Точную информацию о соотношении сторон геометрической фигуры можно получить с помощью

Обновлено: 21.11.2024

Еще одна категория проблем с пропорциями — это "похожие фигуры".

"Похожие" – это геометрический термин, относящийся к одинаковым геометрическим фигурам, за исключением того, что одна из них больше другой. Подумайте о том, что происходит, когда вы используете настройку «увеличение» или «уменьшение» на копировальном аппарате или когда вы получаете изображение, которое вам действительно нравится, увеличенное в восемь раз на десять, и у вас будет правильное представление; или, если вы использовали графическую программу, подумайте о "соотношении сторон".

Контент продолжается ниже

В контексте соотношений и пропорций точка сходства заключается в том, что соответствующие стороны подобных фигур пропорциональны; то есть длины пропорциональны.

Например, посмотрите на похожие треугольники ABC и abc ниже:

«Соответствующие стороны» — это пары сторон, которые «совпадают», за исключением аспекта увеличения или уменьшения их относительных размеров. Таким образом, A соответствует a , B соответствует b , а C соответствует с .

Так как эти треугольники подобны, то пары соответствующих сторон пропорциональны. То есть A : a = B : b = C : с . Эта пропорциональность соответствующих сторон может быть использована для нахождения длины стороны фигуры, учитывая аналогичную фигуру, для которой известны размеры.

В показанных треугольниках длины сторон даны как A = 48 мм, B = 81 мм, C = 68. мм, а a = 21 мм. Найдите длины сторон b и c , округленные до ближайшего целого числа.

Я настрою свои пропорции, используя отношения в форме (длина большого треугольника) / (длина маленького треугольника), а затем решу пропорции. Поскольку у меня есть только длина стороны a для маленького треугольника, мое эталонное соотношение будет A : a .

Сначала я найду длину b . Вот моя установка:

Заполняя мои известные значения, я получаю:

(Мне нужно будет не забыть указать округленное до целого число для (а именно, " 35 ") в моем ответе.)

Теперь, когда я нашел одну длину, я тем же методом найду длину оставшейся стороны, c .

Для моего ответа я мог бы просто записать два числа, которые я нашел, но эти числа не будут иметь большого смысла без их единиц измерения. Кроме того, при повторной проверке исходного упражнения мне напомнили, что я должен округлить свои значения до ближайшего целого числа, поэтому «29,75», с единицами измерения или без них, будет неправильным. Правильный ответ:

Хотя я мог бы использовать длину, найденную для b, для нахождения длины c в приведенном выше упражнении, вместо этого я вернулся к значению а . Почему? Потому что это было заведомо хорошее «точное» значение. Хотя десятичное значение в данном случае было точным значением (то есть значение для b не округлялось), обычно лучше иметь привычку возвращаться к заведомо правильным значениям, когда это возможно. Таким образом, когда десятичное значение округлено, вы игнорируете округленное производное значение и возвращаетесь к точному исходному значению. Эта практика поможет вам избежать ошибки округления.

Изображение размером 3,5 дюйма (то есть 3,5 дюйма) в высоту и 5 дюймов в ширину необходимо увеличить так, чтобы ширина теперь составляла 9 дюймов. Какой высоты будет изображение?

Фотолаборатория при увеличении исходного изображения будет сохранять пропорции оригинала; то есть прямоугольники, представляющие внешние края исходного и увеличенного изображения, будут похожими фигурами. Используя этот факт, я могу установить пропорцию и решить, используя " h " для обозначения значения высоты, которое я ищу:

Высота изображения будет:

В первом упражнении выше отношения были между соответствующими сторонами, и пропорциональность была сформирована из этих пар сторон. Соотношения в пропорциях содержали дроби, образованные от деления первоначального большого значения на новое малое значение. Во втором упражнении выше отношения были между двумя разными измерениями, а пропорциональность была сформирована из наборов измерений. Соотношения в пропорции содержат дроби, образованные из старой высоты и старой ширины, а также из новой высоты и новой ширины.

Для многих упражнений вы сможете установить соотношения и пропорции несколькими способами. Это совершенно нормально. Просто убедитесь, что вы хорошо маркируете вещи, четко определяете свои переменные и настраиваете их разумным и последовательным образом. Это должно помочь вам найти правильные решения.Если вы когда-нибудь сомневались в своем решении, не забудьте снова подключить его к исходному упражнению и убедиться, что оно работает.

Контент продолжается ниже

Есть еще одна тема, своего рода ответвление вопросов с похожими цифрами, с которыми вы можете столкнуться. Это тот факт, что если две фигуры (или трехмерные фигуры) подобны, то пропорциональны не только их длины, но и их квадраты (будучи их площадями) и их кубы (будучи их объемами).

Две прямоугольные призмы подобны, одна пара соответствующих длин равна 15 см и 27 см соответственно. а) Если объем меньшей призмы равен 2000 см 3 , то чему равен объем большей призмы? (b) Если площадь одной грани большей призмы равна 243 см 2 , какова площадь соответствующей стороны меньшей призмы?

«Прямоугольная призма» — это просто причудливая геометрическая формулировка для «кирпича», поэтому я знаю, что работаю с трехмерными формами. Мне известно, что формы похожи, и мне предоставлены две сравнительные длины. Это дает мне мое основное соотношение:

Это линейное отношение для двух призм, и я буду использовать его, чтобы найти ответы для объема и площади поверхности.

(a) Чтобы найти объем большей призмы, мне нужно возвести в куб линейное отношение, которое они мне дали (то есть мне нужно возвести в куб уменьшенную дробь, которую я получил, когда поместил две длины в отношение выше). Поместив значения для меньшей призмы в верхнюю часть коэффициентов, я получаю:

Это соотношение, которое я буду использовать для настройки пропорции объема:

Проверив свои единицы, я получаю ответ:

(b) Чтобы найти площадь поверхности одной стороны меньшей призмы, мне нужно возвести в квадрат линейное отношение, которое они мне дали (то есть мне нужно возвести в квадрат уменьшенную дробь, полученную путем помещения двух длин в отношение ). Поместив значения для меньшей призмы в верхнюю часть коэффициентов, я получаю:

Еще одна категория проблем с пропорциями — это "похожие фигуры".

Контент продолжается ниже

Например, посмотрите на похожие треугольники ABC и abc ниже:

В показанных треугольниках длины сторон даны как A = 48 мм, B = 81 мм, C = 68. мм, а a = 21 мм. Найдите длины сторон b и c , округленные до ближайшего целого числа.

Сначала я найду длину b . Вот моя установка:

Заполняя мои известные значения, я получаю:

(Мне нужно будет не забыть указать округленное до целого число для (а именно, " 35 ") в моем ответе.)

Теперь, когда я нашел одну длину, я тем же методом найду длину оставшейся стороны, c .

Хотя я мог бы использовать длину, найденную для b, для нахождения длины c в приведенном выше упражнении, вместо этого я вернулся к значению а . Почему? Потому что это было заведомо хорошее «точное» значение.Хотя десятичное значение в данном случае было точным значением (то есть значение для b не округлялось), обычно лучше иметь привычку возвращаться к заведомо правильным значениям, когда это возможно. Таким образом, когда десятичное значение округлено, вы игнорируете округленное производное значение и возвращаетесь к точному исходному значению. Эта практика поможет вам избежать ошибки округления.

Изображение размером 3,5 дюйма (то есть 3,5 дюйма) в высоту и 5 дюймов в ширину необходимо увеличить так, чтобы ширина теперь составляла 9 дюймов. Какой высоты будет изображение?

Высота изображения будет:

Для многих упражнений вы сможете установить соотношения и пропорции несколькими способами. Это совершенно нормально. Просто убедитесь, что вы хорошо маркируете вещи, четко определяете свои переменные и настраиваете их разумным и последовательным образом. Это должно помочь вам найти правильные решения. Если вы когда-нибудь сомневались в своем решении, не забудьте снова подключить его к исходному упражнению и убедиться, что оно работает.

Контент продолжается ниже

Две прямоугольные призмы подобны, одна пара соответствующих длин равна 15 см и 27 см соответственно. а) Если объем меньшей призмы равен 2000 см 3 , то чему равен объем большей призмы? (b) Если площадь одной грани большей призмы равна 243 см 2 , какова площадь соответствующей стороны меньшей призмы?

Это соотношение, которое я буду использовать для настройки пропорции объема:

Проверив свои единицы, я получаю ответ:

Периметр – это одномерное измерение, которое измеряется снаружи замкнутой геометрической формы. Давайте начнем обсуждение концепции периметра с примера.

Пошаговый пример

У Джозефа нет машины, поэтому ему приходится ездить на автобусе или ходить пешком. По понедельникам он должен ходить в школу, на работу и снова домой. Его маршрут показан на рисунке 1.

Очевидный вопрос, который следует задать в этой ситуации: «Сколько миль Джозеф проезжает по понедельникам»? Чтобы вычислить, мы каждое расстояние: 3 + 6 + 6 = 15.

По понедельникам Джозеф проезжает 15 миль.

Еще один способ справиться с этой ситуацией — нарисовать фигуру, представляющую маршрут путешествия Джозефа и помеченную расстоянием от одного места до другого.

Обратите внимание, что форма, образованная маршрутом Джозефа, представляет собой замкнутую геометрическую фигуру с тремя сторонами (треугольник) (см. рис. 2). Что мы можем спросить об этой фигуре: «Каков периметр треугольника»?

Периметр означает «расстояние вокруг замкнутой фигуры или формы», и для вычисления мы добавляем каждую длину: 3 + 6 + 6 = 15

Наш вывод такой же, как и выше: по понедельникам Джозеф проезжает 15 миль.

Однако мы смоделировали ситуацию с помощью геометрической формы, а затем применили определенную геометрическую концепцию (периметр), чтобы вычислить, как далеко проехал Джозеф.

Примечания по периметру

Периметр — это одномерное измерение, представляющее расстояние вокруг замкнутой геометрической фигуры или формы (без зазоров).
Чтобы найти периметр, сложите длины каждой стороны фигуры.
Если есть единицы, включите их в окончательный результат. Единицы измерения всегда будут одноразмерными (например, футы, дюймы, ярды, сантиметры и т. д.)

Чтобы вычислить периметр, наши фигуры должны быть закрыты. На рис. 3 показана разница между закрытой фигурой и открытой фигурой.

Пример 1

Найдите периметр каждой из фигур ниже.

Решения

Пример 2

Как найти периметр этой более сложной формы?

Решение

Просто продолжайте добавлять длины сторон. 6 + 7 + 4 + 4 + 5 + 6 + 2 = 34 единицы

Если вы внимательно посмотрите на фигуры в предыдущих примерах, вы можете заметить некоторые способы записи каждого периметра в виде более явной формулы. Посмотрите, соответствуют ли результаты того, что мы сделали, приведенным ниже формулам.

Форма	Периметр
Треугольник со стороной длины, a, b, c:	Окружность Вы можете заметить, что мы еще не обсуждали расстояние вокруг очень важной геометрической формы: круга! Расстояние по окружности имеет специальное название – длина окружности. Чтобы найти длину окружности, мы используем эту формулу: C = 2πr В этой формуле π произносится как «пи» и определяется как длина окружности, деленная на ее диаметр: [латекс]\displaystyle\pi=\frac\\[/latex]. Обычно мы заменяем π приближением 3.14. Буква r обозначает радиус окружности. Давайте посмотрим, откуда взялась формула длины окружности. На рис. 4 показана обычная окружность с радиусом r. Примечания относительно C = 2πr Помните, что в формуле при вычислении длины окружности C = 2πr мы умножаем следующим образом, обычно подставляя 3,14 вместо π: Часто использование ( ) облегчает просмотр различных частей формулы: Происхождение C = 2πr Как упоминалось ранее, специальное число π определяется как отношение длины окружности к ее диаметру. Мы можем записать это в виде уравнения: [латекс]\displaystyle\frac=\pi\\[/latex] Из нашей предыдущей работы мы знаем, что для идентификации неизвестного, C, мы можем переместить d в другую часть уравнения, написав C = πd. Диаметр полностью проходит через середину круга, поэтому диаметр в два раза больше радиуса. Мы можем обновить C с точки зрения радиуса как C = π(2r). Немного изменив порядок написания наших частей, мы можем сказать, что C = 2πr. Давайте воспользуемся формулой, чтобы найти длину окружности нескольких кругов. Пример 3 Найдите длину окружности каждого из следующих кругов. Оставляйте свои ответы сначала в точной форме, а затем в округленной форме (с точностью до сотых).(Обратите внимание, что при указании радиуса его значение центрируется над сегментом радиуса. Когда задан диаметр, его значение центрируется над сегментом диаметра.) Решения Точно 8π дюймов; округлено от точного ответа 25,13 дюйма; округлено с использованием 3,14 для π 25,12 дюйма Точное 12,44π м; округлено от точного ответа 39,08 м; округлено с использованием 3,14 для π 39,06 м Точная форма против закругленной формы π — число в точной форме. Оно не округлено. 3.14 – округленная форма для π Почему так важно, какую форму мы используем? Это важно, потому что, когда мы округляем, мы вносим ошибку в наш окончательный результат. Для этого класса эта ошибка обычно приемлема. Однако вы обнаружите, что в других предметах, таких как физика или химия, этот уровень точности имеет большое значение. Давайте посмотрим на пример разницы в формах. Пример 4 Радиус Луны составляет около 1079 миль. Что такое окружность? Давайте решим это, используя как точную форму, так и округленную форму: Точное решение Чтобы округлить от точного решения, используйте кнопку π на калькуляторе, чтобы получить Универсальное решение Обратите внимание, что наши окончательные результаты отличаются. Эта разница является ошибкой, возникающей при использовании 3.14 в качестве начального приближения для π. Выполняя домашние задания и тесты, внимательно читайте инструкции к каждой задаче, чтобы понять, какую форму использовать. Пример 5 Найдите длину окружности или периметра в каждой описанной ниже ситуации. Включите рисунок формы с включенной информацией. Используйте примеры, чтобы определить, какие фигуры рисовать. Показать все работы. Как и в примерах, если включены единицы, то единицы должны присутствовать в конечном результате. Округлите до десятых, если не указано иное. Найдите периметр квадрата со стороной 2,17 фута. Найдите периметр прямоугольника со сторонами 4,2 и 3,8. Найдите периметр треугольника со сторонами 2, 5, 7. Найдите длину окружности радиусом 6 дюймов. Представьте ответ в точной форме, а также вычислите, используя 3.14 для π. Представьте округленную форму с точностью до десятых. Найдите длину окружности диаметром 14,8 дюйма. Представьте ответ в точной форме, а также вычислите, используя 3.14 для π. Представьте округленную форму с точностью до десятых. Решения 8,68 футов 16 14 Точно 12π дюймов, округлено 37,7 дюймов Точный размер 14,8 π, округленный до 46,5 дюйма. Пример 6 Нахождение расстояния вокруг нестандартных фигур Основные формулы для периметра прямолинейных фигур и длины окружности помогут нам найти расстояние вокруг более сложных фигур. Найдите расстояние вокруг следующей фигуры. Округлите окончательный ответ до десятых и используйте 3,14 для числа π. Решение Пример 7 Применение периметра и окружности Наши знания об основных геометрических фигурах можно применить для решения «реальных» задач. Валли хочет построить забор с задней стороны своего дома, чтобы его дети могли безопасно играть (см. схему ниже). Он начал измерять свой двор, но отвлекся и забыл закончить измерение перед тем, как пойти в магазин. Если он помнит, что задняя стена его дома имеет длину 15 ярдов, достаточно ли у него информации, чтобы купить необходимое ему ограждение? Если да, то сколько футов он должен купить? Решение Давайте еще раз взглянем на задний двор Уолли из примера 7, чтобы ввести следующее понятие: площадь. Пошаговый пример Уолли успешно обнес свой двор забором, но теперь хочет немного озеленить его и создать лужайку, как показано ниже. Он направляется в местный магазин газонов и выясняет, что для того, чтобы определить, сколько дерна ему нужно, он должен вычислить площадь участка, на который он хочет добавить траву. По пути домой он понимает, что если он разделит травяной участок на участки размером 1 фут на 1 фут, а затем посчитает их, то сможет определить площадь участка в квадратных футах. Вот информация, которую Уолли получил, когда вернулся домой. Уолли правильно определил, что площадь прямоугольного участка с травой составляет 30 квадратных футов. Примечания по площади Площадь – это двухмерное измерение, представляющее объем пространства внутри двухмерной фигуры. Чтобы найти площадь, подсчитайте количество единичных квадратов внутри фигуры. Если есть единицы, включите их в окончательный результат. Единицы всегда будут двухмерными (например, квадратные футы, квадратные ярды, квадратные мили и т. д.) Пример 8 Найдите площадь каждой из фигур ниже. Пример 9 Как найти площадь для более сложных форм? Разбейте области на формы, которые мы узнаем, и сложите значения областей вместе. Если вы внимательно посмотрите на фигуры в предыдущих примерах, то заметите некоторые способы записи каждой области в виде более явной формулы. Посмотрите, соответствуют ли результаты того, что мы сделали, приведенным ниже формулам. [латекс]А=а\cdot\\[/латекс] Формулы площади для приведенных ниже фигур вывести сложнее, поэтому формулы перечислены в таблице. Треугольник с высотой h и основанием b Читается как «половина основания, умноженная на высоту» Окружность радиусом r Если ваш треугольник такой, как на рисунке слева, то высота нарисована и измерена за пределами треугольника. Пример 10 Найдите область для каждой описанной ситуации. Создайте рисунок формы с включенной информацией. Показать все работы. Как и в примерах, если включены единицы, то единицы должны присутствовать в конечном результате. Используйте 3.14 для числа π и при необходимости округлите ответы до десятых. Найдите площадь прямоугольника, длина которого составляет 12,9 метра, а высота составляет одну треть этой суммы. Найдите площадь треугольника с основанием [латекс]\displaystyle\frac\\[/латекс] в дюймах и высотой 7 дюймов. Найдите площадь круга с радиусом [латекс]\displaystyle\frac\\[/латекс] дюймов. Представьте ответ в точной форме, а также вычислите округленную форму, используя 3.14 для π. Представьте округленную форму с точностью до десятых. Решения 55,5 м 2 или 55,5 квадратных метров (округлено) 85,8 дюйма на 2 или 85,8 квадратных дюйма (округлено) Точно 49/9 π на 2 , округлено до 17,1 на 2 Пример 11 Найдите область для каждой описанной ситуации. Включите рисунок формы с включенной информацией. Показать все работы. Как и в примерах, если включены единицы, то единицы должны присутствовать в конечном результате. Округлите ответы до десятых, если не указано иное. Найдите площадь квадрата со стороной 4,2 фута. Найдите площадь прямоугольника со сторонами 4,2 и 3,8. Найдите площадь треугольника с высотой 7 дюймов и основанием 12 дюймов. Найдите площадь круга радиусом 6 дюймов. Представьте ответ в точной форме, а также вычислите, используя 3.14 для π. Представьте округленную форму с точностью до десятых. Решения 17,64 фута 2 или 17,64 кв. фута 16,0 42 на 2 или 42 квадратных дюйма Точно 36π в 2 или 36π квадратных дюймов, округлено с использованием 3,14 для π 113,0 в 2 или 113,0 квадратных дюймов Пример 12 Нахождение площади нестандартных фигур Основные формулы площади помогут нам найти площадь более сложных фигур. Это та же проблема, для которой мы нашли периметр ранее. Найдите площадь заданной фигуры. Вычислить, используя 3,14 для π и округлить до ближайшей десятой. Решение Округлено с использованием 3,14 для π 25,9 дюйма 2 Пример 13 Применение площади и периметра Мы можем объединить наши знания о площади/периметре для решения таких задач, как эта. Уолли все еще ремонтирует свой дом, и ему нужно закончить проект напольного покрытия. Он хочет купить достаточное количество бамбукового паркета, чтобы покрыть площадь пола в комнатах A, C и коридоре B, а также достаточное количество бамбуковой кромки для плинтусов во всех помещениях. Сколько квадратных футов полов и сколько футов плинтусов он должен купить? Несмотря на то, что были приложены все усилия для соблюдения правил стиля цитирования, могут быть некоторые расхождения.Если у вас есть какие-либо вопросы, обратитесь к соответствующему руководству по стилю или другим источникам. Наши редакторы рассмотрят то, что вы отправили, и решат, нужно ли пересматривать статью. Узнайте, как инженеры-строители и инженеры-экологи понимают механику тонких конструкций и как они используют геометрию для изучения процесса деформации Изучение того, как инженеры-строители и инженеры-экологи используют геометрию для изучения процессов деформации в проектах различного масштаба. геометрия, раздел математики, изучающий форму отдельных объектов, пространственные отношения между различными объектами и свойства окружающего пространства. Это один из старейших разделов математики, возникший в ответ на такие практические задачи, как геодезия, и его название происходит от греческих слов, означающих «измерение Земли». В конце концов стало понятно, что геометрия не должна ограничиваться изучением плоских поверхностей (геометрия плоскостей) и жестких трехмерных объектов (геометрия тел), но что даже самые абстрактные мысли и образы могут быть представлены и развиты в геометрических терминах. р> Эта статья начинается с краткого обзора основных разделов геометрии, а затем переходит к обширному историческому анализу. Для получения информации о конкретных разделах геометрии см. см. евклидову геометрию, аналитическую геометрию, проективную геометрию, дифференциальную геометрию, неевклидову геометрию и топологию. Вот ваша миссия, если вы решите ее принять: определить следующие математические термины до того, как истечет время. Основные разделы геометрии Евклидова геометрия В некоторых древних культурах была разработана форма геометрии, подходящая для соотношений между длинами, площадями и объемами физических объектов. Эта геометрия была кодифицирована в Началах Евклида около 300 г. до н.э. на основе 10 аксиом или постулатов, из которых несколько сотен теорем были доказаны с помощью дедуктивной логики. Начала олицетворяли аксиоматико-дедуктивный метод на протяжении многих веков. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия была инициирована французским математиком Рене Декартом (1596–1650), который ввел прямоугольные координаты для определения местоположения точек и для представления линий и кривых с помощью алгебраических уравнений. Алгебраическая геометрия — это современное расширение предмета на многомерные и неевклидовы пространства. Проективная геометрия Проективная геометрия была создана французским математиком Жираром Дезаргом (1591–1661) для изучения тех свойств геометрических фигур, которые не изменяются при проецировании их изображения или «тени» на другую поверхность. Дифференциальная геометрия Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) в связи с практическими задачами геодезии и геодезии положил начало дифференциальной геометрии. Используя дифференциальное исчисление, он охарактеризовал внутренние свойства кривых и поверхностей. Например, он показал, что внутренняя кривизна цилиндра такая же, как кривизна плоскости, в чем можно убедиться, разрезав цилиндр вдоль его оси и сплющив, но не такая же, как у сферы, которую нельзя сплющить без искажение. Неевклидовы геометрии Начиная с 19 века различные математики заменяли альтернативами постулат параллельности Евклида, который в его современной форме гласит: «данная линия и точка, не лежащие на прямой, можно провести ровно одну прямую через данную точка параллельна прямой». Они надеялись показать, что альтернативы логически невозможны. Вместо этого они обнаружили, что существуют непротиворечивые неевклидовы геометрии. Топология Топология, самый молодой и сложный раздел геометрии, фокусируется на свойствах геометрических объектов, которые остаются неизменными при непрерывной деформации — сжатии, растяжении и складывании, но не разрыве. Непрерывное развитие топологии началось с 1911 г., когда голландский математик Л.Э.Й. Брауэр (1881–1966) ввел методы, обычно применимые к этой теме. История геометрии Самые ранние из известных недвусмысленных примеров письменных источников, датируемых Египтом и Месопотамией около 3 100 года до н. э., показывают, что древние люди уже начали разрабатывать математические правила и методы, полезные для съемки земельных участков, строительства зданий и измерения емкостей для хранения.Начиная примерно с VI века до н. >метрон («мера») для измерения Земли. Помимо описания некоторых достижений древних греков, в частности логического развития Евклидом геометрии в Началах, в этой статье рассматриваются некоторые приложения геометрии в астрономии, картографии и живописи из классической Греции. через средневековый ислам и Европу эпохи Возрождения. Он завершается кратким обсуждением расширений неевклидовой и многомерной геометрии в современную эпоху. Древняя геометрия: практическая и эмпирическая Происхождение геометрии лежит в заботах повседневной жизни. Согласно традиционному описанию, сохранившемуся в Истории Геродота (V век до н. э.), египтяне изобрели геодезию для восстановления стоимости собственности после ежегодного разлива Нила. Точно так же стремление узнать объемы твердых цифр проистекало из необходимости оценивать дань, хранить масло и зерно, строить плотины и пирамиды. Даже три непонятные геометрические задачи древности — удвоить куб, разделить угол на три части и возвести в квадрат круг, все из которых будут обсуждаться позже — вероятно, возникли из практических вопросов, из религиозного ритуала, хронометража и строительства, соответственно, в догреческих обществ Средиземноморья. И главный предмет позднейшей греческой геометрии, теория конических сечений, обязан своим общим значением, а может быть, и своим происхождением, своему применению к оптике и астрономии. Хотя многие древние люди, известные и неизвестные, внесли свой вклад в эту тему, ни один из них не мог сравниться по влиянию с Евклидом и его Элементами геометрии, книгой, которой уже 2300 лет и которая является объектом столь болезненных и болезненных кропотливое изучение Библии. Однако о Евклиде известно гораздо меньше, чем о Моисее. На самом деле, единственное, что известно с достаточной степенью достоверности, это то, что Евклид преподавал в Александрийской библиотеке во времена правления Птолемея I (323–285/283 до н. э.). Евклид писал не только по геометрии, но и по астрономии и оптике, а может быть, и по механике и музыке. Только Элементы, которые были многократно скопированы и переведены, остались нетронутыми. Начала Евклида были настолько полными и четкими, что буквально стерли с лица земли работы его предшественников. То, что известно о греческой геометрии до него, исходит главным образом из фрагментов, цитируемых Платоном и Аристотелем, а также более поздними математиками и комментаторами. Среди других ценных предметов, которые они сохранили, есть некоторые результаты и общий подход Пифагора (ок. 580–ок. 500 до н. э.) и его последователей. Пифагорейцы убедили себя, что все вещи являются числами или обязаны своими отношениями числам. Учение придавало математике первостепенное значение в исследовании и понимании мира. Платон развил подобный взгляд, и философы, находившиеся под влиянием Пифагора или Платона, часто восторженно писали о геометрии как о ключе к толкованию вселенной. Таким образом, древняя геометрия ассоциировалась с возвышенным, что дополняло ее земное происхождение и репутацию образца точного мышления. Нахождение правильного угла Древние строители и геодезисты должны были иметь возможность строить прямые углы в поле по требованию. Метод, применяемый египтянами, принес им в Греции прозвище «дергальщики каната», по-видимому, потому, что они использовали веревку для выкладки своих строительных инструкций. Один из способов, которым они могли использовать веревку для построения прямоугольных треугольников, заключался в том, чтобы пометить веревку с петлями узлами, чтобы, если ее удерживать за узлы и туго натягивать, веревка образовывала прямоугольный треугольник. Самый простой способ выполнить трюк — взять веревку длиной 12 звеньев, завязать узел на 3 звена с одного конца и еще 5 звеньев на другой конец, а затем связать концы вместе, чтобы получилась петля, как показано на рисунке. анимация. Однако египетские писцы не оставили нам указаний об этих процедурах, не говоря уже о том, что они знали, как обобщить их для получения теоремы Пифагора: квадрат на прямой, противоположной прямому углу, равен сумме квадратов на двух других. стороны. Точно так же ведические писания древней Индии содержат разделы, называемые сульвасутры, или «правила веревки», для точного расположения жертвенных алтарей. Требуемые прямые углы были сделаны из веревок, размеченных для получения триад (3, 4, 5) и (5, 12, 13). В вавилонских глиняных табличках (ок. 1700–1500 гг. до н. э.) современные историки обнаружили задачи, решения которых указывают на то, что теорема Пифагора и некоторые специальные триады были известны более чем за тысячу лет до Евклида.Однако случайный прямоугольный треугольник вряд ли будет иметь все стороны, измеряемые одной и той же единицей измерения, то есть каждая сторона будет целым числом, кратным некоторой общепринятой единице измерения. Этот факт, поразивший пифагорейцев, породил концепцию и теорию несоизмеримости. Обнаружение недоступного Согласно древней традиции, Фалес Милетский, живший до Пифагора в VI веке до нашей эры, изобрел способ измерения недоступных высот, таких как египетские пирамиды. Хотя ни одно из его сочинений не сохранилось, Фалес, возможно, хорошо знал о вавилонском наблюдении, что для подобных треугольников (треугольников, имеющих одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер) длина каждой соответствующей стороны увеличивается (или уменьшается) на одно и то же кратное число. На рисунке показано определение высоты башни с помощью подобных треугольников. Древние китайцы пришли к измерению недостижимых высот и расстояний другим путем, используя «дополнительные» прямоугольники, как показано на следующем рисунке , который, как можно показать, дает результаты, эквивалентные результатам греческого метода с использованием треугольников. Сравнение китайской и греческой геометрической теоремы. Рисунок иллюстрирует эквивалентность китайской теоремы о дополнительных прямоугольниках и греческой теоремы о подобных треугольниках. Оценка богатства На вавилонской клинописной табличке, написанной около 3 500 лет назад, рассматриваются проблемы, связанные с плотинами, колодцами, водяными часами и раскопками. В нем также есть упражнение на круглые ограждения с подразумеваемым значением π = 3. Подрядчик бассейна царя Соломона, который построил пруд 10 локтей в поперечнике и 30 локтей вокруг (3 Царств 7:23), использовал то же значение. Однако евреи должны были заимствовать свое число π у египтян до того, как переплыли Красное море, поскольку папирус Райнда (ок. 2000 г. до н. э.; наш основной источник по древнеегипетской математике) подразумевает π = 3,1605. Знание площади круга имело практическое значение как для чиновников, следивших за данью фараона, так и для строителей алтарей и бассейнов. Ахмес, писец, скопировавший и комментировавший папирус Райнда (ок. 1650 г. до н. э.), может многое сказать о цилиндрических зернохранилищах и пирамидах, целых и усеченных. Он мог рассчитать их объемы, и, как видно из того, что он принял египетское секед, горизонтальное расстояние, связанное с вертикальным подъемом в один локоть, в качестве определяющей величины для наклона пирамиды, он знал кое-что о подобных треугольники. Читайте также: Как компьютеры взаимодействуют друг с другом в сети Как убрать разрыв страницы в Excel Как создать файл pkg Как стать компьютерным мастером Как рассчитать емкость батареи для ИБП Контакты Политика конфиденциальности

Форма

Периметр

Треугольник со стороной длины, a, b, c:

Окружность

Вы можете заметить, что мы еще не обсуждали расстояние вокруг очень важной геометрической формы: круга! Расстояние по окружности имеет специальное название – длина окружности. Чтобы найти длину окружности, мы используем эту формулу: C = 2πr

В этой формуле π произносится как «пи» и определяется как длина окружности, деленная на ее диаметр: [латекс]\displaystyle\pi=\frac\\[/latex]. Обычно мы заменяем π приближением 3.14. Буква r обозначает радиус окружности.

Давайте посмотрим, откуда взялась формула длины окружности. На рис. 4 показана обычная окружность с радиусом r.

Примечания относительно C = 2πr

Помните, что в формуле при вычислении длины окружности C = 2πr мы умножаем следующим образом, обычно подставляя 3,14 вместо π:

Часто использование ( ) облегчает просмотр различных частей формулы:

Происхождение C = 2πr

Как упоминалось ранее, специальное число π определяется как отношение длины окружности к ее диаметру. Мы можем записать это в виде уравнения: [латекс]\displaystyle\frac=\pi\\[/latex]

Из нашей предыдущей работы мы знаем, что для идентификации неизвестного, C, мы можем переместить d в другую часть уравнения, написав C = πd. Диаметр полностью проходит через середину круга, поэтому диаметр в два раза больше радиуса. Мы можем обновить C с точки зрения радиуса как C = π(2r). Немного изменив порядок написания наших частей, мы можем сказать, что C = 2πr.

Давайте воспользуемся формулой, чтобы найти длину окружности нескольких кругов.

Пример 3

Найдите длину окружности каждого из следующих кругов. Оставляйте свои ответы сначала в точной форме, а затем в округленной форме (с точностью до сотых).(Обратите внимание, что при указании радиуса его значение центрируется над сегментом радиуса. Когда задан диаметр, его значение центрируется над сегментом диаметра.)

Решения

Точно 8π дюймов; округлено от точного ответа 25,13 дюйма; округлено с использованием 3,14 для π 25,12 дюйма

Точное 12,44π м; округлено от точного ответа 39,08 м; округлено с использованием 3,14 для π 39,06 м

Точная форма против закругленной формы

π — число в точной форме. Оно не округлено.

3.14 – округленная форма для π

Почему так важно, какую форму мы используем? Это важно, потому что, когда мы округляем, мы вносим ошибку в наш окончательный результат. Для этого класса эта ошибка обычно приемлема. Однако вы обнаружите, что в других предметах, таких как физика или химия, этот уровень точности имеет большое значение. Давайте посмотрим на пример разницы в формах.

Пример 4

Радиус Луны составляет около 1079 миль. Что такое окружность? Давайте решим это, используя как точную форму, так и округленную форму:

Точное решение

Чтобы округлить от точного решения, используйте кнопку π на калькуляторе, чтобы получить

Универсальное решение

Обратите внимание, что наши окончательные результаты отличаются. Эта разница является ошибкой, возникающей при использовании 3.14 в качестве начального приближения для π. Выполняя домашние задания и тесты, внимательно читайте инструкции к каждой задаче, чтобы понять, какую форму использовать.

Пример 5

Найдите длину окружности или периметра в каждой описанной ниже ситуации. Включите рисунок формы с включенной информацией. Используйте примеры, чтобы определить, какие фигуры рисовать. Показать все работы. Как и в примерах, если включены единицы, то единицы должны присутствовать в конечном результате. Округлите до десятых, если не указано иное.

Найдите периметр квадрата со стороной 2,17 фута.

Найдите периметр прямоугольника со сторонами 4,2 и 3,8.

Найдите периметр треугольника со сторонами 2, 5, 7.

Найдите длину окружности радиусом 6 дюймов. Представьте ответ в точной форме, а также вычислите, используя 3.14 для π. Представьте округленную форму с точностью до десятых.

Найдите длину окружности диаметром 14,8 дюйма. Представьте ответ в точной форме, а также вычислите, используя 3.14 для π. Представьте округленную форму с точностью до десятых.

Решения

8,68 футов

16

14

Точно 12π дюймов, округлено 37,7 дюймов

Точный размер 14,8 π, округленный до 46,5 дюйма.

Пример 6

Нахождение расстояния вокруг нестандартных фигур

Основные формулы для периметра прямолинейных фигур и длины окружности помогут нам найти расстояние вокруг более сложных фигур. Найдите расстояние вокруг следующей фигуры. Округлите окончательный ответ до десятых и используйте 3,14 для числа π.

Решение

Пример 7

Применение периметра и окружности

Наши знания об основных геометрических фигурах можно применить для решения «реальных» задач.

Валли хочет построить забор с задней стороны своего дома, чтобы его дети могли безопасно играть (см. схему ниже). Он начал измерять свой двор, но отвлекся и забыл закончить измерение перед тем, как пойти в магазин. Если он помнит, что задняя стена его дома имеет длину 15 ярдов, достаточно ли у него информации, чтобы купить необходимое ему ограждение? Если да, то сколько футов он должен купить?

Решение

Давайте еще раз взглянем на задний двор Уолли из примера 7, чтобы ввести следующее понятие: площадь.

Пошаговый пример

Уолли успешно обнес свой двор забором, но теперь хочет немного озеленить его и создать лужайку, как показано ниже.

Он направляется в местный магазин газонов и выясняет, что для того, чтобы определить, сколько дерна ему нужно, он должен вычислить площадь участка, на который он хочет добавить траву. По пути домой он понимает, что если он разделит травяной участок на участки размером 1 фут на 1 фут, а затем посчитает их, то сможет определить площадь участка в квадратных футах. Вот информация, которую Уолли получил, когда вернулся домой.

Уолли правильно определил, что площадь прямоугольного участка с травой составляет 30 квадратных футов.

Примечания по площади

Площадь – это двухмерное измерение, представляющее объем пространства внутри двухмерной фигуры.

Чтобы найти площадь, подсчитайте количество единичных квадратов внутри фигуры.

Если есть единицы, включите их в окончательный результат. Единицы всегда будут двухмерными (например, квадратные футы, квадратные ярды, квадратные мили и т. д.)

Пример 8

Найдите площадь каждой из фигур ниже.

Пример 9

Как найти площадь для более сложных форм? Разбейте области на формы, которые мы узнаем, и сложите значения областей вместе.

Если вы внимательно посмотрите на фигуры в предыдущих примерах, то заметите некоторые способы записи каждой области в виде более явной формулы. Посмотрите, соответствуют ли результаты того, что мы сделали, приведенным ниже формулам.

[латекс]А=а\cdot\\[/латекс]

Формулы площади для приведенных ниже фигур вывести сложнее, поэтому формулы перечислены в таблице.

Треугольник с высотой h и основанием b

Читается как «половина основания, умноженная на высоту»

Окружность радиусом r

Если ваш треугольник такой, как на рисунке слева, то высота нарисована и измерена за пределами треугольника.

Пример 10

Найдите область для каждой описанной ситуации. Создайте рисунок формы с включенной информацией. Показать все работы. Как и в примерах, если включены единицы, то единицы должны присутствовать в конечном результате. Используйте 3.14 для числа π и при необходимости округлите ответы до десятых.

Найдите площадь прямоугольника, длина которого составляет 12,9 метра, а высота составляет одну треть этой суммы.

Найдите площадь треугольника с основанием [латекс]\displaystyle\frac\\[/латекс] в дюймах и высотой 7 дюймов.

Найдите площадь круга с радиусом [латекс]\displaystyle\frac\\[/латекс] дюймов. Представьте ответ в точной форме, а также вычислите округленную форму, используя 3.14 для π. Представьте округленную форму с точностью до десятых.

Решения

55,5 м 2 или 55,5 квадратных метров (округлено)

85,8 дюйма на 2 или 85,8 квадратных дюйма (округлено)

Точно 49/9 π на 2 , округлено до 17,1 на 2

Пример 11

Найдите область для каждой описанной ситуации. Включите рисунок формы с включенной информацией. Показать все работы. Как и в примерах, если включены единицы, то единицы должны присутствовать в конечном результате. Округлите ответы до десятых, если не указано иное.

Найдите площадь квадрата со стороной 4,2 фута.

Найдите площадь прямоугольника со сторонами 4,2 и 3,8.

Найдите площадь треугольника с высотой 7 дюймов и основанием 12 дюймов.

Найдите площадь круга радиусом 6 дюймов. Представьте ответ в точной форме, а также вычислите, используя 3.14 для π. Представьте округленную форму с точностью до десятых.

Решения

17,64 фута 2 или 17,64 кв. фута

16,0

42 на 2 или 42 квадратных дюйма

Точно 36π в 2 или 36π квадратных дюймов, округлено с использованием 3,14 для π 113,0 в 2 или 113,0 квадратных дюймов

Пример 12

Нахождение площади нестандартных фигур

Основные формулы площади помогут нам найти площадь более сложных фигур. Это та же проблема, для которой мы нашли периметр ранее. Найдите площадь заданной фигуры. Вычислить, используя 3,14 для π и округлить до ближайшей десятой.

Решение

Округлено с использованием 3,14 для π 25,9 дюйма 2

Пример 13

Применение площади и периметра

Мы можем объединить наши знания о площади/периметре для решения таких задач, как эта.

Уолли все еще ремонтирует свой дом, и ему нужно закончить проект напольного покрытия. Он хочет купить достаточное количество бамбукового паркета, чтобы покрыть площадь пола в комнатах A, C и коридоре B, а также достаточное количество бамбуковой кромки для плинтусов во всех помещениях. Сколько квадратных футов полов и сколько футов плинтусов он должен купить?

Несмотря на то, что были приложены все усилия для соблюдения правил стиля цитирования, могут быть некоторые расхождения.Если у вас есть какие-либо вопросы, обратитесь к соответствующему руководству по стилю или другим источникам.

Наши редакторы рассмотрят то, что вы отправили, и решат, нужно ли пересматривать статью.

Узнайте, как инженеры-строители и инженеры-экологи понимают механику тонких конструкций и как они используют геометрию для изучения процесса деформации

Изучение того, как инженеры-строители и инженеры-экологи используют геометрию для изучения процессов деформации в проектах различного масштаба.

геометрия, раздел математики, изучающий форму отдельных объектов, пространственные отношения между различными объектами и свойства окружающего пространства. Это один из старейших разделов математики, возникший в ответ на такие практические задачи, как геодезия, и его название происходит от греческих слов, означающих «измерение Земли». В конце концов стало понятно, что геометрия не должна ограничиваться изучением плоских поверхностей (геометрия плоскостей) и жестких трехмерных объектов (геометрия тел), но что даже самые абстрактные мысли и образы могут быть представлены и развиты в геометрических терминах. р>
Эта статья начинается с краткого обзора основных разделов геометрии, а затем переходит к обширному историческому анализу. Для получения информации о конкретных разделах геометрии см. см. евклидову геометрию, аналитическую геометрию, проективную геометрию, дифференциальную геометрию, неевклидову геометрию и топологию.

Вот ваша миссия, если вы решите ее принять: определить следующие математические термины до того, как истечет время.

Основные разделы геометрии

Евклидова геометрия

В некоторых древних культурах была разработана форма геометрии, подходящая для соотношений между длинами, площадями и объемами физических объектов. Эта геометрия была кодифицирована в Началах Евклида около 300 г. до н.э. на основе 10 аксиом или постулатов, из которых несколько сотен теорем были доказаны с помощью дедуктивной логики. Начала олицетворяли аксиоматико-дедуктивный метод на протяжении многих веков.

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия была инициирована французским математиком Рене Декартом (1596–1650), который ввел прямоугольные координаты для определения местоположения точек и для представления линий и кривых с помощью алгебраических уравнений. Алгебраическая геометрия — это современное расширение предмета на многомерные и неевклидовы пространства.

Проективная геометрия

Проективная геометрия была создана французским математиком Жираром Дезаргом (1591–1661) для изучения тех свойств геометрических фигур, которые не изменяются при проецировании их изображения или «тени» на другую поверхность.

Дифференциальная геометрия

Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) в связи с практическими задачами геодезии и геодезии положил начало дифференциальной геометрии. Используя дифференциальное исчисление, он охарактеризовал внутренние свойства кривых и поверхностей. Например, он показал, что внутренняя кривизна цилиндра такая же, как кривизна плоскости, в чем можно убедиться, разрезав цилиндр вдоль его оси и сплющив, но не такая же, как у сферы, которую нельзя сплющить без искажение.

Неевклидовы геометрии

Начиная с 19 века различные математики заменяли альтернативами постулат параллельности Евклида, который в его современной форме гласит: «данная линия и точка, не лежащие на прямой, можно провести ровно одну прямую через данную точка параллельна прямой». Они надеялись показать, что альтернативы логически невозможны. Вместо этого они обнаружили, что существуют непротиворечивые неевклидовы геометрии.

Топология

Топология, самый молодой и сложный раздел геометрии, фокусируется на свойствах геометрических объектов, которые остаются неизменными при непрерывной деформации — сжатии, растяжении и складывании, но не разрыве. Непрерывное развитие топологии началось с 1911 г., когда голландский математик Л.Э.Й. Брауэр (1881–1966) ввел методы, обычно применимые к этой теме.

История геометрии

Самые ранние из известных недвусмысленных примеров письменных источников, датируемых Египтом и Месопотамией около 3 100 года до н. э., показывают, что древние люди уже начали разрабатывать математические правила и методы, полезные для съемки земельных участков, строительства зданий и измерения емкостей для хранения.Начиная примерно с VI века до н. >метрон («мера») для измерения Земли.

Помимо описания некоторых достижений древних греков, в частности логического развития Евклидом геометрии в Началах, в этой статье рассматриваются некоторые приложения геометрии в астрономии, картографии и живописи из классической Греции. через средневековый ислам и Европу эпохи Возрождения. Он завершается кратким обсуждением расширений неевклидовой и многомерной геометрии в современную эпоху.

Древняя геометрия: практическая и эмпирическая

Происхождение геометрии лежит в заботах повседневной жизни. Согласно традиционному описанию, сохранившемуся в Истории Геродота (V век до н. э.), египтяне изобрели геодезию для восстановления стоимости собственности после ежегодного разлива Нила. Точно так же стремление узнать объемы твердых цифр проистекало из необходимости оценивать дань, хранить масло и зерно, строить плотины и пирамиды. Даже три непонятные геометрические задачи древности — удвоить куб, разделить угол на три части и возвести в квадрат круг, все из которых будут обсуждаться позже — вероятно, возникли из практических вопросов, из религиозного ритуала, хронометража и строительства, соответственно, в догреческих обществ Средиземноморья. И главный предмет позднейшей греческой геометрии, теория конических сечений, обязан своим общим значением, а может быть, и своим происхождением, своему применению к оптике и астрономии.

Хотя многие древние люди, известные и неизвестные, внесли свой вклад в эту тему, ни один из них не мог сравниться по влиянию с Евклидом и его Элементами геометрии, книгой, которой уже 2300 лет и которая является объектом столь болезненных и болезненных кропотливое изучение Библии. Однако о Евклиде известно гораздо меньше, чем о Моисее. На самом деле, единственное, что известно с достаточной степенью достоверности, это то, что Евклид преподавал в Александрийской библиотеке во времена правления Птолемея I (323–285/283 до н. э.). Евклид писал не только по геометрии, но и по астрономии и оптике, а может быть, и по механике и музыке. Только Элементы, которые были многократно скопированы и переведены, остались нетронутыми.

Начала Евклида были настолько полными и четкими, что буквально стерли с лица земли работы его предшественников. То, что известно о греческой геометрии до него, исходит главным образом из фрагментов, цитируемых Платоном и Аристотелем, а также более поздними математиками и комментаторами. Среди других ценных предметов, которые они сохранили, есть некоторые результаты и общий подход Пифагора (ок. 580–ок. 500 до н. э.) и его последователей. Пифагорейцы убедили себя, что все вещи являются числами или обязаны своими отношениями числам. Учение придавало математике первостепенное значение в исследовании и понимании мира. Платон развил подобный взгляд, и философы, находившиеся под влиянием Пифагора или Платона, часто восторженно писали о геометрии как о ключе к толкованию вселенной. Таким образом, древняя геометрия ассоциировалась с возвышенным, что дополняло ее земное происхождение и репутацию образца точного мышления.

Нахождение правильного угла

Древние строители и геодезисты должны были иметь возможность строить прямые углы в поле по требованию. Метод, применяемый египтянами, принес им в Греции прозвище «дергальщики каната», по-видимому, потому, что они использовали веревку для выкладки своих строительных инструкций. Один из способов, которым они могли использовать веревку для построения прямоугольных треугольников, заключался в том, чтобы пометить веревку с петлями узлами, чтобы, если ее удерживать за узлы и туго натягивать, веревка образовывала прямоугольный треугольник. Самый простой способ выполнить трюк — взять веревку длиной 12 звеньев, завязать узел на 3 звена с одного конца и еще 5 звеньев на другой конец, а затем связать концы вместе, чтобы получилась петля, как показано на рисунке. анимация. Однако египетские писцы не оставили нам указаний об этих процедурах, не говоря уже о том, что они знали, как обобщить их для получения теоремы Пифагора: квадрат на прямой, противоположной прямому углу, равен сумме квадратов на двух других. стороны. Точно так же ведические писания древней Индии содержат разделы, называемые сульвасутры, или «правила веревки», для точного расположения жертвенных алтарей. Требуемые прямые углы были сделаны из веревок, размеченных для получения триад (3, 4, 5) и (5, 12, 13).

В вавилонских глиняных табличках (ок. 1700–1500 гг. до н. э.) современные историки обнаружили задачи, решения которых указывают на то, что теорема Пифагора и некоторые специальные триады были известны более чем за тысячу лет до Евклида.Однако случайный прямоугольный треугольник вряд ли будет иметь все стороны, измеряемые одной и той же единицей измерения, то есть каждая сторона будет целым числом, кратным некоторой общепринятой единице измерения. Этот факт, поразивший пифагорейцев, породил концепцию и теорию несоизмеримости.

Обнаружение недоступного

Согласно древней традиции, Фалес Милетский, живший до Пифагора в VI веке до нашей эры, изобрел способ измерения недоступных высот, таких как египетские пирамиды. Хотя ни одно из его сочинений не сохранилось, Фалес, возможно, хорошо знал о вавилонском наблюдении, что для подобных треугольников (треугольников, имеющих одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер) длина каждой соответствующей стороны увеличивается (или уменьшается) на одно и то же кратное число. На рисунке показано определение высоты башни с помощью подобных треугольников. Древние китайцы пришли к измерению недостижимых высот и расстояний другим путем, используя «дополнительные» прямоугольники, как показано на следующем рисунке , который, как можно показать, дает результаты, эквивалентные результатам греческого метода с использованием треугольников.

Сравнение китайской и греческой геометрической теоремы. Рисунок иллюстрирует эквивалентность китайской теоремы о дополнительных прямоугольниках и греческой теоремы о подобных треугольниках.

Оценка богатства

На вавилонской клинописной табличке, написанной около 3 500 лет назад, рассматриваются проблемы, связанные с плотинами, колодцами, водяными часами и раскопками. В нем также есть упражнение на круглые ограждения с подразумеваемым значением π = 3. Подрядчик бассейна царя Соломона, который построил пруд 10 локтей в поперечнике и 30 локтей вокруг (3 Царств 7:23), использовал то же значение. Однако евреи должны были заимствовать свое число π у египтян до того, как переплыли Красное море, поскольку папирус Райнда (ок. 2000 г. до н. э.; наш основной источник по древнеегипетской математике) подразумевает π = 3,1605.

Знание площади круга имело практическое значение как для чиновников, следивших за данью фараона, так и для строителей алтарей и бассейнов. Ахмес, писец, скопировавший и комментировавший папирус Райнда (ок. 1650 г. до н. э.), может многое сказать о цилиндрических зернохранилищах и пирамидах, целых и усеченных. Он мог рассчитать их объемы, и, как видно из того, что он принял египетское секед, горизонтальное расстояние, связанное с вертикальным подъемом в один локоть, в качестве определяющей величины для наклона пирамиды, он знал кое-что о подобных треугольники.

Читайте также: