Значение, по которому вы хотите оценить распределение.
Требуется альфа-канал. Параметр распределения.
Требуется бета-версия. Параметр распределения. Если бета = 1, ГАММАРАСП возвращает стандартное гамма-распределение.
Обязательно. Логическое значение, определяющее форму функции. Если кумулятивный параметр равен TRUE, ГАММАРАСП возвращает кумулятивную функцию распределения; если FALSE, возвращается функция плотности вероятности.
Примечания
Уравнение для функции плотности гамма-вероятности:
Стандартная функция плотности вероятности гамма-излучения:
Когда альфа = 1, ГАММАРАСП возвращает экспоненциальное распределение с:
Для положительного целого числа n, когда альфа = n/2, бета = 2 и кумулятивный = ИСТИНА, функция ГАММАРАСП возвращает (1 – ХИРАСП(x)) с n степенями свободы.
Когда альфа является положительным целым числом, GAMMADIST также называется распределением Эрланга.
Пример
Скопируйте данные примера из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы формулы отображали результаты, выберите их, нажмите F2, а затем нажмите клавишу ВВОД. При необходимости вы можете изменить ширину столбцов, чтобы увидеть все данные.
Описание
Значение, по которому вы хотите оценить распределение
Альфа-параметр для раздачи
Бета-параметр раздачи
Описание
Плотность вероятности с использованием значений x, alpha и beta в A2, A3, A4 с кумулятивным аргументом FALSE.
Совокупное распределение с использованием значений x, alpha и beta в A2, A3, A4 с ИСТИННЫМ кумулятивным аргументом.
Распределение Эрланга (или распределение m-Эрланга) – это распределение вероятностей, разработанное А. К. Эрлангом. Это частный случай гамма-распределения.Гамма-распределение (a, b) равно распределению Эрланга (m, b) с a = m, когда a является целым числом. Примеры распределения Эрланга приведены ниже:
В отличие от гамма-распределения, Erlang имеет кумулятивную функцию распределения.
Распределение Эрланга(m, b) такое же, как распределение Gamma(a, b), но с тем ограничением, что a (т.е. m) должно быть положительным целым числом. Следовательно, в своих приложениях он не имеет никаких преимуществ перед гамма-распределением. В старые времена моделирования было проще генерировать значения из распределения Эрланга, просто складывая вместе m независимых экспоненциальных распределений, а также можно было вычислить кумулятивную функцию распределения, но теперь это преимущество излишне. Распределение Erlang включено в ModelRisk для большей совместимости с другими инструментами моделирования.
Комментарии
А.К. Erlang много работал над моделированием трафика. Таким образом, есть два других дистрибутива Erlang, оба из которых используются для моделирования трафика:
Распределение Erlang B: это более простое из двух, и его можно использовать, например, в колл-центре для расчета количества соединительных линий, необходимых для передачи определенного объема телефонного трафика с определенной «целевой услугой». .
Распределение Erlang C: эта формула намного сложнее и часто используется, например, для расчета того, как долго абонентам придется ждать, прежде чем соединиться с человеком в колл-центре или в подобной ситуации.
Функции ModelRisk добавлены в Microsoft Excel для дистрибутива Erlang
VoseErlang генерирует случайные значения из этого распределения для моделирования методом Монте-Карло или вычисляет процентиль, если используется с параметром U.
VoseErlangObject создает объект дистрибутива для этого дистрибутива.
VoseErlangProb возвращает плотность вероятности или кумулятивную функцию распределения для этого распределения.
VoseErlangProb10 возвращает log10 плотности вероятности или кумулятивной функции распределения.
VoseErlangFit создает значения из этого распределения, соответствующие данным, или вычисляет процентиль из подобранного распределения.
VoseErlangFitObject создает объект распределения этого распределения, подогнанного к данным.
VoseErlangFitP возвращает параметры этого распределения, соответствующие данным.
Гамма-распределение часто используется для определения вероятностей наборов значений, которые могут иметь асимметричное распределение, например, при анализе очередей.
Эта функция подробно описана на странице распределения гаммы в Википедии.
Описание функции
Для набора предоставленных параметров функция Excel Gamma.Dist вычисляет значение либо кумулятивного распределения, либо функции плотности вероятности для гамма-распределения.
Функция Гамма.Расст появилась впервые в Excel 2010 и поэтому недоступна в более ранних версиях Excel. Однако эта функция представляет собой просто обновленную версию функции Gammadist, которая имеется в более ранних версиях Excel.
Синтаксис функции Gamma.Dist:
Параметр распределения.
Логический аргумент, определяющий тип вычисляемого гамма-распределения. Это может быть:
Примеры функции Gamma.Dist
Пример 1. Функция плотности вероятности
Гамма-распределение плотности вероятности с α=3 и β=2
На приведенном выше графике справа показана функция плотности вероятности для гамма-распределения с α = 3 и β = 2.
Значение этой функции для выбранного значения x можно рассчитать с помощью функции Excel Gamma.Dist. Например, значение функции при x = 6 определяется как:
что дает результат 0,112020904.
Пример 2. Суммарная функция распределения
Функция кумулятивного гамма-распределения с α=3 и β=2
На приведенном выше графике справа показано кумулятивное гамма-распределение с α = 3 и β = 2.
Читайте также: