Как найти соотношение сторон треугольника
Обновлено: 02.07.2024
Калькулятор золотого сечения рассчитает более короткую сторону, более длинную сторону и общую длину двух сторон, чтобы вычислить золотое сечение. Прежде чем мы сможем рассчитать золотое сечение, важно ответить на вопрос «что такое золотое сечение?». В следующем разделе мы надеемся дать вам ответ.
Что такое золотое сечение
Золотое сечение, также известное как золотое сечение или золотая пропорция, получается, когда длины двух сегментов имеют такое же отношение, как отношение их суммы к большей из двух длин. Значение золотого сечения, которое является пределом соотношения последовательных чисел Фибоначчи, составляет примерно 1,618 .
Формула золотого сечения выглядит следующим образом. Пусть больший из двух отрезков будет a, а меньший обозначим как b. Тогда золотое сечение равно (a+b)/a = a/b. Любой старый калькулятор отношений сделает этот трюк за вас, но этот калькулятор золотого сечения имеет дело с специально для этой проблемы, так что вам не о чем беспокоиться!
Вот пошаговый метод решения соотношения вручную.
- Найдите более длинный сегмент и назовите его
- Найдите более короткий сегмент и назовите его b.
- Введите значения в формулу.
- Возьмите сумму a и b и разделите на a.
- Делить a на b
- Если пропорция находится в золотом сечении, она будет равна примерно 1,618
- Используйте калькулятор золотого сечения, чтобы проверить результат.
Постулат сложения сегментов можно использовать для нахождения одной из длин сегментов, когда 3 точки лежат на одной прямой и два расстояния известны.
Золотой прямоугольник
Золотой прямоугольник – это прямоугольник длиной a+b и шириной a . Этот прямоугольник часто можно увидеть в искусстве, так как было сказано, что он самый приятный для глаз из всех подобных прямоугольников. Калькулятор золотого прямоугольника — это удобный способ найти золотой прямоугольник вместо того, чтобы работать с ним вручную.
Золотое сечение встречается во многих формах архитектуры и в некоторых природных закономерностях, например в расположении листьев у некоторых растений. Золотая пропорция также наблюдается в правильных пятиугольниках.
Отношение между наибольшим и наименьшим характерным размером элемента называется соотношением сторон.
Большие пропорции увеличивают неточность конечно-элементного представления и отрицательно сказываются на конвергенции конечно-элементных решений.
Соотношение сторон, равное 1, является идеальным, но не всегда поддерживается. Как правило, соотношение сторон поддерживается в диапазоне от 1 до 5 в критических областях области, где существенны производные переменной поля.
Помимо точности решения, плохие формы элементов часто вызывают проблемы со сходимостью в нелинейном анализе.
Соотношение сторон — это один из других параметров качества сетки, таких как асимметрия, деформация, параллельное отклонение, максимальный угол угла, якобиан и ортогональное качество.
Поддержание качества элементов всегда является сложной задачей для аналитиков во время исследований сходимости сетки. Хотя размер элемента сведен к минимуму, он бесполезен, если он нарушает требования к качеству.
Поэтому важно знать, как рассчитать эти параметры для различных форм элементов.
В этой презентации рассказывается, как рассчитать соотношение сторон для 2D-элементов.
Пример сетки с соотношением сторон (A.R):
Квадратные элементы с соотношением сторон: 1
Квадратные элементы с соотношением сторон: 2
Идеальные формы для треугольных и четырехугольных элементов
Следующие процедуры иллюстрируют, как программное обеспечение Ansys* вычисляет пропорции для треугольных и четырехугольных элементов.
1. Расчет соотношения сторон для треугольных элементов:
Нахождение соотношения длин прямоугольника-1, образованного с помощью L1 в качестве оси:
От треугольника "ABC" соедините середину и противоположный угол каждой стороны (L1). Соедините две средние точки других смежных сторон (L2).
Зафиксировав L1 как ось, нарисуйте линии, параллельные L1, в средних точках соседних сторон в точках E и F.
Проведите перпендикулярные линии к L1 в точках A и D.
Найдите соотношение длин между макс. Сторона Мини. сторона прямоугольника-1, образованного с помощью L1 (процедура показана на следующем рисунке).
Треугольный элемент с L1 и L2
Прямоугольник-1, сформированный с помощью L1
Нахождение соотношения длин прямоугольника-2, образованного с помощью L2 в качестве оси:
Аналогично, зафиксировав L2 в качестве оси, нарисуйте параллельные линии к L2 в противоположном углу и средней точке противоположной стороны, т. е. в точках A и D.
Нарисуйте перпендикулярные линии к L2 в точках E и F.
Найдите соотношение длин между макс. сторона Мини. Сторона прямоугольника-2, сформированная с помощью L2 (процедура показана на следующем рисунке).
Прямоугольник-2, сформированный с помощью L2
Повторите эти шаги для трех углов и постройте все «6» прямоугольников (образованных из L3 и L4, L5 и L6) и найдите соотношение длин.
Найдите максимальное соотношение длин шести сформированных прямоугольников.
Вычисление соотношения сторон для равностороннего треугольника:
Каждая сторона треугольного элемента: 50 мм (AB=BC=CA)
Угол каждого угла: 60 градусов (∠A=∠B=∠C=60 градусов)
Равносторонний треугольник
Построить прямоугольник с Ref. L1
Построить прямоугольник с Ref. L2
Аналогичным образом при построении прямоугольников для всех остальных углов значения максимальной и минимальной длины сторон будут такими же, как измерено выше.
2. Расчет соотношения сторон для четырехугольных элементов:
Нахождение соотношения длин прямоугольника-1, сформированного с помощью L1 в качестве оси:
Из четырехугольника "ABCD" соедините середины противоположных сторон. Эти две линии образуют линии осей L1 и L2.
Зафиксировав L1 как ось, нарисуйте линии, параллельные L1, в средних точках других противоположных сторон в точках E и G.
Нарисуйте перпендикулярные линии к L1 в точках F и H.
Найдите соотношение между макс. Сторона Мини. сторона прямоугольника-1, образованного с помощью L1 (процедура показана на следующем рисунке).
Четырехугольный элемент
Прямоугольник-1, сформированный с помощью L1
Нахождение соотношения длин прямоугольника-2, сформированного с помощью L2 в качестве оси:
Аналогично, зафиксировав L2 как ось, нарисуйте параллельные линии L2 в средних точках других противоположных сторон в точках F и H.
Проведите перпендикулярные линии к L2 в точках E и G.
Найдите соотношение между макс. сторона Мини. Сторона прямоугольника-2, сформированная с помощью L2 (процедура показана на следующем рисунке).
Прямоугольник-2, сформированный с помощью L2
Итак, соотношение сторон — это максимальное из двух соотношений длины, образованных L1 и L2.
Каждая сторона квадратного элемента: 50 мм (AB=BC=CA)
Угол каждого угла: 90 градусов (∠A=∠B=∠C=∠D=90 градусов)
Квадратный элемент с осями L1 и L2
Поскольку все стороны равны (AB=BC=CD=DA), а L1 перпендикулярна L2, прямоугольники, построенные путем фиксирования L1 и L2 в качестве осей, такие же, как «ABCD». Таким образом, соотношение сторон является максимальным из двух соотношений длины, образованных L1 и L2.
Расчет соотношения сторон для ромба:
Ромб – это четырехугольник, все стороны которого имеют одинаковую длину (AB=BC=CD=DA).
Предположим, что элемент имеет форму ромба со стороной 10 мм каждый.
Элемент в форме ромба с осями L1 и L2
Следуя процедуре, повторенной для четырехугольного элемента, постройте прямоугольники вокруг EF и GH, как показано ниже.
Найдите соотношение макс. до Мин. Длины сторон образованных прямоугольников.
Прямоугольник-1, сформированный с помощью GH
Прямоугольник-2, сформированный с помощью GH
При изменении угла Θ от 10 градусов до 90 градусов изучается изменение соотношения сторон, которое представлено в таблице ниже.
Первый курс метода конечных элементов, 4-е издание, Логан, Д. Л. Бостон (страница №: 351)
Процедуры конечных элементов, Клаус-Юрген Бате, (Страница №: 381)
Основы анализа методом конечных элементов, Хаттон Д.В., (Страница №: 194)
Моделирование методом конечных элементов для анализа напряжений — Роберт Д. Кук (номер страницы: 110)
Как правило, существует четыре критерия для оценки качества сплошной сетки: соотношение сторон, асимметрия, ортогональность и гладкость. Соотношение сторон является наиболее важным критерием для оценки качеств каждого отдельного элемента. С другой стороны, асимметрия, ортогональность и гладкость показывают прогноз качества для двух соседних элементов, имеющих одну и ту же внутреннюю поверхность. Ниже поясняется определение каждого качества.
Соотношение сторон треугольника (элемент)
Соотношение сторон треугольника определяется как 2Ri/Ro, где Ri — радиус окружности, вписанной в треугольник, а Ro — радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Соотношение сторон треугольника находится в диапазоне от 0 до 1. Чем больше соотношение сторон, тем выше качество треугольника. Для треугольника с нулевой площадью соотношение сторон равно 0. Для равностороннего треугольника соотношение сторон равно 1.
Определение соотношения сторон треугольника
Соотношение сторон тетраэдра
Соотношение сторон тетраэдра определяется как 3R i /R o , где R i — радиус сферы, вписанной в тетраэдр, а R o — радиус сферы, описанной вокруг тетраэдра. Соотношение сторон тетраэдра также находится между 0 и 1, и большее соотношение сторон подразумевает лучшее качество тетраэдра. Для тетраэдра с нулевым объемом соотношение сторон равно 0. Для равностороннего тетраэдра соотношение сторон равно 1. Как показано на рисунке ниже, слева показан вид спереди элемента равностороннего тетраэдра, соотношение сторон которого хорошее. Элемент справа представляет собой тетраэдр за счет уменьшения высоты равностороннего элемента , соотношение сторон которого плохое.
Хорошее соотношение сторон плохое соотношение сторон для элемента тетраэдра
Соотношение сторон призмы
Соотношение сторон призмы определяется как (верхнее + нижнее )/2, где верхнее — это соотношение сторон верхнего треугольника призмы, а нижнее — соотношение сторон нижнего треугольника призмы. При расчете на основе определения отношения сторон треугольника соотношение сторон призмы также находится в диапазоне от 0 до 1. Большое соотношение сторон подразумевает лучшее качество призмы. Высота призмы не учитывается при определении соотношения сторон. Как показано ниже, соотношение сторон левого призматического элемента, если смотреть сверху, равно 1, что хорошо. Элемент справа представляет собой треугольник за счет уменьшения высоты равностороннего треугольника, у которого плохое соотношение сторон.
Хорошее соотношение сторон плохое соотношение сторон призменного элемента
Соотношение сторон шестнадцатеричного
Элемент Hexa можно рассматривать как два элемента Prism, если разделить его диагональной поверхностью, и есть 3 направления для разделения элемента Hexa, каждое из которых имеет 2 возможных диагональных поверхности. Следовательно, есть 6 возможных способов разделить элемент Hexa на 12 различных элементов Prism, каждый из которых имеет соотношение сторон. Соотношение сторон элемента Hexa определяется как минимальное значение соотношения сторон призмы 12: A Hexa = min(A Prism1 , A Prism2 ,…, A Prism12 ) .
Асимметрия
Асимметрия определяется как где e — центр внутренней грани, e’ — соединяющий центр, а A — площадь грани e. Внутренние грани могут быть треугольниками или четырехугольниками. P и E — центры ячеек, примыкающих к грани e. Ячейки могут быть четырехгранными, пирамидальными, призматическими или шестигранными твердыми элементами. Качество асимметрии указывает на расстояние между соединительным центром и центром грани. И его значение нормировано квадратным корнем внутренней площади лица. Если эти два центра, e и e’, совпадают, асимметрия равна 1. На асимметрию влияет площадь внутренней грани. Меньшая асимметрия подразумевает большее расстояние между двумя центрами. По определению асимметрия может быть отрицательной. Как показано на рис. 6-108, асимметрия хороша для левой грани и плоха для правой.
Определение асимметрии
Хорошая асимметрия плохая асимметрия
Ортогональность
Ортогональность определяется как угол в градусах между вектором соединения центров ячеек и нормальным вектором внутренней грани. Ортогональность находится в диапазоне от 0 до 180. Значение 0 указывает на лучшую ситуацию, а большее значение указывает на плохую ортогональность.
Определение ортогональности
Два примера, показанные на рисунке ниже, описывают хорошую и плохую ортогональность.
Хорошая ортогональность плохая ортогональность
Хорошая ортогональность плохая ортогональность
Гладкость
Гладкость определяется как отношение объема двух ячеек, прилегающих к одной и той же внутренней грани, и это всегда отношение малого объема к большому. Гладкость находится в диапазоне от 0 до 1, а большая гладкость означает более плавный объем соседних элементов.
Еще одна категория проблем с пропорциями — это "похожие фигуры".
"Похожие" – это геометрический термин, относящийся к одинаковым геометрическим фигурам, за исключением того, что одна из них больше другой. Подумайте о том, что происходит, когда вы используете режим «увеличение» или «уменьшение» на копировальном аппарате или когда вы получаете изображение, которое вам действительно нравится, увеличенное в восемь раз на десять, и у вас будет правильное представление; или, если вы использовали графическую программу, подумайте о "соотношении сторон".
Контент продолжается ниже
В контексте соотношений и пропорций точка сходства заключается в том, что соответствующие стороны подобных фигур пропорциональны; то есть длины пропорциональны.
Например, посмотрите на похожие треугольники ABC и abc ниже:
«Соответствующие стороны» — это пары сторон, которые «совпадают», за исключением аспекта увеличения или уменьшения их относительных размеров. Таким образом, A соответствует a , B соответствует b , а C соответствует с .
Так как эти треугольники подобны, то пары соответствующих сторон пропорциональны. То есть A : a = B : b = C : с . Эта пропорциональность соответствующих сторон может быть использована для нахождения длины стороны фигуры, учитывая аналогичную фигуру, для которой известны размеры.
В показанных треугольниках длины сторон даны как A = 48 мм, B = 81 мм, C = 68. мм, а a = 21 мм. Найдите длины сторон b и c , округленные до ближайшего целого числа.
Я настрою свои пропорции, используя отношения в форме (длина большого треугольника) / (длина маленького треугольника), а затем решу пропорции. Поскольку у меня есть только длина стороны a для маленького треугольника, мое эталонное соотношение будет A : a .
Сначала я найду длину b . Вот моя установка:
Заполняя мои известные значения, я получаю:
(Мне нужно будет не забыть указать округленное до целого число для (а именно, " 35 ") в моем ответе.)
Теперь, когда я нашел одну длину, я тем же методом найду длину оставшейся стороны, c .
Для моего ответа я мог бы просто записать два числа, которые я нашел, но эти числа не будут иметь большого смысла без их единиц измерения. Кроме того, при повторной проверке исходного упражнения мне напомнили, что я должен округлить свои значения до ближайшего целого числа, поэтому «29,75», с единицами измерения или без них, будет неправильным. Правильный ответ:
Хотя я мог бы использовать длину, найденную для b, для нахождения длины c в приведенном выше упражнении, вместо этого я вернулся к значению а . Почему? Потому что это было заведомо хорошее «точное» значение. Хотя десятичное значение в этом случае было точным значением (то есть значение для b не было округлено), обычно лучше иметь привычку возвращаться к заведомо правильным значениям, когда это возможно. Таким образом, когда десятичное значение округлено, вы игнорируете округленное производное значение и возвращаетесь к точному исходному значению. Эта практика поможет вам избежать ошибки округления.
Изображение размером 3,5 дюйма (то есть 3,5 дюйма) в высоту и 5 дюймов в ширину необходимо увеличить так, чтобы ширина теперь составляла 9 дюймов. Какой высоты будет изображение?
Фотолаборатория при увеличении исходного изображения будет сохранять пропорции оригинала; то есть прямоугольники, представляющие внешние края исходного и увеличенного изображения, будут похожими фигурами. Используя этот факт, я могу установить пропорцию и решить, используя " h " для обозначения значения высоты, которое я ищу:
Высота изображения будет:
В первом упражнении выше отношения были между соответствующими сторонами, и пропорциональность была сформирована из этих пар сторон. Соотношения в пропорциях содержали дроби, образованные от деления первоначального большого значения на новое малое значение. Во втором упражнении выше отношения были между двумя разными измерениями, а пропорциональность была сформирована из наборов измерений. Соотношения в пропорции содержат дроби, образованные из старой высоты и старой ширины, а также из новой высоты и новой ширины.
Для многих упражнений вы сможете установить соотношения и пропорции несколькими способами. Это совершенно нормально. Просто убедитесь, что вы хорошо маркируете вещи, четко определяете свои переменные и настраиваете их разумным и последовательным образом.Это должно помочь вам найти правильные решения. Если вы когда-нибудь сомневались в своем решении, не забудьте снова подключить его к исходному упражнению и убедиться, что оно работает.
Контент продолжается ниже
Есть еще одна тема, своего рода ответвление вопросов с похожими цифрами, с которыми вы можете столкнуться. Дело в том, что если две фигуры (или трехмерные фигуры) подобны, то пропорциональны не только их длины, но и их квадраты (будучи их площадями) и их кубы (будучи их объемами).
Две прямоугольные призмы подобны, одна пара соответствующих длин равна 15 см и 27 см соответственно. а) Если объем меньшей призмы равен 2000 см 3 , то чему равен объем большей призмы? (b) Если площадь одной грани большей призмы равна 243 см 2 , какова площадь соответствующей стороны меньшей призмы?
«Прямоугольная призма» — это просто причудливая геометрическая формулировка для «кирпича», поэтому я знаю, что работаю с трехмерными формами. Мне известно, что формы похожи, и мне предоставлены две сравнительные длины. Это дает мне мое основное соотношение:
Это линейное отношение для двух призм, и я буду использовать его, чтобы найти ответы для объема и площади поверхности.
(a) Чтобы найти объем большей призмы, мне нужно возвести в куб линейное отношение, которое они мне дали (то есть мне нужно возвести в куб уменьшенную дробь, которую я получил, когда поместил две длины в отношение выше). Поместив значения для меньшей призмы в верхнюю часть коэффициентов, я получаю:
Это соотношение, которое я буду использовать для настройки пропорции объема:
Проверив свои единицы, я получаю ответ:
(b) Чтобы найти площадь поверхности одной стороны меньшей призмы, мне нужно возвести в квадрат линейное отношение, которое они мне дали (то есть мне нужно возвести в квадрат уменьшенную дробь, полученную путем помещения двух длин в отношение ). Поместив значения для меньшей призмы в верхнюю часть коэффициентов, я получаю:
Рисунок 12.6: Расчет соотношения сторон четырехугольника
Соотношение сторон четырехугольника вычисляется с помощью следующих шагов с использованием только угловых узлов элемента (Рисунок 12.6: Расчет соотношения сторон четырехугольника):
Если элемент не плоский, узлы проецируются на плоскость, проходящую через среднее значение углов и перпендикулярное среднему значению угловых нормалей. Остальные шаги выполняются в этих спроецированных местоположениях.
Строятся две линии, которые делят противоположные пары краев элементов пополам и встречаются в центре элемента. Как правило, эти линии не перпендикулярны друг другу или краям элемента.
Прямоугольники создаются с центром вокруг каждой из двух линий, края которых проходят через середины краев элемента. Соотношение сторон четырехугольника — это отношение более длинной стороны к более короткой стороне того прямоугольника, который больше всего растянут.
Наилучшее возможное соотношение сторон четырехугольника для квадрата равно единице. Четырехугольник с соотношением сторон 20 показан на рис. 12.7: Соотношения сторон для четырехугольников.
Рисунок 12.7: Соотношения сторон четырехугольников
Таблица 12.1: Ограничения соотношения сторон
Нарушение результатов анализа не доказано
Невозможно избежать предупреждений даже при ограничении в 20.
Порог проблем с округлением зависит от того, какой компьютер используется.
Действительные анализы не должны блокироваться.
12.1.6. Параллельное отклонение
Параллельное отклонение вычисляется и проверяется для всех четырехугольников или трехмерных твердотельных элементов, имеющих четырехугольные грани или поперечные сечения, за исключением элементов Emag (см. Таблицу 12.2: Пределы параллельного отклонения). Формальные испытания продемонстрировали ухудшение сходимости напряжений в четырехугольниках с линейным перемещением, поскольку противоположные края становятся менее параллельными друг другу.
12.1.7. Расчет параллельного отклонения
Параллельное отклонение вычисляется с помощью следующих шагов:
Игнорируя срединные узлы, единичные векторы строятся в трехмерном пространстве вдоль края каждого элемента с поправкой на постоянное направление, как показано на рис. 12.8. Единичные векторы параллельного отклонения.
Рисунок 12.8: Единичные векторы параллельного отклонения
Для каждой пары противоположных ребер вычисляется скалярное произведение единичных векторов, а затем угол (в градусах), косинус которого является скалярным произведением. Параллельное отклонение больше из этих двух углов. (На приведенном выше рисунке скалярное произведение двух горизонтальных единичных векторов равно 1, а acos (1) = 0°. Скалярное произведение двух вертикальных векторов равно 0,342, а acos (0,342) = 70°. Следовательно, это отклонение параллельности элемента составляет 70°.)
Наилучшее возможное отклонение для плоского прямоугольника – 0°. Рисунок 12.9: Параллельные отклонения для четырехугольников показаны четырехугольники, имеющие отклонения 0°, 70°, 100°, 150° и 170°.
Рисунок 12.9: Параллельные отклонения для четырехугольников
Таблица 12.2: Пределы параллельного отклонения
12.1.8.Максимальный угол угла
Максимальный угол угла вычисляется и проверяется для всех элементов, кроме Emag (см. Таблицу 12.3: Ограничения максимального угла угла). Некоторые участники сообщества конечных элементов сообщают, что большие углы (приближающиеся к 180 °) ухудшают характеристики элемента, а малые — нет.
12.1.9. Расчет максимального углового угла
Максимальный угол между соседними ребрами вычисляется с использованием угловых узлов в трехмерном пространстве. (Средние узлы, если они есть, игнорируются.) Наилучший возможный максимальный угол треугольника для равностороннего треугольника равен 60°. Рисунок 12.10: Максимальные углы при углах для треугольников показывает треугольник с максимальным углом при углах 165°. Наилучший возможный максимальный угол четырехугольника для плоского прямоугольника равен 90°. Рисунок 12.11: Максимальные углы углов для четырехугольников показаны четырехугольники с максимальными углами углов 90°, 140° и 180°.
Рисунок 12.10: Максимальные угловые углы для треугольников
Рисунок 12.11: Максимальные углы четырехугольников
Таблица 12.3: Максимальные пределы углов
Нарушение результатов анализа не доказано.
Невозможно избежать предупреждений даже при ограничении в 165°.
Нарушение результатов анализа не доказано.
Невозможно избежать предупреждений даже при ограничении в 155°.
Нарушение результатов анализа не доказано.
Невозможно избежать предупреждений даже при ограничении в 165°.
12.1.10. Коэффициент Якоби
Коэффициент Якоби вычисляется и проверяется для всех элементов, кроме треугольников и тетраэдров, которые (а) являются линейными (не имеют узлов срединной стороны) или (б) имеют точно центрированные узлы срединной стороны (см. Таблицу 12.4: Пределы отношения Якоби). Высокое соотношение указывает на то, что сопоставление между пространством элементов и реальным пространством становится ненадежным с точки зрения вычислений.
12.1.10.1. Расчет коэффициента Якоби
Отношение Якоби элемента вычисляется с помощью следующих шагов с использованием полного набора узлов для элемента:
В каждом месте выборки, указанном в таблице ниже, вычисляется определитель матрицы Якоби, который называется RJ. RJ в данной точке представляет собой величину функции отображения между естественными координатами элемента и реальным пространством. В элементе идеальной формы RJ относительно постоянно по всему элементу и не меняет знак.
Отношение Якоби элемента — это отношение максимального к минимальному выборочному значению RJ. Если максимум и минимум имеют противоположные знаки, то коэффициент Якоби произвольно принимается равным -100 (и элемент явно неприемлем).
Если элемент представляет собой тетраэдр со средними узлами, вычисляется дополнительное значение RJ для воображаемого тетраэдра с прямыми сторонами, соединенного с 4 угловыми узлами. Если это RJ отличается по знаку от любого узлового RJ (крайне редкое явление), коэффициент Якоби произвольно назначается равным -100.
Места отбора проб для тетраэдров среднего узла зависят от настройки ключа тетраэдров линейного напряжения в команде SHPP. Поведение по умолчанию ( SHPP ,LSTET,OFF) — выборка в угловых узлах, а дополнительное поведение (SHPP,LSTET.ON) — выборка в точках интеграции (аналогично тому, что было сделано для продукта DesignSpace). Выборка в точках интегрирования приведет к более низкому коэффициенту Якобиана, чем выборка в узлах, но это отношение сравнивается с более строгими ограничениями по умолчанию (см. Таблицу 12.4: Пределы отношения Якоби ниже). Тем не менее, некоторые элементы, которые проходят тест LSTET,ON, не проходят тест LSTET,OFF, особенно те, у которых RJ равен нулю в угловом узле. Испытания показали, что такие элементы не оказывают отрицательного влияния на точность линейного упругого напряжения. Их влияние на другие типы растворов не изучалось, поэтому для общего использования рекомендуется более консервативный тест. Кирпичные элементы (такие как SOLID186), вырожденные в тетраэдры, тестируются таким же образом, как и «нативные» тетраэдры (SOLID187). В большинстве случаев это дает консервативные результаты. Однако для SOLID185 и SOLID186 при использовании нерекомендуемой формы тетраэдра возможно, что такой вырожденный элемент может вызвать ошибку во время решения, даже если он не выдал никаких предупреждений во время проверки формы.
Если элемент представляет собой линейный элемент со средним узлом, матрица Якоби не является квадратной (поскольку отображение происходит из одной естественной координаты в двухмерное или трехмерное пространство) и не имеет определителя. В этом случае векторный расчет используется для вычисления числа, которое ведет себя как отношение Якоби. Этот расчет приводит к ограничению дуги, охватываемой одним элементом, примерно до 106°
Треугольник или тетраэдр имеет коэффициент Якоби, равный 1, если каждый средний узел, если таковой имеется, расположен в среднем положении соответствующих угловых узлов. Это верно независимо от того, насколько иначе может быть искажен элемент. Следовательно, этот расчет полностью пропускается для таких элементов.Перемещение среднего узла от положения средней точки ребра увеличит коэффициент Якоби. В конце концов, даже очень незначительное дальнейшее движение разрушит элемент (Рисунок 12.12: Соотношения Якоби для треугольников). Мы описываем это как «сломанный» элемент, потому что он внезапно меняется с приемлемого на неприемлемый — «сломанный».
Рисунок 12.12: Отношения Якоби для треугольников
Любой прямоугольник или прямоугольный параллелепипед, не имеющий узлов срединной стороны или имеющий узлы срединной стороны в середине краев, имеет отношение Якоби, равное 1. Перемещение узлов средней стороны друг к другу или от них может увеличить отношение Якоби. В конце концов, даже очень незначительное дальнейшее движение разрушит элемент (Рисунок 12.13: Отношения Якоби для четырехугольников).
Рисунок 12.13: Отношения Якоби для четырехугольников
Четырехугольник или кирпич имеет коэффициент Якоби, равный 1, если (а) все его противоположные грани параллельны друг другу и (б) каждый средний узел, если он есть, расположен в среднем положении соответствующих угловых узлов. По мере того, как угловой узел приближается к центру, отношение Якоби возрастает. В конце концов, любое дальнейшее движение разрушит элемент (рис. 12.14: Отношения Якоби для четырехугольников).
Рисунок 12.14: Отношения Якоби для четырехугольников
Таблица 12.4: Пределы отношения Якоби
12.1.11. Коэффициент деформации
Коэффициент искривления вычисляется и проверяется для некоторых четырехугольных элементов оболочки и четырехугольных граней кирпичей, клиньев и пирамид. (См. «Коэффициент искривления».) Высокий коэффициент может указывать на состояние, с которым формулировка базового элемента не может справиться должным образом, или может просто намекать на ошибку создания сетки.
Доступны следующие темы коэффициента деформации:
12.1.11.1. Расчет коэффициента деформации для четырехугольных элементов оболочки
Коэффициент деформации четырехугольного элемента вычисляется на основе положений его угловых узлов и других доступных данных с помощью следующих шагов:
Средняя нормаль элемента вычисляется как векторное (перекрестное) произведение двух диагоналей (рис. 12.15: Вычисление средней нормали оболочки).
Рисунок 12.15: Расчет среднего нормального значения оболочки
Площадь проекции элемента вычисляется на плоскости через среднюю нормаль (пунктирный контур на рис. 12.16: Элемент оболочки, спроецированный на плоскость).
Разница в высоте концов края элемента вычисляется параллельно средней нормали. На рисунке 12.16: Элемент оболочки, спроецированный на плоскость, это расстояние равно 2h. Из-за того, как построена средняя нормаль, h одинаково во всех четырех углах. Для плоского четырехугольника расстояние равно нулю.
Рисунок 12.16: Элемент оболочки, спроецированный на плоскость
Коэффициент деформации области ( ) для элемента вычисляется как разница высот краев, деленная на квадратный корень из проецируемой области.
Для всех оболочек, за исключением тех, что относятся к группе «только жесткость мембраны», если доступна толщина, «коэффициент деформации толщины» рассчитывается как разница высот краев, деленная на среднюю толщину элемента. Это может быть значительно выше, чем коэффициент деформации области, рассчитанный в 4 (выше).
Коэффициент деформации, проверенный на соответствие ограничениям предупреждений и ошибок (и указанный в предупреждениях и сообщениях об ошибках), является большим из коэффициента площади и, если доступно, коэффициента толщины.
Наилучший возможный коэффициент деформации четырехугольника для плоского четырехугольника равен нулю.
Рисунок 12.17: Четырехугольная оболочка с коэффициентом деформации показывает «деформированный» элемент, нанесенный поверх плоского. Перемещается только правый узел верхнего элемента. Элемент представляет собой единичный квадрат с реальной постоянной толщиной 0,1.
Когда верхний элемент искривлен с коэффициентом 0,01, его невозможно визуально отличить от нижележащего плоского элемента.
Когда верхний элемент деформируется с коэффициентом 0,04, он просто начинает заметно отделяться от плоского элемента.
Рисунок 12.17: Четырехугольная оболочка с коэффициентом деформации
Деформация 0,1 видна при плоской ссылке, но кажется тривиальной; однако это намного превышает предел погрешности для мембранной оболочки. Деформация 1.0 визуально непривлекательна. Это предел ошибок для большинства оболочек.
Деформация выше 1,0 представляется явно неприемлемой; однако SHELL181 допускает даже такие искажения. Кроме того, расчет коэффициента деформации, по-видимому, достигает пика около 7,0. Перемещение узла дальше от исходной плоскости, даже на гораздо большие расстояния, чем показано здесь, не приводит к дальнейшему увеличению коэффициента деформации для этой геометрии. Пользователей предупреждают, что ручное увеличение предела погрешности выше установленного по умолчанию значения 5,0 для этих элементов может означать отсутствие реального предела искажения элемента.
12.1.11.2. Расчет коэффициента деформации для трехмерных объемных элементов
Коэффициент деформации для грани трехмерного твердотельного элемента вычисляется, как если бы 4 узла составляли четырехугольный элемент оболочки без реальной постоянной толщины, с использованием квадратного корня из площади проекции грани, как описано в 4 ( выше).
Коэффициент деформации элемента – это наибольший из коэффициентов деформации, рассчитанных для 6 четырехугольных граней кирпича, 3 четырехугольных граней клина или 1 четырехугольной грани пирамиды.
Любой кирпичный элемент, все грани которого плоские, имеет нулевой коэффициент деформации (Рисунок 12.18: Коэффициент деформации для кирпичей).
Рисунок 12.18: Коэффициент деформации кирпичей
Поворот верхней грани единичного куба на 22,5 ° и 45 ° по отношению к основанию дает коэффициент деформации примерно 0,2 и 0,4 соответственно.
Таблица 12.5: Ограничения коэффициента деформации
Нарушение результатов анализа не доказано
Формула элемента основана на теории плоских оболочек с жесткими смещениями балок для совместимости моментов.
Неофициальное тестирование показало, что ошибка результата становится существенной при коэффициенте деформации > 0,1.
Читайте также: