Какая система счисления используется для представления числа в памяти компьютера

Обновлено: 02.07.2024

Ваш персональный компьютер представляет собой тип цифрового электронного компьютера. Он называется цифровым, потому что вся информация внутри него представлена и обрабатывается в виде чисел (первоначальное значение слова «цифра» — «палец», а поскольку люди часто считают пальцами, термин «цифра» также стал применяться к числам). ). Все числа в электронной таблице, все текстовые символы в документе Word, все изображения и звуки, хранящиеся на компьютере, ВСЕ представлены в виде чисел.

Вы используете систему счисления с основанием 10 (поскольку у людей 10 пальцев, это им подходит). Когда вы пишете число 1853, например, это означает:

Каждая цифра (0–9) в числе с основанием 10 умножается на степень десяти, соответствующую ее положению. Обратите внимание, что значение каждого разряда в 10 раз превышает значение разряда справа от него. Но вы все это знали, конечно.

Двоичные числа

Но как быть с бедным компьютером, у которого нет пальцев, чтобы считать? База 10 неудобна для использования на компьютере без пальцев. Компьютеры ДЕЙСТВИТЕЛЬНО имеют электрические цепи, которые либо включены, либо выключены. Всего два состояния для работы. Таким образом, натуральная система счисления для использования в электронном компьютере — это основание 2 (так называемая двоичная система счисления). В отличие от вас, у которого есть десять цифр для вычислений (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), у компьютера есть только две цифры (0 и 1), с которыми он должен все делать. Таким образом, в памяти компьютера крошечный транзистор, который включен (проводит ток), может представлять 1, а выключенный транзистор будет представлять 0 (ноль). .

Например, двоичное число 11100111101 означает:

Ах! Значит, это одно и то же число!

1853 (по основанию 10) = 11100111101 (по основанию 2)

Обратите внимание, что каждая позиция двоичной цифры в числе по основанию 2 имеет 2 значение, умноженное на позицию двоичной цифры справа от нее (поскольку это база 2; помните, как работала база 10).

Все время говорить «двоичная цифра» становится громоздко, поэтому был изобретен более короткий термин «бит». Бит — это одна двоичная цифра. Бит может содержать либо 1, либо 0 (ноль). Строка битов может содержать большие числа (точно так же, как вы используете строки из 10-кратной базы для представления чисел больше 9).

Двоичное представление чисел
Основание 10	Основание 2
0	00000000
1	00000001
2	00000010
3	00000011
4	00000100
5	00000101
.	.
65	01000001
66	01000010
67	01000011
.	.
254	11111110
255	11111111

Особенно удобный фрагмент компьютерной памяти имеет длину 8 бит. Этот кусок памяти может использоваться для представления любого числа от нуля (00000000) до 255 (11111111). Почему 11111111 (по основанию 2) равно 255 (по основанию 10)? Потому что это означает:

1 x 128 + 1 x 64 + 1 x 32 + 1 x 16 +
1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 1 x 1 = 255

И почему это кусок памяти удобного размера? Потому что, если мы хотим представить все символы английского алфавита, 8 цифр — это первая степень числа 2, которая дает вам достаточно возможностей для этого (длинный 4-битный фрагмент может содержать только числа от нуля до 7. недостаточно) .

У нас есть специальное имя для фрагмента памяти длиной 8 бит: он называется байтом. Это основная единица, которую мы используем для измерения объема памяти компьютера. (Кусок памяти длиной 4 бита называется «кусок», но вам не нужно знать это для теста.)

Текстовые символы представлены в памяти компьютера в виде чисел. Как? Вам нужна схема приравнивания букв к цифрам. Используемая система называется кодом ASCII (американский стандартный код для обмена информацией). Заглавная буква A представлена числом 65 в коде ASCII (65 — это 01000001 в двоичном формате). Первые 65 кодов ASCII (от 0 до 64) используются для набора управляющих символов и специальных символов, поэтому заглавная буква А оказалась 65. Заглавная буква Б равна 66 (01000010) и так далее.

< /tr>

Представление символов ASCII (просто пример )
Символ	Основание 10	Основание 2
(возврат )	13	00001101
(пробел)	32	00100000
!	33	00100001
1	49	00110001
2	50	00110010
@	64	01000000
A	65	01000001
B	66	01000010
C	67	01000011
a	97	01100001
b	98	01100010
c	99	01100011
(удалить)	127	01111111

Как компьютер узнает, является ли 01000001 в байте памяти числом 65 или буквой A? Поскольку прикладная программа отслеживает, что и куда помещается в память, MS Word знает, что данный байт, в котором хранится текст, содержит числа, представляющие буквы.

Для иностранных алфавитов, которые содержат намного больше букв, чем английский (например, японский кандзи), теперь используется более новое расширение схемы ASCII, называемое Unicode (для хранения каждой буквы используется два байта; два байта дают 65 535 различных значений для представления символов).

Изображения также представлены в виде чисел на компьютере. Если вы внимательно посмотрите на экран своего дисплея, то увидите, что изображение на нем состоит из множества маленьких точек, называемых элементами изображения (что чаще сокращается до пикселя). Каждый пиксель изображения на экране может быть представлен в компьютере тремя байтами; числа в байтах сообщают дисплею, сколько красного, синего и зеленого света нужно смешать, чтобы получился цвет пикселя (три байта могут представлять миллионы возможных цветов для каждого пикселя).

Программы, выполняемые компьютером, также хранятся в виде чисел. Каждое число в этом случае представляет собой инструкцию для микропроцессора (каждая операция, которую может выполнить процессор, например, «выбрать число в регистр» и «сложить вместе содержимое двух резисторов», представлена уникальными двоичными кодами).

Килобайты, мегабайты, гигабайты и т. д.

Емкость памяти и емкость хранилища данных для компьютеров измеряются в байтах. Размеры файлов также измеряются в байтах (помните, что один байт равен 8 битам). Однако размер байта невелик (он может содержать только один символ), поэтому мы используем более крупные единицы:

Килобайт ( КБ ) составляет примерно 1000 байт. Но это НЕ ровно 1000 байт; это 1024 байта. Почему такое странное число, как 1024? Потому что 1024 — это ровно 10000000000 в двоичном формате; хорошее число, кратное двум, очень удобно для компьютера. Так что помните: когда компьютер сообщает вам, что ваш файл занимает 40 килобайт, на самом деле он использует 40 960 байт (а не 40 000). Но вы можете думать о килобайте как о «примерно 1000 байтов», откуда он и получил свое название. Размер этого файла веб-страницы составляет примерно 20 КБ.

Точно так же вы можете думать о мегабайте ( МБ ) примерно как о миллионе байтов, но это точно 1 048 576 байт (1024 x 1024). Приложение MS Word занимает около 13 МБ на жестком диске компьютера (в зависимости от версии). Типичный персональный компьютер может иметь 512 МБ памяти.

Гигабайт ( ГБ ) равен приблизительно одному миллиарду байтов (точно 1 073 741 824). Корневое слово для гига такое же, от которого произошло наше слово гигант, поэтому технически гигабайт следует произносить с мягкой г, но допустимо произношение как с твердой, так и с мягкой г. Емкость стандартного жесткого диска измеряется десятками или сотнями ГБ.

Если вам интересно, триллион байт – это терабайт, но возможности ПК еще не достигли этого предела.

Примечание. Чтобы еще больше запутать ситуацию, многие производители указывают емкость своих жестких дисков и других устройств в килобайтах, которые составляют ровно 1000 байт. Это имеет преимущество (для них) в том, что их продукты кажутся на 2,4% больше. Для целей этого класса мы будем использовать определение килобайта = 1024 байта.

Поскольку память компьютера может хранить только двоичные числа , возникает вопрос, как компьютер может хранить нечисловую информацию, такую как буквы, изображения, звуки и т. д.

В основе системы представления, используемой компьютером, лежит двоичная система счисления, используемая компьютером для представления значений с помощью двоичных чисел

Теперь мы изучим следующий вопрос:

То есть мы будем изучать двоичную систему счисления

Обще используются две системы счисления:

<УЛ> <УЛ>

Память компьютера состоит из переключателей

Переключатель может представлять только 0 (= выключенное состояние) и 1 (= включенное состояние)

Значения представлены количеством точек между скобками ( ).

Все вы научились распознавать эти 10 символов и связывать присвоенное значение, когда были детьми (в начальных школах . )

(Это не относится к тем, кто родился и вырос внутри, например, в джунглях Амазонки. )

В начальной школе вы узнали, что:

Эти учебники означали следующее:

Значения представлены количеством точек между скобками ( ).

Как и в десятичной системе счисления:

Примеры двоичных чисел:

Примеры чисел в десятичной системе счисления:

чтобы найти (десятичное) значение, представленное двоичным числом:

может находиться в одном из 2 n состояний!

Ряд из 3 переключателей может находиться в одном из 2 3 = 8 состояний.

Напомним: мы можем использовать числа для представления информации о семейном положении:

Схема представления имеет шикарное название:

Примечание для лектора:

<УЛ> <УЛ>

Не объясняйте все детали двоичной системы счисления — это будет объяснено в CS255.

В CS170 учащимся нужно только знать, что числа могут быть закодированы единицами и нулями.

Это означает, что вы можете использовать только цифры 0 и 1 для записи двоичного числа

Пример: некоторые двоичные числа

(Читайте: существует 10 (= 2) бинарных типов людей: те, кто понимает бинарные (числа), и те, кто не понимает)

По историческим причинам количество переключателей в одной строке равно 8

<УЛ> <УЛ>

26 заглавных букв ("A", "B" и т. д.)

26 строчных букв ("а", "б" и т. д.)

10 цифр ("0", "1" и т. д.)

20 или около того специальных символов ("&", "%", "$" и т. д.)

всего около 100 различных символов

Пример типов: семейное положение, пол, возраст, зарплата и т. д.

На самом деле бит — это переключатель, который может запоминать 0 или 1

(Цифры 0 и 1 — это цифры, используемые в двоичной системе счисления)

Байт фактически представляет собой одну строку оперативной памяти

МБ = мегабайт = 1048576 (= 2 20 ) байт (приблизительно 1 000 000 байт)

GByte = гигабайт = 1073741824 (= 2 30 ) байт (приблизительно 1 000 000 000 байт)

Поэтому в одном байте может храниться одно из 256 возможных значений

(Вы можете сохранить число 34 в байте, но вы не можете сохранить число 556, значение вне допустимого диапазона)

В 16-битной ячейке памяти может храниться один из 2·16 = 65 536 различных шаблонов.

Поэтому он может представлять (более крупные) числа в диапазоне от 0 до 65 535 .

Пример: как компьютер может использовать 2 последовательных байта в качестве 16-битной ячейки памяти:

Байты по адресам 0 и 1 можно интерпретировать как 16-битную ячейку памяти (с адресом 0)

Двоичная система счисления, также называемая системой счисления с основанием 2, – это способ представления чисел, в котором для счета используются комбинации только двух цифр: ноль (0) и единица (1). Компьютеры используют двоичную систему счисления для обработки и хранения всех своих данных, включая числа, слова, видео, графику и музыку.

Термин "бит", наименьшая единица цифровой технологии, означает "ДВОИЧНАЯ ЦИФРА". Байт — это группа из восьми битов. Килобайт – это 1 024 байта или 8 192 бита.

Используя двоичные числа, 1 + 1 = 10, потому что "2" не существует в этой системе. Другая система счисления, обычно используемая десятичная система счисления или система счисления с основанием 10, считает с использованием 10 цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), поэтому 1 + 1 = 2 и 7. + 7 = 14. Другой системой счисления, используемой программистами, является шестнадцатеричная система с основанием 16, в которой используется 16 символов (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B, C, D, E, F), поэтому 1 + 1 = 2 и 7 + 7 = E. Системы счисления с основанием 10 и 16 более компактны, чем двоичная система. Программисты используют шестнадцатеричную систему счисления как удобный и более компактный способ представления двоичных чисел, потому что ее очень легко преобразовать из двоичной в шестнадцатеричную и наоборот. Преобразование из двоичного в десятичное и из десятичного в двоичное сложнее.

Преимуществом двоичной системы является ее простота. Вычислительное устройство может быть создано из всего, что имеет ряд переключателей, каждый из которых может переключаться между положением «включено» и положением «выключено». Эти переключатели могут быть электронными, биологическими или механическими, если их можно перемещать по команде из одного положения в другое. Большинство компьютеров имеют электронные переключатели.

Когда переключатель находится в положении "включено", он соответствует единице, а когда переключатель находится в положении "выключено", он представляет собой нулевое значение. Цифровые устройства выполняют математические операции, включая и выключая двоичные переключатели. Чем быстрее компьютер может включать и выключать переключатели, тем быстрее он может выполнять свои вычисления.

< td rowspan="1" colspan="1">Система< td rowspan="1" colspan="1">0< tr>< td rowspan="1" colspan="1">C

Двоичный	Десятичный	Шестнадцатеричный
Число	Число	Число
Система	Система
0	0< /td>
1	1	1
10	2	2
11	3	3
100	4	4
101	5	5
110	6	6
111	7	7
1000	8	8
1001	9	9
1010	10	A
1011	11	B
1100	12
1101	13	D
1110	14	E
1111	15	F
10000	16	10

Позиционное обозначение

Каждая цифра в двоичном числе принимает значение, которое зависит от ее положения в числе. Это называется позиционной записью. Эта концепция применима и к десятичным числам.

Например, десятичное число 123 представляет собой десятичное число 100 + 20 + 3. Число один представляет собой сотни, число два представляет десятки, а число три представляет единицы.Математическая формула для получения числа 123 может быть создана путем умножения числа в столбце сотен (1) на 100 или 10 2 ; умножение числа в столбце десятков (2) на 10 или 10 1 ; умножение числа в столбце единиц измерения (3) на 1 или 10 0 ; а затем добавить продукты вместе. Формула: 1 × 10 2 + 2 × 10 1 + 3 × 10 0 = 123.

Это показывает, что каждое значение умножается на основание (10), возведенное в возрастающую степень. Значение степени начинается с нуля и увеличивается на единицу в каждой новой позиции формулы.

Эта концепция позиционной записи также применима к двоичным числам с той разницей, что основание равно 2. Например, чтобы найти десятичное значение двоичного числа 1101, формула имеет вид 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 13.

Двоичные операции

С двоичными числами можно работать с помощью тех же знакомых операций, которые используются для вычисления десятичных чисел, но с использованием только нулей и единиц. Чтобы сложить два числа, нужно запомнить всего четыре правила:

Поэтому, чтобы решить следующую задачу на сложение, начните с крайнего правого столбца и добавьте 1 + 1 = 10; запишите 0 и перенесите 1. Работая с каждым столбцом слева, продолжайте добавлять, пока проблема не будет решена.

Чтобы преобразовать двоичное число в десятичное, необходимо умножить каждую цифру на степень двойки. Затем продукты складываются. Например, чтобы преобразовать двоичное число 11010 в десятичное, формула будет выглядеть следующим образом:

Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, разделите двоичное число на группы по четыре, начиная справа, а затем переведите каждую группу в ее шестнадцатеричный эквивалент. Нули могут быть добавлены слева от двоичного числа, чтобы завершить группу из четырех. Например, чтобы преобразовать число 11010 в шестнадцатеричное, формула будет выглядеть следующим образом:

Цифровые данные

Биты — это фундаментальный элемент цифровых вычислений. Термин «оцифровать» означает преобразование аналогового сигнала — диапазона напряжений — в цифровой сигнал или серию чисел, представляющих напряжения. Музыкальное произведение можно оцифровать, взяв очень частые его сэмплы, называемые семплированием, и переведя их в дискретные числа, которые затем переводятся в нули и единицы. Если сэмплы берутся очень часто, музыка при воспроизведении звучит как непрерывный тон.

см. также Ранние компьютеры; Память.

Энн МакИвер МакХоуз

Библиография

Блиссмер, Роберт Х. Представляем компьютерные концепции, системы и приложения. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., 1989.

Диллиган, Роберт Дж. Вычисления в эпоху Интернета: введение в интерактивный Интернет. Нью-Йорк: Plenum Press, 1998.

Уайт, Рон. How Computers Work: Millennium Edition. Indianapolis: Que Corporation, 1999.

Читайте также: