При создании компьютерных математических моделей используются такие инструменты, как

Обновлено: 21.11.2024

Ниже представлена ​​последовательность научно-технической практики использования математики и вычислительного мышления , за которой следуют ожидаемые результаты, основанные на использовании этой научной и инженерной практики.

Использование математики и вычислительного мышления

И в науке, и в технике математика и вычисления являются основными инструментами для представления физических переменных и их взаимосвязей. Они используются для ряда задач, таких как создание симуляций; статистический анализ данных; распознавание, выражение и применение количественных отношений.

Начальная школа (K-2)

Математическое и вычислительное мышление на уровне K–2 основано на предшествующем опыте и продвигается к признанию того, что математику можно использовать для описания естественного и созданного мира.

  • Решите, когда использовать качественные данные, а когда количественные.
  • Используйте счет и числа, чтобы определять и описывать закономерности в естественном и созданном(ых) мире(ах).
  • Описывать, измерять и/или сравнивать количественные характеристики различных объектов и отображать данные с помощью простых графиков.
  • Используйте количественные данные для сравнения двух альтернативных решений проблемы.

Начальная школа (3–5)

Математическое и вычислительное мышление на уровне 3–5 основано на опыте K–2 и прогрессирует в распространении количественных измерений на различные физические свойства и использовании вычислений и математики для анализа данных и сравнения альтернативных проектных решений.

  • Решите, какие качественные или количественные данные лучше всего подходят для определения того, соответствует ли предлагаемый объект или инструмент критериям успеха.
  • Организуйте простые наборы данных, чтобы выявить закономерности, которые указывают на взаимосвязь.
  • Описывать, измерять, оценивать и/или отображать количественные показатели, такие как площадь, объем, вес и время, для решения научных и инженерных вопросов и проблем.
  • Создавайте и/или используйте графики и/или диаграммы, созданные с помощью простых алгоритмов, для сравнения альтернативных решений инженерной проблемы.

Средняя школа (6–8)

Математическое и вычислительное мышление на уровне 6–8 основано на опыте K–5 и переходит к выявлению закономерностей в больших наборах данных и использованию математических понятий для обоснования объяснений и аргументов.

  • Используйте цифровые инструменты (например, компьютеры) для анализа очень больших наборов данных на наличие шаблонов и тенденций.
  • Используйте математические представления для описания и/или подтверждения научных выводов и проектных решений.
  • Создайте алгоритмы (серию упорядоченных шагов) для решения проблемы.
  • Применять математические понятия и/или процессы (такие как отношение, скорость, процент, основные операции и простая алгебра) к научным и инженерным вопросам и задачам.
  • Используйте цифровые инструменты и/или математические концепции и аргументы для проверки и сравнения предлагаемых решений инженерной задачи проектирования.

Старшая школа (9–12)

Математическое и вычислительное мышление в 9–12 классах основано на опыте K–8 и переходит к использованию алгебраического мышления и анализа, ряда линейных и нелинейных функций, включая тригонометрические функции, экспоненты и логарифмы, а также вычислительных инструментов для статистического анализа. представлять и моделировать данные. Простые вычислительные модели создаются и используются на основе математических моделей основных предположений.

  • Создать и/или пересмотреть вычислительную модель или симуляцию явления, спроектированного устройства, процесса или системы.
  • Использовать математические, вычислительные и/или алгоритмические представления явлений или проектных решений для описания и/или поддержки утверждений и/или объяснений.
  • Применять методы алгебры и функций для представления и решения научных и инженерных задач.
  • Используйте простые предельные случаи для проверки математических выражений, компьютерных программ, алгоритмов или симуляций процесса или системы, чтобы увидеть, «имеет ли смысл» модель, сравнивая результаты с тем, что известно о реальном мире.
  • Применяйте отношения, скорости, проценты и преобразования единиц в контексте сложных задач измерения, связанных с количествами с производными или составными единицами (такими как мг/мл, кг/м3, акро-футы и т. д.).

Это таблица научной и инженерной практики использования математики и вычислительного мышления. Если исходить из стандарта, конкретный используемый пункт выделен выделенным цветом, а дополнительные ожидания производительности, основанные на научной и инженерной практике, можно найти под таблицей. Чтобы просмотреть все научные и инженерные практики, нажмите на заголовок "Научные и инженерные практики".

Использование математики и вычислительного мышления

Хотя существуют различия в том, как математика и вычислительное мышление применяются в науке и технике, математика часто объединяет эти две области, позволяя инженерам применять математическую форму научных теорий и позволяя ученым использовать мощные информационные технологии, разработанные инженеры. Таким образом, оба вида профессионалов могут проводить исследования и анализы и строить сложные модели, о которых в противном случае не могло бы быть и речи. (NRC Framework, 2012 г., стр. 65)

Ожидается, что учащиеся будут использовать математику для представления физических переменных и их взаимосвязей, а также для количественных прогнозов. Другие приложения математики в науке и технике включают логику, геометрию и, на самых высоких уровнях, исчисление. Компьютеры и цифровые инструменты могут повысить мощь математики за счет автоматизации вычислений, аппроксимации решений проблем, которые невозможно точно рассчитать, и анализа больших наборов данных, доступных для выявления значимых закономерностей. Ожидается, что учащиеся будут использовать лабораторные инструменты, подключенные к компьютерам, для наблюдения, измерения, записи и обработки данных. Ожидается также, что учащиеся будут заниматься вычислительным мышлением, которое включает в себя стратегии организации и поиска данных, создание последовательностей шагов, называемых алгоритмами, а также использование и разработку новых моделей естественных и искусственных систем. Математика — это инструмент, который является ключом к пониманию науки. Таким образом, обучение в классе должно включать в себя критические навыки математики. NGSS демонстрирует многие из этих навыков через ожидаемую производительность, но обучение в классе должно улучшать всю науку за счет использования качественного математического и вычислительного мышления.

Математическая модель – это абстрактная модель, использующая математический язык для описания поведения системы.

Математические модели используются, в частности, в естественных науках и инженерных дисциплинах (таких как физика, биология и электротехника), а также в социальных науках (таких как экономика, социология и политология); физики, инженеры, программисты и экономисты чаще всего используют математические модели.

Эйхофф (1974 г.) определил математическую модель как "представление основных аспектов существующей системы (или системы, которую предстоит создать), которая представляет знания об этой системе в пригодной для использования форме".

Математические модели могут принимать различные формы, включая, помимо прочего, динамические системы, статистические модели, дифференциальные уравнения или теоретико-игровые модели.

Эти и другие типы моделей могут пересекаться, при этом данная модель включает множество абстрактных структур.

Существует шесть основных групп переменных: переменные решения, входные переменные, переменные состояния, экзогенные переменные, случайные переменные и выходные переменные.

Поскольку может быть много переменных каждого типа, переменные обычно представляются векторами.

Задачи математического моделирования часто подразделяются на модели черного ящика или белого ящика в зависимости от того, сколько априорной информации доступно о системе.

Модель черного ящика — это система, о которой нет априорной информации.

Модель белого ящика (также называемая "стеклянным ящиком" или "прозрачным ящиком") – это система, в которой доступна вся необходимая информация.

Практически все системы находятся где-то между моделями черного и белого ящиков, поэтому эта концепция работает только как интуитивно понятное руководство для подхода.

Обычно предпочтительно использовать как можно больше априорной информации, чтобы сделать модель более точной.

Примечание. Приведенный выше текст взят из статьи Википедии «Математическая модель», выпущенной под лицензией GNU Free Documentation License.

Чтобы решить проблему избыточности данных в генетическом алгоритме, в этой статье предлагается компьютерная математическая модель, основанная на сочетании улучшенного генетического алгоритма и мобильных вычислений. В сочетании с методом наименьших квадратов программное обеспечение MATLAB используется для решения уравнений, определения диапазона параметров и решения задач определения диапазона параметров оценки и идентификации. Усовершенствованный генетический алгоритм в сочетании с мобильными вычислениями и методом наименьших квадратов для создания математической модели значительно увеличил индивидуальное пространство поиска и увеличил скорость работы на 90% по сравнению с базовым генетическим алгоритмом или мобильными вычислениями. Результаты показывают, что улучшенный генетический алгоритм и мобильные вычисления обладают определенной способностью определять оптимальное решение и значительно повышать эффективность работы.

1. Введение

Для больших данных очень важен эффективный процесс расчета оптимизации. С быстрым обновлением информатики различные математические методы стали широко использоваться в естествознании и играют ключевую роль в социальных науках.Математические технологии также осуществили переход от базовой математики к важному компоненту высоких технологий. В массовых методах математического анализа математическое моделирование обычно тесно сочетается с практическими задачами [1]. Вообще говоря, математическое моделирование не является прямым воспроизведением практических задач, а требует глубокого изучения, детального наблюдения и анализа, рационального использования различных математических теорий и знаний. В этом процессе сначала должна быть создана структура модели системы. В большинстве случаев эксперименты начинают на известных моделях [2]. Фактически, решение модели заключается в построении функциональных отношений на основе известной структуры модели системы с помощью математической теории и навыков и оценке параметров модели с входными и выходными данными системы. Оценка параметров модели тесно связана с данными, подгонкой кривой и анализом экспериментальных ошибок, и ключ заключается в применении метода наименьших квадратов [3]. При подборе данных наиболее часто используется метод наименьших квадратов, который является основным методом исследования данных наблюдений. Он может многократно наблюдать за двумя переменными и обеспечивать точность данных. Генетический алгоритм не ограничивает объем проблемы, обладает высокой надежностью и имеет множество совместимых общих режимов. Он широко используется во многих областях, таких как оптимизация функций, автоматическое управление, планирование производства и обработка изображений, и дает замечательный эффект. Поэтому в данной работе исследуется построение компьютерной математической модели на основе усовершенствованного генетического алгоритма и метода наименьших квадратов [4].

2. Обзор литературы

Генетический алгоритм (ГА), основанный на генетической теории, моделирует механизм выживания наиболее приспособленных и случайным образом обменивается информацией, что больше подходит для оптимизации сложных систем. Он возник в 1960-х годах и представляет собой очень практичную технологию оптимизации, которую можно применять в междисциплинарных исследованиях [5]. Генетический алгоритм не ограничивает поле задачи и обладает высокой надежностью. Есть много совместимых и универсальных режимов. Генетический алгоритм имеет очевидный прикладной эффект в области оптимизации функций, оптимизации комбинаций, автоматического управления, планирования производства, обработки изображений, искусственной жизни, оптимизации структуры и так далее. При подборе данных метод наименьших квадратов часто используется как важный метод изучения данных наблюдений [6]. Метод наименьших квадратов может наблюдать две переменные много раз, чтобы получить более точные данные. Генетический алгоритм моделирует воспроизводство и эволюцию естественных биологических групп от поколения к поколению и генерирует новое поколение лучших индивидуумов как решение проблемы посредством итерации, точно так же, как биологические группы размножаются и развиваются от поколения к поколению и, наконец, сходятся в одном поколении. биологических особей, наиболее подходящих для среды обитания [7]. Это оптимальное решение проблемы. Генетический алгоритм широко используется в инженерной оптимизации и промышленном управлении. Ву и др. использовали генетический алгоритм для оптимизации консольной конструкции определенной машины, которая имеет быструю скорость сходимости и высокую точность вычислений, и установили математическую модель проектирования одноцелевой нелинейной оптимизации. Он предоставляет мощный метод и инструмент для многокритериального проектирования нелинейной структурной оптимизации. Гонг и др. представил иммунный алгоритм для улучшения генетического алгоритма [8]. При решении сложной проблемы слишком большого количества итераций популяции в приложении TSP вероятность деградации алгоритма была снижена за счет тестирования вакцины и отбора отжигом, и удалось избежать явления деградации популяции. Качество высева, эффективность высева и энергопотребление сеялки не могут быть задействованы в полной мере из-за влияния местности и региона посева [9]. Хуа и другие предложили многокритериальную модель оптимизации генетического алгоритма управления скоростью, основанную на режиме BTO, определили начальные параметры оптимизации производительности сеялки в режиме BTO и, очевидно, улучшили качество высева, эффективность высева и энергоемкость высева сеялки. [10]. И рабочие характеристики сеялки улучшаются. Ввиду недостатков базового генетического алгоритма, таких как медленная скорость сходимости и преждевременная сходимость, Лей предложил улучшенный адаптивный генетический алгоритм, который автоматически корректировал вероятность кроссинговера и вероятность мутации в соответствии с величиной значения пригодности в процессе эволюции. чтобы алгоритм мог выскочить из локального оптимального решения [11]. Эксперимент по моделированию планирования пути мобильного робота показывает это. Усовершенствованный генетический алгоритм эффективен и осуществим и, очевидно, улучшает качество планирования пути робота.Генетический алгоритм также используется для решения задачи оптимизации математического моделирования в ежегодном конкурсе студентов колледжей по математическому моделированию [12]. Лю и другие использовали генетический алгоритм для создания модели VRP для эффективной диспетчеризации общественных велосипедов в крупных и средних городах и протестировали алгоритм на стандартных примерах [13]. Результаты показывают, что генетический алгоритм может эффективно решить модель планирования велосипедов. В соответствии с принципом «немедленно увидеть солнце» и составить теневую карту солнечного сияния Фу и Ли предложили метод локации солнечной тени [14]. Сначала они объединяют угол солнечной высоты и угол солнечного склонения. Создана многокритериальная модель оптимизации положения тени от солнца с максимальным коэффициентом корреляции между теоретической длиной тени и фактической длиной тени и минимальной суммой квадратов ошибок в качестве целевых функций. Для решения задачи используется генетический алгоритм, и результат превосходит традиционный алгоритм перебора как по точности, так и по скорости сходимости [15]. В ежегодном обучении и руководстве математическим моделированием для студентов колледжа, как сделать так, чтобы студенты колледжа освоили генетический алгоритм быстро за короткий период времени, является сложной проблемой. Генетический алгоритм имеет свои преимущества при решении задач. Он широко использовался в различных исследованиях многими учеными. Благодаря постоянному совершенствованию постепенно выявлялись новые преимущества генетического алгоритма, и в постоянной практике быстро развивались некоторые новые теории и методы исследования генетического алгоритма [16]. Появились и некоторые новые области применения, например, применение в машинном обучении. Он нашел решение сложных проблем, оставленных учеными в области искусственного интеллекта на долгие годы. Комбинация с некоторыми интеллектуальными алгоритмами, такими как нейронная сеть, указывает направление для удобного и быстрого решения проблем вычислительного интеллекта. Характеристики параллельной обработки, присущие самому генетическому алгоритму, в значительной степени способствовали исследованию параллельной компьютерной архитектуры. Однако традиционный стандартный генетический алгоритм принимает фиксированные параметры управления, что приводит к плохой способности глобального поиска и незрелой сходимости [17]. Результаты исследований многих исследователей показывают, что традиционный стандартный генетический алгоритм не может гарантировать сходимость к глобальному оптимальному решению. В последние годы исследования по совершенствованию генетического алгоритма не прекращались, и возможности оптимизации генетического алгоритма значительно улучшились как в направлении усовершенствования, так и по содержанию усовершенствования.

Генетический алгоритм, использованный в этой статье, представляет собой передовой современный алгоритм оптимизации, обладающий сильным параллелизмом и возможностью глобального поиска. Его технология кодирования и генетическая операция относительно просты, и он предъявляет низкие требования к ограничительным условиям задач оптимизации. В настоящее время различные генетические алгоритмы нашли широкое применение в областях машинного обучения, обработки изображений, распознавания образов, управления оптимизацией, комбинированной оптимизации, принятия управленческих решений и т. д. Исследование и популяризация генетических алгоритмов имеют большое значение для экономической и социальное развитие.

3. Методы исследования

3.1. Улучшенный генетический алгоритм
3.1.1. Принцип действия базового генетического алгоритма

Генетический алгоритм, как новый вычислительный метод, основан на основных принципах генетики, имитирует мутационный и перекрестный механизм биологической генетической эволюции и осуществляет глобальный поиск конкретных проблем для получения базового генетического алгоритма (SGA). , что является основой для улучшения генетического алгоритма.

Операция кодирования используется для выражения пространства решений в виде структурных данных в генетической информации, тем самым завершая генетическую операцию. В соответствии с требованием точности двоичный символ используется в качестве фиксированной строки кодирования для представления модели гена между людьми. По структуре пространства определяется его диапазон значений, и после кодирования необходимо сгенерировать количество особей в качестве исходной популяции [18]. Путем расчета значения функции оценки индивидуальной пригодности рассчитываются индивидуальные плюсы и минусы. Оператор отбора должен оценить пригодность человека в соответствии с функцией приспособленности человека, чтобы завершить весь рабочий процесс. Сопоставляя друг друга по определенному правилу и генерируя новые данные особей, генетический алгоритм является важнейшим методом кроссопераций. Для каждой случайной точки мутации обратно вычисляется значение гена, в результате чего формируется новый индивидуум.

3.1.2. Модель мобильных вычислений

Модель мобильных вычислений – это базовая структура и принцип, которым должна следовать компьютерная система для выполнения расчетов. Модель мобильных вычислений существенно отличается от модели распределенных вычислений из-за особых требований, таких как отключение устройств, дисбаланс связи и вычислений, а также энергосбережение, вызванное мобильностью. Поэтому следует добавить поддержку мобильности и слабого подключения. Основная проблема модели мобильных вычислений заключается в том, чтобы определить, как распределяются функции мобильного терминала и сервера и как динамически корректироваться в соответствии с потребностями.

Концепции местоположения и перемещения определяют, что архитектура мобильной вычислительной системы является слабо связанной и полностью автономной. Слабая связь означает, что группа (приложение или устройство) продолжает работать, когда она отключена или слабо связана с сервером. И пока соединение доступно, установите соединение. Высокая автономность мобильных вычислений определяется характеристиками среды мобильных вычислений. То есть у него должно быть очень мало самотерпимости и очень сильная инициатива. Из-за слабой связи, сильной автономности и мобильности вычислительных компонентов мобильные вычислительные системы нуждаются в динамической конфигурации. Перемещение компонентов и регионализация управления требуют, чтобы мобильные компьютеры полностью учитывали политики и механизмы контроля доступа к ресурсам.

- исчисление — это метод описания и анализа параллельных систем, являющийся расширением CCS. Базовым объектом является имя канала и процесс, состоящий из имени. Синтаксическое определение процесса моноспоро-исчисления выглядит следующим образом:

MATLAB и Simulink для
математического моделирования

Разработка и оптимизация математических моделей сложных систем

Математические модели необходимы для понимания и точного прогнозирования поведения сложных систем. Эти модели позволяют решать важные задачи, такие как:

  • Прогнозирование и оптимизация поведения системы
  • Проектирование систем управления
  • Характеристика реакции системы

Продукты MathWorks предоставляют все инструменты, необходимые для разработки математических моделей. MATLAB ® поддерживает подходы как к числовому, так и к символьному моделированию и обеспечивает подбор кривых, статистику, оптимизацию, решение ОДУ и УЧП, исчисление и другие основные математические инструменты. Simulink ® добавляет среду для моделирования и симуляции поведения многодоменных систем, а также для разработки встроенных систем.

«В отличие от компаний, которые полагаются на готовые решения для количественного анализа, мы видим, что наш процесс постоянно улучшается. У нас есть возможность постоянно улучшать наши алгоритмы и модели в MATLAB, и это большое преимущество».

Виллем Джеллема, Robeco

Построение моделей на основе данных и научных принципов

С помощью семейств продуктов MATLAB и Simulink вы можете моделировать практически любой тип системы, в том числе:

    и нелинейный
  • Статический и динамический
  • Детерминистический и стохастический
  • Дискретный и непрерывный

Вы можете выбрать одну из нескольких сред моделирования, что позволит вам описать вашу систему программно, символически или с помощью блок-схем и конечных автоматов. Создание управляемых данными или физических моделей дает множество различных преимуществ, таких как извлечение информации из данных, информирование процессов проектирования с помощью проектирования на основе моделей, возможность виртуального ввода в эксплуатацию или создание операционных цифровых двойников.

Разработка моделей на основе данных

Когда у вас есть физическое понимание, вы можете создавать модели на основе первых принципов, используя аналитические или символические подходы. Методы моделирования на основе данных особенно полезны, когда у вас нет достаточной информации о вашей системе. В этом случае вы можете обеспечить точность модели, выбрав метод моделирования, подходящий для ваших экспериментальных или исторических данных. Используйте инструменты подгонки кривой статистики, чтобы исследовать отношения между вашими данными. Вы можете использовать модели линейной и нелинейной регрессии, классификацию, кластеризацию и инструменты подбора поверхности. Динамические модели, позволяющие выразить влияние прошлого опыта системы на ее текущее и будущее поведение, можно моделировать с помощью нейронных сетей и методов идентификации системы. Методы, основанные на данных, также можно использовать для настройки коэффициентов вашей модели из первых принципов, чтобы они соответствовали экспериментальным данным с использованием моделирования серого ящика и методов оптимизации отклика.

Читайте также: