Матрица, полученная из заданного путем замены каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется

Обновлено: 21.11.2024

При использовании матрицы для решения системы линейных уравнений над строками матрицы используются 3 основные операции. Обычно цель состоит в том, чтобы левая часть матрицы выглядела как единичная матрица .

Переключение строк

Вы можете поменять местами строки матрицы, чтобы получить новую матрицу.

[ 2 3 − 2 6 0 0 3 − 6 1 0 2 − 3 ] → [ 1 0 2 − 3 2 3 − 2 6 0 0 3 − 6 ]

В приведенном выше примере мы перемещаем строку 1 в строку 2 , строку 2 в строку 3 и строку 3 в строку 1 . (Причина этого заключается в том, чтобы получить 1 в верхнем левом углу.)

Умножение строки на число

Вы можете умножить любую строку на число. (Это означает умножение каждой записи в строке на одно и то же число.)

[ 1 0 2 − 3 2 3 − 2 6 0 0 3 − 6 ] → R 3 : 1 3 R 3 [ 1 0 2 − 3 2 3 − 2 6 0 0 1 − 2 ]

В этом примере мы умножили строку 3 матрицы на 1 3 . (Это дает нам 1, которая нам нужна в строке 3, столбце 3.)

Добавление строк

Вы также можете добавить две строки вместе и заменить строку результатом.

Например, в матрице, полученной в последнем примере, мы можем сложить строки 2 и 3 вместе, запись за записью:

[ 2 3 − 2 6 ] + [ 0 0 1 − 2 ] _ [ 2 3 − 1 4 ]

Затем мы заменяем строку 2 результатом.

[ 1 0 2 − 3 2 3 − 2 6 0 0 1 − 2 ] → R 2 : R 2 + R 3 [ 1 0 2 − 3 2 3 − 1 4 0 0 1 − 2 ]

Добавление нескольких строк

Мы сказали, что было только три операции, и они есть. Но, используя последние две операции в сочетании, мы можем добавлять целые кратные строки к другим строкам, чтобы ускорить работу.

Отступим на шаг назад, чтобы у нас была матрица:

[ 1 0 2 − 3 2 3 − 2 6 0 0 1 − 2 ]

Теперь вместо того, чтобы просто добавить ряд 2 + ряд 3, добавьте ряд 2 + ( 2 × ряд 3 ) :

[ 2 3 − 2 6 ] + [ 0 0 2 − 4 ] _ [ 2 3 0 2 ]

Затем замените строку 2 результатом.

[ 1 0 2 − 3 2 3 − 2 6 0 0 1 − 2 ] → R 2 : R 2 + 2 R 3 [ 1 0 2 − 3 2 3 0 2 0 0 1 − 2 ]

Таким образом, мы получаем 0 в строке 2 столбца 3.

Мы можем сделать это снова, чтобы получить 0 в строке 2 столбца 1. Здесь мы умножаем строку 1 на − 2 , добавляем к ней строку 2 и заменяем строку 2 результатом.

[ 1 0 2 − 3 2 3 0 2 0 0 1 − 2 ] → R 2 : − 2 R 1 + R 2 [ 1 0 2 − 3 0 3 − 4 8 0 0 1 − 2 ]

>

Мы покажем еще несколько шагов, чтобы получить единичную матрицу 3 × 3 слева (и, таким образом, решить систему).

Следующий шаг – добавить строку 2 + (4 × строку 3), чтобы получить 0 в строке 2 столбца 3.

[ 1 0 2 − 3 0 3 − 4 8 0 0 1 − 2 ] → R 2 : R 2 + 4 R 3 [ 1 0 2 − 3 0 3 0 0 0 0 1 − 2 ]

Далее нам нужен ноль в строке 1 столбца 3.

[ 1 0 2 − 3 0 3 0 0 0 0 1 − 2 ] → R 1 : R 1 − 2 R 3 [ 1 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 − 2 ]

Последний шаг — это просто применение второй операции, умножение строки на число.

[ 1 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 − 2 ] → 1 3 R 3 [ 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 − 2 ]

Теперь у нас есть решение в виде упорядоченной тройки ( 1 , 0 , − 2 ) .

Важное примечание. Если уравнения, представленные вашей исходной матрицей, представляют собой одинаковые или параллельные линии, вы не сможете получить единичную матрицу, используя эти операции со строками. В этом случае решения либо не существует, либо решений системы бесконечно много.

Каждое уравнение в системе становится строкой. Каждая переменная в системе становится столбцом. Переменные отбрасываются, а коэффициенты помещаются в матрицу. Если правая часть включена, это называется расширенной матрицей. Если правая часть не включена, она называется матрицей коэффициентов.

Система линейных уравнений.

становится расширенной матрицей .

< td >-1

Элементарные операции со строками

Элементарные операции со строками — это операции, которые можно выполнять над матрицей и получать матрицу, эквивалентную строкам. Если матрица представляет собой расширенную матрицу, построенную из системы линейных уравнений, то матрица, эквивалентная строкам, будет иметь тот же набор решений, что и исходная матрица.

При работе с системами линейных уравнений можно было выполнить три операции, которые не изменили бы набор решений.

1. Поменять местами два уравнения.
2. Умножение уравнения на ненулевую константу.
3. Умножить уравнение на ненулевую константу и добавить его к другому уравнению, заменив это уравнение.

Когда система линейных уравнений преобразуется в расширенную матрицу, каждое уравнение становится строкой. Итак, теперь есть три элементарные операции со строками, которые создадут эквивалентную по строкам матрицу.

1. Поменять местами две строки
2. Умножение строки на ненулевую константу
3. Умножить строку на ненулевую константу и добавить ее к другой строке, заменив эту строку.

Формы строк-эшелонов и сокращенные формы строк-эшелонов

Это строковые эквивалентные формы матрицы. Можно легко решить систему линейных уравнений, когда матрицы находятся в одной из этих форм.

Форма ряда-эшелона

Матрица находится в форме строки-эшелона, когда выполняются следующие условия.

1. Если есть строка, состоящая только из нулей, то она находится внизу матрицы.
2. Первый ненулевой элемент любой строки равен единице. Этот элемент называется ведущим.
3. Лидер любой строки находится справа от ведущего элемента предыдущей строки.

Примечания

• Ведущий в строке не обязательно должен быть непосредственно справа от ведущего в предыдущей строке.
• Матрица в форме строки-эшелона будет иметь нули ниже ведущих единиц.
• Исключение Гаусса переводит матрицу в форму строки-эшелона, а затем требуется обратная подстановка, чтобы завершить поиск решений системы.
• Эшелонно-строковая форма матрицы не обязательно уникальна.

Уменьшенная форма строки-эшелона

Матрица находится в редуцированной ступенчато-строковой форме, когда выполняются все условия ступенчато-строковой формы и все элементы выше, а также ниже ведущих равны нулю.

1. Если есть строка, состоящая только из нулей, то она находится внизу матрицы.
2. Первый ненулевой элемент любой строки равен единице. Этот элемент называется ведущим.
3. Лидер любой строки находится справа от ведущего элемента предыдущей строки.
4. Все элементы выше и ниже ведущей единицы равны нулю.

Примечания

• Ведущий в строке не обязательно должен быть непосредственно справа от ведущего в предыдущей строке.
• Матрица в форме строки-эшелона будет иметь нули как выше, так и ниже ведущих единиц.
• Исключение Гаусса-Жордана переводит матрицу в сокращенную ступенчато-строковую форму.
• Для завершения поиска решений системы не требуется обратной замены.
• Сокращенная форма строки-эшелона матрицы уникальна.

Исключение по Гауссу

• Запишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
• Выполните элементарные операции со строками, чтобы преобразовать матрицу в эшелонированную форму.
• Преобразуйте матрицу обратно в систему линейных уравнений
• Используйте обратную замену, чтобы получить все ответы

Исключение Гаусса-Джордана

• Запишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
• Выполните элементарные операции со строками, чтобы преобразовать матрицу в уменьшенную ступенчатую форму.
• Преобразуйте матрицу обратно в систему линейных уравнений
• Обратная замена не требуется

Поворот

• Сводка – это процесс, который автоматизирует операции со строками, необходимые для помещения матрицы в эшелонированную или сокращенную форму.
• В частности, поворот превращает элементы выше или ниже ведущей единицы в нули.

Типы решений

При решении системы линейных уравнений возможны три типа решений

Независимый

Когда вы преобразуете расширенную матрицу обратно в форму уравнения, вы получаете x=3, y=1 и z=2.

Зависимый

Первое уравнение будет x + 3z = 4. Решение для x дает x = 4 - 3z.

Второе уравнение будет y - 2z = 3. Решение для y дает y = 3 + 2z.

Столбец z не очищается (все нули, кроме одного числа), поэтому остальные переменные будут определены через z. Следовательно, z будет параметром t, а решение будет .

x = 4–3t, y = 3 + 2t, z = t

Несовместимо

Здесь нет решения. Вы можете записать это как нулевое множество Ø, пустое множество <> или отсутствие решения.

Транспонирование матрицы — один из наиболее распространенных методов преобразования матриц в матричных понятиях в линейной алгебре. Транспонирование матрицы получается путем замены строк на столбцы и столбцов на строки для данной матрицы. Это особенно полезно в приложениях, где необходимо получить обратные и сопряженные матрицы.

В этой статье мы узнаем о транспонировании матрицы, ее определении, свойствах и примерах решения.

x	y	z	rhs
1	1	1
3	-2	1	3
4	1	-2	9

< tr> < /tr>

1.	Что такое транспонирование матрицы?
2.	Порядок Транспонировать матрицу
3.	Транспонировать квадратную матрицу
4.	Свойства транспонирования матрицы
5.	Транспонирование горизонтальной и вертикальной матрицы
6.	Транспонирование симметричная матрица
7.	Транспонирование диагональной матрицы
8.	Транспонирование транспонированной матрицы
9.	Определитель транспонирования матрицы
10.	Связь между сопряженной и транспонированной матрицей
11.	Часто задаваемые вопросы о транспонировании матрицы

Что такое транспонирование матрицы?

Транспонирование матрицы достигается путем преобразования ее строк в столбцы (или, что то же самое, ее столбцов в строки). Прямоугольный массив чисел или функций, расположенных в виде строк и столбцов, называется матрицей. Этот массив чисел называется элементами или элементами матрицы.

Здесь для матрицы A элементы первой строки записаны в первый столбец новой матрицы, а элементы второй строки записаны во второй столбец новой матрицы. И эта новая матрица обозначается как A T , которая является транспонированной данной матрицей A.

Транспонирование матричного символа

В линейной алгебре транспонирование матрицы на самом деле является оператором, который переворачивает матрицу по ее диагонали, меняя местами индексы строки и столбца матрицы B и создавая другую матрицу. Транспонирование матрицы B часто обозначается либо B', либо B T . Иногда их также обозначают как B tr или B t . Если матрица B имеет порядок m×n, то транспонированная матрица B’ имеет порядок n×m.

Порядок матрицы транспонирования

Порядок матрицы представляет собой количество строк и столбцов в данной матрице. Все горизонтальные линии элементов называются строками матрицы, обозначаемой буквой n, а вертикальные линии элементов называются столбцами матрицы, обозначаемой буквой m. Вместе они представляют порядок матрицы, который записывается как n × m. А порядок транспонирования данной матрицы записывается как m x n.

Давайте рассмотрим приведенный ниже пример, чтобы лучше понять, как найти транспонирование матрицы.

В приведенном выше примере мы видим, что задана матрица порядка 2 × 3. Элементы первой строки [-2, 5, 6] записаны в первом столбце, а элементы второй строки [ 5, 2, 7] записываются во второй столбец для получения матрицы транспонирования. Транспонирование матрицы A равно A T и имеет порядок 3 x 2.

Транспонирование квадратной матрицы

Матрица, полученная из данной матрицы B после замены или перестановки ее строк в столбцы и столбцов в строки, называется транспонированием матрицы B. Рассмотрим транспонирование квадратных матриц 2 × 2 и 3 × 3. .

Транспонирование матрицы 2 × 2

Давайте рассмотрим матрицу C 2 × 2, после перестановки строк и столбцов результирующая транспонированная матрица C T будет выглядеть так:

Точно так же мы можем найти транспонирование матрицы A следующим образом:

После перестановки строк и столбцов результирующая транспонированная матрица AT выглядит следующим образом:

Транспонирование матрицы 3 × 3

Давайте рассмотрим матрицу C 3 × 3:

После перестановки строк и столбцов результат транспонирования матрицы C T выглядит следующим образом:

Точно так же мы можем найти транспонирование матрицы A следующим образом:

После перестановки строк и столбцов результирующая транспонированная матрица AT выглядит следующим образом:

AT = \(\left[\begin
1 & 4 & 7 \\
2 & -5 & 8 \\
-3 & 6 & -9
\конец\справа] \)

Свойства транспонирования матрицы

Транспонирование матрицы используется в некоторых линейных преобразованиях, поскольку они раскрывают некоторые важные свойства преобразования. Давайте узнаем о некоторых важных свойствах транспонирования матрицы:

• Квадратная матрица B порядка n × n считается ортогональной матрицей только тогда, когда B T × B = B × B T = I, где I — единичная матрица.
• Квадратная матрица B порядка n × n считается симметричной матрицей, если ее транспонирование равно самой себе. т. е. B T = B.
• Квадратная матрица B порядка n × n считается кососимметричной матрицей, только если ее транспонирование равно отрицательному значению. т. е. B T = -B.
• Транспонирование суммы/разности (B ± C) T — это сумма/разность транспонирования матриц B и C, т. е. B T ± C T = (B ± C) T .
• Транспонирование обратимой матрицы B также является обратимым, и его инверсия на самом деле является транспонированием обратной исходной матрицы B. Это можно представить как: (BT ) -1 = (B -1 ) T .< /li>
• Транспонирование при применении к матрице имеет более высокий приоритет, чем операции умножения и сложения, т. е.
  CB T = C(B T ) и
  C + DT = C + (DT )

Свойство сложения транспонирования матрицы

Теперь возьмем транспонирование матриц по отдельности,

Из приведенного выше примера видно, что сумма остается одинаковой в обоих случаях. Таким образом, операция транспонирования учитывает сложение.

Транспонирование горизонтальной и вертикальной матрицы

Матрица считается горизонтальной, если количество строк в матрице меньше количества столбцов в этой матрице. И матрица считается вертикальной, когда количество столбцов в матрице меньше, чем количество строк в этой матрице. Рассмотрим горизонтальную матрицу P и вертикальную матрицу Q как:

Из приведенных выше двух примеров видно, что транспонирование горизонтальной матрицы P дает вертикальную матрицу P T , а транспонирование вертикальной матрицы Q приводит к горизонтальной матрице Q T .

Транспонирование симметричной матрицы

Квадратная матрица порядка n × n считается симметричной тогда и только тогда, когда она симметрична относительно своей диагонали. Квадратная матрица C размера n x n считается симметричной тогда и только тогда, когда C T = C. Рассмотрим две заданные симметричные матрицы A и B:

B = \(\left[\begin
2 & 3 & 6 \\
3 & 4 & 5 \\
6 & 5 & 9
\end\ справа] \)

BT = \(\left[\begin
2 & 3 & 6 \\
3 & 4 & 5 \\
6 & 5 & 9
\end\ справа] \)

Из приведенного выше примера видно, что после транспонирования двух матриц A и B они равны своим исходным матрицам, т. е. A = A T и B = B T .

Транспонирование диагональной матрицы

Квадратная матрица порядка n × n считается диагональной матрицей тогда и только тогда, когда все ее элементы, кроме диагональных, равны нулю. Рассмотрим две заданные диагональные матрицы C и D:

D = \(\left[\begin
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end\ справа] \)

DT = \(\left[\begin
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end\ справа] \)

Из приведенных выше двух примеров видно, что две диагональные матрицы C и D остаются диагональными матрицами даже после применения транспонирования.

Транспонирование транспонированной матрицы

DT = \(\left[\begin
1 & 4 & 7 \\
2 & -5 & 8 \\
-3 & 6 & -9
\конец\справа] \)

(DT ) T = \(\left[\begin
1 & 2 & -3 \\
4 & -5 & 6 \\
7 & 8 & -9 < br />\конец\справа] \)

Из приведенных выше двух примеров видно, что транспонирование уже транспонированной матрицы дает исходную матрицу.

Определитель транспонирования матрицы

Определитель транспонированной матрицы A равен определителю самой матрицы A. т. е. det A = det A T для любой квадратной матрицы A. Для получения дополнительной информации нажмите здесь.

Связь между сопряженной и транспонированной матрицей

Сопряженная квадратная матрица B является транспонированной кофакторной матрицей C исходной B. Связь между сопряженной исходной матрицей B и транспонированной кофакторной матрицей C может быть представлена ​​как adj(B) = (С) Т . Рассмотрим этот пример:

Рассмотрите матрицу 2 × 2 D:

Младшая матрица M может быть представлена ​​как:

Матрица кофакторов C может быть представлена ​​следующим образом:

Транспонированный C T матрицы кофактора может быть показан как:

Важные примечания по транспонированию матрицы:

• Транспонирование матрицы на самом деле является оператором, который переворачивает матрицу по ее диагонали, меняя местами индексы строки и столбца матрицы B и создавая другую матрицу.
• Транспонирование матрицы B часто обозначается либо B', либо B T . Иногда они также обозначаются как B tr или B t .
• Если матрица B имеет порядок m x n, то транспонирование матрицы B’ имеет порядок n x m.

☛ Статьи по теме:

Примеры транспонирования матрицы

Пример 1. Найдите транспонированную матрицу B

Решение:

Чтобы найти транспонирование данной матрицы 2 × 2, давайте поменяем строки на столбцы, а столбцы — на строки. Результирующая матрица:

Ответ: B T = \(\left[\begin
5 & -2 \\
6 & 3
\end\right]\)

Пример 2. Найдите транспонированную матрицу A

Решение:

Чтобы найти транспонирование данной матрицы 2 × 3, давайте запишем строки как столбцы. Результирующая матрица имеет порядок 3 × 2 :

Ответ: B = \(\left[\begin
2 & 0 \\
-1 & 5 \\
3 & 2
\end\right] \ )

Пример 3. Проверка, является ли A = AT, если A = \(\left[\begin
2 & -3 & 1 \\
-3 & 4 & -7 \\
1 & -7 & 9
\end\right]\).

Решение:

Давайте найдем транспонирование матрицы A, записав ее строки как столбцы.

Мы ясно видим, что A = A T .

Обратите внимание, что мы называем A здесь симметричной матрицей.

Стань чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами

Практические вопросы по транспонированию матрицы

Часто задаваемые вопросы о транспонировании матрицы

Что означает транспонирование матрицы?

Транспонирование матрицы – это матрица, полученная после замены или преобразования ее строк в столбцы (или столбцов в строки). Транспонирование B обозначается B T .

Как найти транспонирование матрицы?

Транспонирование любой заданной матрицы можно вычислить, поменяв местами ее строки и столбцы. Рассмотрим матрицу B 2 × 2:

После перестановки строк и столбцов результирующая транспонированная матрица C T выглядит следующим образом:

Что такое свойство сложения транспонирования матрицы?

Согласно свойству сложения транспонирования матрицы, для двух матриц B и C транспонирование суммы (B + C) T равно сумме транспонирования матриц B и C. Это можно представить как (B + C) T = BT + CT .

Что такое свойство умножения транспонированной матрицы?

Согласно свойству умножения транспонирования матрицы, транспонирование при применении к матрице имеет более высокий приоритет, чем операции умножения и сложения, т. е. CB T = C(BT) и C + DT = C + (DT).

Каковы различные свойства транспонирования матрицы?

Вот различные свойства транспонирования матрицы:

• Квадратная матрица B порядка n × n считается ортогональной матрицей только тогда, когда B × B T = I, здесь I — единичная матрица.
• Квадратная матрица B порядка n × n считается кососимметричной матрицей только в том случае, если она транспонирована B T = -B, т. е. равна своей отрицательной величине.
• Транспонирование разности (B – C) T — это разность транспонирования матриц B и C. B T – C T = (B – C) T
• Транспонирование обратимой матрицы B также обратимо, а ее обратная B-1 на самом деле является транспонированием обратной исходной матрицы B. Это можно представить как: (BT )-1 = (B-1 ) Т .
• Транспонирование при применении к матрице имеет более высокий приоритет, чем операции умножения и сложения, т. е. CB T = C(B T ) и C + DT = C + (DT )

Что является определителем транспонирования матрицы?

Определитель транспонированной квадратной матрицы порядка n×n равен определителю матрицы, т. е. |B T | = |В|.

Что такое транспонирование квадратной матрицы?

Для любой квадратной матрицы порядка n×n транспонирование применяется к матрице следующим образом. Рассмотрим матрицу C 2 × 2:

После перестановки строк и столбцов результирующая транспонированная матрица C T выглядит следующим образом:

Как найти обратную матрицу методом транспонирования?

Вот шаги, которые необходимо выполнить, чтобы вычислить обратную матрицу D с помощью метода транспонирования:

Элементарная матрица E – это квадратная матрица, которая генерирует операцию элементарной строки над матрицей A (которая не обязательно должна быть квадратной) при умножении EA.

Связанные термины:

Скачать в формате PDF

Об этой странице

Элементарная матрица

Элементарная матрица – это матрица, полученная из единичной матрицы путем применения к единичной матрице одной элементарной операции со строками.

Иллюстрация

Элементарная матрица, полученная в результате перестановки двух строк

Элементарная матрица, полученная в результате умножения строки на ненулевую константу

Элементарная матрица, полученная в результате добавления числа, кратного одной строке, к другой строке

Дополнительные приложения

Стивен Андрилли , Дэвид Хекер , Элементарная линейная алгебра (четвертое издание), 2010 г.

Упражнения к разделу 8.6

Для каждой приведенной ниже элементарной матрицы определите соответствующую операцию со строками. Кроме того, используйте обратную операцию, чтобы найти обратную заданную матрицу.

[ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ]

[ 1 0 0 0 − 2 0 0 0 1 ]

[ 1 0 0 0 1 0 − 4 0 1 ]

[ 1 0 0 0 0 6 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ]

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 − 2 0 0 0 1 ]

[ 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 ]

Выразите каждое из следующих чисел в виде произведения элементарных матриц (если возможно), как в примере 5: ⋆(a)

[ − 3 2 1 13 − 8 − 9 1 − 1 2 ]

[ 0 0 5 0 − 3 0 0 − 2 0 6 − 10 − 1 3 0 0 3 ]

Пусть A и B — матрицы m × n. Докажите, что A и B эквивалентны по строкам тогда и только тогда, когда B = PA для некоторой невырожденной матрицы P m × m.

Если E — элементарная матрица, покажите, что E T также является элементарной матрицей. Какая связь между строковой операцией, соответствующей E, и строковой операцией, соответствующей E T ?

Пусть F — элементарная матрица n × n. Покажите, что произведение AF T — это матрица, полученная путем выполнения над A операции «столбец», аналогичной одному из трех типов операций со строками. (Подсказка: что такое (AF T ) T ?)

Докажите следствие 8.9.

Рассмотрим однородную систему AX = O, где A — матрица n × n. Покажите, что эта система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда A нельзя представить в виде произведения элементарных матриц n × n.

Пусть A и B — матрицы m × n и n × p соответственно, и пусть E быть элементарной матрицей m × m.

Докажите, что ранг(EA) = ранг(A).

Покажите, что если A содержит k строк со всеми нулями, то rank(A) ≤ m − k.

Покажите, что если A находится в приведенной ступенчатой ​​форме строк, то rank(AB) ≤ rank(A). (Используйте часть (b).)

Используйте части (a) и (c), чтобы доказать, что для матрицы A общего вида rank(AB) ≤ rank(A).

Сравните это упражнение с упражнением 18 в разделе 2.3.

Верно или неверно: (а)

Каждая элементарная матрица квадратная.

Если A и B являются матрицами, эквивалентными строкам, то должна существовать элементарная матрица E такая, что B = EA.

Если E₁,…, E_k равно n × n элементарные матрицы, то обратным E₁E₂…E_k является E _к…E₂E₁.

Если A — невырожденная матрица, то A−1 можно выразить как произведение элементарных матриц.

Если R — операция со строкой, E – соответствующая ей матрица m × m, а A – любая m. em> × n, то операция обратной строки R −1 обладает свойством R −1 (A) = E −1 A.

Том 2

А. де Хуан, . Р. Таулер, в книге «Комплексная хемометрика», 2009 г.

2.19.2.2 Разрешение на основе элементарных матричных преобразований (щадящее)

Метод разрешения, основанный на элементарных матричных преобразованиях, предложенный Манном и Гранде, 34 далее именуемый Ментль, работает в пространстве необработанных данных, и основная идея состоит в том, что истинные решения C и ST могут быть получены матричным преобразованием из эволюции любой пары матриц C_o и S_o T , оптимально соответствующих матрице необработанных данных X. Эта отправная точка согласуется с моделью в уравнении (2), где связь между исходными оценками C_o и S_o T и желаемыми химически значимыми растворами, C и ST , осуществляется через матрицу преобразования R.

Таким образом, этот метод начинается с начального набора реальных спектров из исходной матрицы S_o T , полученной с использованием метода выбора чистой переменной. 13 Эта матрица S_o T содержит хорошие приближенные спектры, которые представляют собой линейные комбинации искомых истинных спектров. Затем исходная матрица C_o вычисляется методом наименьших квадратов из X и S_o T . Полученная таким образом пара матриц C_o и S_o T воспроизводит исходный набор данных X с оптимальным соответствием. Затем матрица C_o преобразуется в химически значимую матрицу C посредством ряда элементарных этапов преобразования матрицы, каждый из которых влияет на небольшую часть данных. Таким образом, последовательность последовательных преобразований может быть выражена как

Или, более компактно,

Чтобы сохранить соответствие исходной матрицы данных X, матрица спектров S_o T последовательно преобразуется как

Если R определяется как R = R_oR₁…R_n, мы можем легко вспомнить выражение в уравнении (2) . Особенность этого подхода заключается в том, что матрицы последовательного преобразования R_o, R₁, …, R_{n — элементарные матрицы. Чтобы понять, как эти матрицы Ri действуют на небольшие части профилей концентрации и спектров, мы переформулируем билинейную модель CR по профилям. Предположим, что у нас есть двухкомпонентная система. Связанная модель CR, выраженная как сумма вкладов каждой диады профилей, может быть записана как}

Добавляя и вычитая член kc₂s₁ T к приведенному выше выражению и реорганизуя члены, мы получаем следующие два уравнения :

На рис. 3 показана взаимосвязь между исходной билинейной моделью в уравнении (15) и преобразованной моделью в уравнении (17) в матричной форме.

Рисунок 3 . Схема одномоментной модификации профилей в двухкомпонентной системе путем элементарного матричного преобразования.

На рисунках 3(a) и 3(c) показаны исходная модель по уравнению (15) и модель по уравнению (17) соответственно.Связью между ними является матрица преобразования R, показанная на рисунке 3(b). Эта матрица преобразования имеет свойство иметь единицы вдоль диагонали и только один ненулевой внедиагональный элемент. Матрицы с такой структурой получили название элементарных матриц. 35

Элементарная матрица на рисунке 3(b) представлена ​​алгебраическим обозначением E₂₁(k), где субиндекс указывает ненулевой элемент в матрице данных. Обратной элементарной матрицей E₂₁(k) является E₂₁( −к). Умножение C справа на элементарную матрицу E₂₁(k) изменяет первый столбец C добавлением k умножить на второй профиль, то есть c₁→c₁+kc₂, и левое умножение ST на E< /em>₂₁(-k) изменяет вторую строку ST путем добавления -k раз к первому профилю, то есть s< sub>2→s₂−ks₁.

Без ограничения общности, для системы с n компонентами элементарное матричное преобразование с использованием матрицы E_ji(k) приведет к заменам c_i→c_i+kc_j и s _j→s_j−ks_j. Чтобы представить профиль концентрации c_i как линейную комбинацию всех остальных в наборе данных, произведение элементарных матриц ΠE _ji (k_j) приведет к замене c_i →c_i+Σk_jc_j. Как следствие, все спектры с j ≠ i будут соответствующим образом изменены, поскольку s_j→s_j− к_js_j.

Рисунок 3 и приведенные выше пояснения помогли визуализировать две основные идеи, связанные с преобразованием элементарных матриц. Во-первых, преобразованные профили концентрации и спектры представляют собой линейные комбинации исходных профилей. Во-вторых, преобразование элементарной матрицы влияет на профили концентрации и спектры попарно, отсюда необходимость последовательных преобразований элементарной матрицы для получения глобальной модификации C и S T . Представленные элементарные матричные преобразования используются методом Джентла для преобразования начальных оценок концентрации и спектров в реальные решения, искомые в подходе с разрешением. Стратегия, используемая на практике, и условия, которым должен соответствовать набор данных для анализа, подробно объясняются ниже.

Применение метода разрешения, основанного на элементарных матричных преобразованиях, будет показано для хроматографической системы (ВЭЖХ-DAD) с четырьмя компонентами, показанной на рисунке 1. После того, как количество компонентов в системе известно, необходимо выполнить шаги, указанные ниже:

Генерация исходных спектральных оценок, S_o T , из исходной матрицы данных X с помощью методов выбора чистой переменной и нормализации до постоянной площади.

Вычисление C_o методом наименьших квадратов в соответствии с билинейной моделью разрешения, как C o = X ( S o T ) + .

Организация профилей концентрации в соответствии с порядком элюирования в C_o.

Наложение ограничений на профили элюции посредством элементарных матричных преобразований (неотрицательность профилей элюции и сохранение правильных окон элюции).

Модификация чистых спектров обратными элементарными матрицами, используемыми на этапе (d), для обеспечения оптимального воспроизведения исходного набора данных.

Шаг (d) является ядром алгоритма и подчеркивает тот факт, что применение ограничений в Gentle отличается от методов, используемых в других итерационных подходах. Зная, что элементарные матричные преобразования производят линейные комбинации существующих профилей, кажется логичным, что форма данного профиля концентрации c_i должна быть в основном изменена комбинацией с ближайшим левым c _i−1 и/или справа c_i+1 соседних профилей. Таким образом, элементарные матричные преобразования для исключения отрицательных частей заданного профиля концентрации c_i выполняются в следующей последовательности:

Выбор профиля с наименьшим минимумом (наибольшим отрицательным вкладом) c_i (m), где m — номер шага итеративного преобразования.

Узнайте, нужно ли преобразовать c_i (m). Это произойдет, если (а)

Отрицательный минимум ниже установленного отрицательного порогового значения.

Один из соседних профилей, c_i−1 (m) или c_{i +1} (m) – максимальный профиль выше минимального.

Наибольший профиль больше установленного положительного порогового значения (абсолютное значение порога обычно составляет 1 % от абсолютного максимума в C_o).

Если все условия на шаге (ii) выполнены, возьмите самый большой соседний профиль, например, c_i−1 (m ) и замените c_i (m) на c_i (m+1) = c_i (m) + kc_{< em>i}−1 (m) , где k выбирается таким образом, чтобы наименьший минимум в профиле c _i (m+1) равно предустановленному отрицательному пороговому значению. Это эквивалентно выполнению C_m+1 = C_mE_i,i−1(k).

Преобразуйте соответствующим образом связанные спектральные профили, то есть s_i−1 (m+1) = s_i−1 (m) – ks_i (м) . Это элементарное матричное преобразование ST _m+1 = E_{i,i< /em>−1}(−k)ST _m. (Для лучшего понимания этапов (iii) и (iv) см. матрицу C_o и профили концентрации и соответствующие спектры после первого элементарного преобразования, представленные на рисунках 4(a) и 4(b). ) .)

Нормализация спектров в ST _m+1, изменение масштаба профилей в C_m+1 соответственно, и возвращайтесь к шагу (ii) до тех пор, пока ни один из профилей концентрации не будет соответствовать условиям преобразования.

Рисунок 4. (a) Оценки исходного спектра (S_o T ) и вычисление C_o по методу наименьших квадратов. Синий профиль — это самый негативный профиль, подлежащий преобразованию. Зеленый профиль используется для выполнения корректирующего преобразования элементарной матрицы. (б) Концентрационные профили после первого преобразования элементарной матрицы, C₁. Связанная преобразованная матрица спектров, S₁ T . (c) Окончательные растворы C и S T после применения неотрицательности и коррекции окон элюции.

Как только профили концентрации станут положительными, можно проверить, сохраняют ли обратные преобразования соответствующие спектры положительными. Если коэффициент k изменять постепенно, сохраняя значение чуть меньше точного оптимума, очень часто этой проверки можно избежать.

Это процедура, используемая для применения ограничения неотрицательности. После этого этапа получают окончательное решение, изменяя профили концентрации таким образом, чтобы они соответствовали заранее определенным окнам элюирования, то есть сводя к минимуму элементы профиля концентрации за пределами предварительно заданного окна элюирования. Первоначальная установка этих окон выполняется автоматически после коррекции неотрицательности, принимая значения около максимума, превышающие заданный положительный порог. Как только это будет сделано, каждый профиль концентрации модифицируется продуктом элементарных матричных преобразований, которые дают

где элементы k_j вычисляются с помощью линейной регрессии, минимизирующей отклонение от нуля элементов c _i (m) вне установленного окна элюирования. Этот расчет немного изменяет начальные окна элюции, и для получения более надежных решений эту процедуру повторяют несколько раз, изменяя определение окон элюции по результатам последнего итерационного цикла. На рис. 4(c) показаны окончательные профили, восстановленные для набора данных на рис. 1 с помощью элементарных матричных преобразований после подходящего введения всех необходимых ограничений.

Проверка качества результатов может быть выполнена путем изучения значимости разрешенных профилей, например, отсутствие одномодальности может рассматриваться как серьезная ошибка и, вероятно, связано с неправильной оценкой количества соединений. Кроме того, наличие неотрицательных элементов в матрице R свидетельствует об успешном результате. Независимая проверка разрешенных спектров может быть достигнута путем сравнения форм спектров, восстановленных с формами, полученными с помощью факторного анализа подокна (SFA), 36 метод разрешения, в основном ориентированный на разрешение чистых спектров (дополнительную информацию см. в главе о неитерационных методах разрешения кривых). объяснение SFA, Глава 2.18). Хотя неоднозначность вращения все еще может существовать, если два метода дают одно и то же решение, результаты, скорее всего, будут правильными.

Важно отметить, что метод Gentle подходит для анализа данных процесса, при котором профили концентрации изменяются последовательно и можно легко определить окна элюирования. Наборы данных с менее структурированными профилями концентрации, такие как изображения окружающей среды или спектроскопические изображения, не могут быть легко обработаны с помощью этого подхода.

<р>2. Имеем, что A(i,j)=B(i,j)+C(i,j) для каждого j =1,2. н. Рассмотрим выражение для det( A ). Каждое слагаемое в этом выражении содержит ровно один множитель из i-й строки A . Рассмотрим один из этих терминов:

( A(i,j) — множитель из i-й строки в этом произведении).

Заменить A(i,j) на B(i,j)+C(i,j):

Если мы добавим только термины, содержащие B, мы получим определитель B; если мы сложим все термины, содержащие C, мы получим определитель C. Таким образом, det( A )=det( B )+det( C ).

<р>3. Предположим, что i-я строка в A равна j-й строке A , то есть A(i,k)=A(j,k) для каждого k =1,2. н . Рассмотрим произвольное произведение в выражении det( A ):

(мы используем тот факт, что это произведение содержит один множитель из i-й строки и один множитель из j-й строки, и мы предполагаем, что i встречается до j ; случай, когда i встречается дальше j, аналогичен). Рассмотрим также произведение, соответствующее перестановке p', полученной из p перестановкой i и j:

эти термины равны. Но они встречаются в выражении det( A ) с противоположными знаками (помните, что p ' получается из p одной транспозицией). Таким образом, эти продукты убивают друг друга в det(A). Поэтому каждый член в det( A ) уничтожается, когда мы объединяем одинаковые члены в det( A ), поэтому det( A )=0.

<р>4. Пусть матрица B получена из матрицы A добавлением j-й строки, умноженной на k, к i-й строке. Представим A в виде столбца строк:

Тогда B имеет следующий вид:

По свойству 2 мы можем заключить, что det( B ) равно сумме определителей двух матриц:

Первая из этих матриц — A . Обозначим второй через C . Таким образом, det(B)=det(A)+det(C). По свойству 1 det( C ) в k раз больше определителя следующей матрицы:

Но эта матрица имеет две равные строки, поэтому ее определитель равен 0 (свойство 3). Таким образом, det( C )=0 и det( B )=det( A ). Доказательство завершено.

1. Добавить j-ю строку к i-й строке:
   
2. Вычесть i-ю строку полученной матрицы из j-й строки:
3. Добавить j-ю строку полученной матрицы к i-й строке:
   
4. Умножить j-ю строку полученной матрицы на -1:

Читайте также:

  
• Как сохранить файл в консоли
  
• Dns через https или DNS через tls
  
• Как восстановить настройки 3ds max по умолчанию
  
• Как заменить дисплей на xiaomi redmi note 6
  
• SSD или HDD, что лучше