Преобразование матрицы линейного оператора при смене базиса

Обновлено: 04.07.2024

Напомним, что мы можем связать матрицу $A\in \mathbb^$ с каждым оператором $T\in\mathcal(V,V)$. Точнее, столбец $j^>$ матрицы $A=M(T)$ относительно базиса $e=(e_1,\ldots,e_n)$ получается путем разложения $ Te_j$ по базису $e$. Если базис $e$ ортонормирован, то коэффициент $e_i$ является просто скалярным произведением вектора с $e_i$.
Следовательно,

\begin
M(T) = (\inner)_<1\le i,j\le n>,
\end
где $i$ — строка index, а $j$ — индекс столбца матрицы.

Наоборот, если $A\in\mathbb^$ является матрицей, то мы можем связать линейный оператор $T\in\mathcal(V,V)$ с $A$, установив < br />\begin
\begin
Tv &= \sum_^n \inner Te_j
= \sum_^n \sum_^n \inner \inner e_i\\
& = \sum_^n \left( \sum_^n a_ \inner \right) e_i
= \sum_ (A [v]_e)_i e_i,
\end
\end

где $(A[v]_e)_i$ обозначает компонент $i^>$ вектора-столбца $A [v]_e$. С этой конструкцией мы имеем $M(T)=A$.
Коэффициенты $Tv$ в базисе $(e_1,\ldots,e_n)$ записываются вектор-столбцом, полученным путем умножения $n\times n$ матрицы $A\ ) с вектором-столбцом \(n\times 1$ $[v]_e$, компоненты которого $([v]_e)_j=\inner$.

Пример 10.2.1. Дано

мы можем определить $T\in \mathcal(V,V)$ относительно канонического базиса следующим образом:

Предположим, что мы хотим использовать другой ортонормированный базис $f=(f_1,\ldots,f_n)$ для $V$. Тогда, как и раньше, имеем $v = \sum_^n \inner f_i.$. Сравнивая это с $v = \sum_^n \inner e_j$, мы находим, что

Столбец $j^>$ массива $S$ задается коэффициентами разложения $e_j$ по базису $f=(f_1,\ldots,f_n)\ ). Матрица \(S$ описывает линейное отображение в $\mathcal(\mathbb^n)$, которое называется преобразованием замены базиса.

Мы также можем поменять местами основания $e$ и $f$. В этом случае мы получаем
матрицу $R=(r_)_^n$, где
\begin
r_ = \inner.
\конец

Тогда в силу единственности разложения по базису получаем
\begin
[v]_e = R[v]_f
\end
так что < br />\begin
RS[v]_e = [v]_e, \qquad \text
\end

Поскольку это уравнение верно для всех $[v]_e\in \mathbb^n$, отсюда следует, что либо $RS=I$, либо $R=S^$. В частности, $S$ и $R$ обратимы. Мы также можем проверить это явно, используя свойства ортонормированных базисов. А именно,
\begin
\begin
(RS)_ &= \sum_^n r_ s_ = \sum_^n \inner\inner\\
&= \sum_^ n \inner \overline<\inner>
= \inner_<\mathbb^n> = \delta_.
\конец
\конец

Матрица $S$ (а также $R$) обладает интересным свойством: ее столбцы ортонормированы друг к другу. Это следует из того, что столбцы являются координатами ортонормированных векторов относительно другого ортонормированного базиса. Аналогичное утверждение верно для строк $S$ (а также $R$).

До сих пор мы обсуждали только то, как изменяется координатный вектор данного вектора $v\in V$ при замене базиса с $e$ на $f$. Следующий вопрос, который мы можем задать, состоит в том, как изменится матрица $M(T)$ оператора $T\in \mathcal(V)$, если мы изменим базис. Пусть $A$ будет матрицей $T$ относительно базиса $e=(e_1,\ldots,e_n)$, а $B$ будет матрицей для $T\ ) относительно базиса \(f=(f_1,\ldots,f_n)$. Как мы определяем $B$ из $A$? Обратите внимание, что

Пример 10.2.3. Продолжая пример 10.2.2, пусть
\begin
A = \begin 1 & 1 \\ 1 & 1 \end
\end
— матрица линейного оператора относительно в базис $e$. Тогда матрица $B$ относительно базиса $f$ задается формулой
\begin
B = SAS^ = \frac \begin 1 & 1\\ -1 & 1 \ end
\begin 1 & 1\\ 1 & 1 \end
\begin 1 & -1\\ 1 & 1 \end
= \frac \begin 1 & 1\\ -1 & 1 \end
\begin 2 & 0\\ 2 & 0 \end
= \begin 2 & 0\\ 0 & 0 \end.
\конец

Соавторы

Вклады и атрибуции

Эта страница находится под недекларированной лицензией, авторами, ремиксами и/или кураторами которой являются Исайя Лэнкхем, Бруно Нахтергаэле и Энн Шиллинг. Подробная история версий изменений исходного контента доступна по запросу.

\begin
M(T) = (\inner)_<1\le i,j\le n>,
\end
где $i$ — строка index, а $j$ — индекс столбца матрицы.

Пример 10.2.1. Дано

мы можем определить $T\in \mathcal(V,V)$ относительно канонического базиса следующим образом:

Тогда в силу единственности разложения по базису получаем
\begin
[v]_e = R[v]_f
\end
так что < br />\begin
RS[v]_e = [v]_e, \qquad \text
\end

Соавторы

Вклады и атрибуции

поэтому у меня большие трудности со сменой базы. Смотрел кучу уроков на ютубе, но они только больше меня запутали.

Пусть $T: \mathbb \to \mathbb$ определяется как $T(a,b) = (a + 2b, 3a - b)$ . Пусть $\mathcal = \$ и $\mathcal = > \$ . Найдите $[T]_\mathcal$ и $[T]_\mathcal$ и покажите, что $[T]_\mathcal = Q^ \cdot [T]_\mathcal\cdot Q$ для некоторой обратимой матрицы $Q$ .

Итак, я подумал, а матрица $Q$ может быть матрицей, которая переходит от базиса $c$ к $b$? а затем, если я инвертирую это, я получаю матрицу $ Q ^ $? Я просто понятия не имею, с чего начать, например, с какой первой матрицей мне нужно работать?

Начать ли с базиса в $R^2$, то есть $\$, и применить к нему преобразование?

1 Ответ 1

Посмотрите здесь

В вашем случае вы знаете матрицу канонического базиса:

И два других основания:

и нужно найти матрицы $T_$ и $T_$ относительно этих двух базисов.

Для этого вы можете следовать предыдущему примеру.

Давайте посмотрим, например, как узнать $T_B$.

Пусть $w$ представляет собой любой вектор, заданный в каноническом базисе, и обозначим через: $v_1=(1,1)$ и $v_2=(1,0)$ два вектора базиса $\mathcal$, а также дано относительно канонической основы.

Мы ищем коэффициенты $x_1$ и $x_2$ такие, что:

$$w=x_1\cdot v_1+x_2\cdot v_2$$

или в матричной форме:

Обратите внимание, что $V$ содержит в качестве столбца векторы нового базиса относительно канонического базиса. Важно отметить, что $V$ представляют собой матрицу изменения базиса с $\mathcal$ на канонический.

Таким образом, компоненты любого вектора $w$ относительно нового базиса задаются следующим образом:

Таким образом, $V^$ представляют собой матрицу смены базиса с канонического на новый базис $\mathcal$ .

Отображение $w$ относительно канонического базиса определяется следующим образом:

Поскольку мы ищем матрицу $T_B$, представляющую $T$ относительно нового базиса $\mathcal$, давайте подставим замену базиса:

$$u=T_A\cdot w \iff V \cdot y=T_A\cdot V \cdot x \iff y=V^T_A\cdot V \cdot x=T_B\cdot x$$

Таким образом, матрица:

$$T_B=V^\cdot T_A\cdot V$$

представляет преобразование относительно нового базиса $\mathcal $.

Для $T_C$ можно действовать таким же образом, находя: $$T_C=W^\cdot T_A\cdot W$$ Теперь, поскольку $$T_B=V^ \cdot T_A\cdot V \подразумевает T_A=V \ cdot T_B\cdot V^$$ вы заключаете $$T_C=W^ \cdot T_A\cdot W=W^ \cdot V \cdot T_B\cdot V^\cdot W$$

В линейной алгебре есть два связанных понятия, которые на первый взгляд могут показаться запутанными: замена базиса и линейное преобразование. Формула изменения базиса связывает координаты одного и того же вектора в двух разных базисах, тогда как линейное преобразование связывает координаты двух разных векторов в одном базисе. Трудность различения этих двух случаев связана с тем, что слово вектор часто ошибочно используется для обозначения координат вектора. Вообще говоря, $\newcommand <\mathbf>\vec \neq (x_1, x_2)^T$, если не понята определенная основа.

Изменение основы

Давайте рассмотрим конкретный пример. Пусть $(\vec_1, \vec_2)$ — ортонормированный базис в $\mathbb^2$. Представьте, что мы делаем его копию $(\vec_1, \vec_2)$ и поворачиваем копию на $\theta$ градусов.

Поворот базисных векторов на угол $\theta$.

Без ограничения общности мы можем отождествить начальные базисные векторы с стандартными единичными векторами $\mathbb^2$:

Теперь векторы $\vec_1$ и $\vec_2$ можно легко представить в базисе $(\vec_1, \vec_2)$ в виде

Более компактно пишется

Матрица вращения в правой части связывает базы $(\vec_1, \vec_2)$ и $(\vec_1, \vec_2)$. В общем случае смена базиса в $\mathbb^2$ описывается формулой

где $(\vec_1, \vec_2)$ — старый базис, $(\vec_1, \vec_2)$ — новый базис, а матрица $(\vec \to \vec)$ задает связь между ними.

Изменение координат вектора

Вектор — это объект, который существует независимо от базиса. Хотя в технике и математике принято писать $\vec = (x_1, x_2)^T$, следует помнить, что это обозначение подразумевает определенный выбор базиса; а именно, это означает, что выбран стандартный базис $\mathbb^2$. То есть

Разложение вектора $\vec$ по двум основаниям.

Рассмотрим координаты $\vec$ в базисе $(\vec_1, \vec_2)$. Аналогично \eqref,

Приравнивая разложения $\vec$ к \eqref и \eqref и подставляя \eqref вместо $(\vec_1, \vec_2)$, получаем

С обеих сторон у нас есть расширения $\vec$ по базису $(\vec_1, \vec_2)$, поэтому координаты с обеих сторон должны быть равны. Таким образом, мы приходим к формуле изменения координат вектора при замене базиса

координаты $\vec$ в старом базисе $\vec^\vec = (x_1, x_2)^T$, а координаты $\vec$ в новом базисе $\vec^\vec = (x '_1, х'_2)^T$.

Линейное преобразование

В отличие от предыдущего раздела, теперь мы фиксируем базис $(\vec_1, \vec_2)$ и представляем все векторы в этом базисе. Вопрос, на который мы хотим ответить, звучит так: «Как представить линейное преобразование $\newcommand<\boldsymbol<\phi>> \bphi : \mathbb^2 \to \mathbb^2$ с помощью матрицы?»

Вектор $\vec$ повернут на угол $\theta$.

Применим $\bphi$ к некоторому вектору $\vec$:

Раскладывая $\vec$ по базису $(\vec_1, \vec_2)$ и переписывая правую часть как умножение матрицы на вектор, мы получаем

Теперь мы приближаемся к точке, где возникает путаница. Предположим, что $\bphi$ поворачивает каждый вектор на $\theta$. Тогда матричное представление $\bphi$ — это в точности та матрица $(\vec \to \vec)$, которая была у нас раньше. Поэтому

где мы отождествляем векторы с их координатами в стандартном базисе, как это принято в естественных науках (т. е. $\vec = \vec^\vec$ и $\vec = \vec^\vec$).

Сравните формулы \eqref и \eqref. Они выглядят очень похожими, так как оба связывают два вектора-столбца через одну и ту же матрицу. Однако между ними есть большая разница. Уравнение \eqref выражает координаты $\vec$ в старой системе отсчета при заданных его координатах в новой, тогда как уравнение \eqref выражает координаты преобразованного вектора $\vec$ при заданных координатах непреобразованного вектора $\vec$ — все в одной системе отсчета. Мы также можем инвертировать \eqref, чтобы всегда иметь новые координаты в левой части, $\vec^\vec = (\vec \to \vec)^ \vec^\vec$. В этой форме становится понятным смысл разницы между \eqref и \eqref.

Поворот базиса на угол $\theta$ эквивалентен повороту всех векторов на угол $-\theta$. То есть можно либо преобразовать базис, либо выполнить обратное преобразование всех векторов — конечный результат будет одинаковым.

Лучшая стратегия, позволяющая избежать ошибок, – выбрать один из двух вариантов – либо преобразование баз, либо преобразование векторов – и придерживаться его.

Как трансформация трансформируется

Давайте посмотрим, как трансформируются линейные преобразования при изменении базиса. Обозначения в этом разделе немного отличаются от остальной части статьи; а именно, мы используем штрихованные символы для обозначения объектов, связанных с новым базисом.

Рассмотрите преобразование базиса $\vec = \vec’ \vec^$, где $\vec$ — старый базис, а $\vec’$ — новый базис. Затем

Читайте также: