Как найти отношение сторон подобных треугольников

Обновлено: 21.11.2024

Два треугольника называются подобными, если один можно получить из другого равномерным масштабированием. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения любой пары соответствующих сторон подобных треугольников. Если два треугольника подобны, это означает, что: Все соответствующие пары углов равны и все соответствующие стороны пропорциональны. Однако, чтобы быть уверенным, что два треугольника подобны, нам не обязательно иметь информацию обо всех сторонах и всех углах.

Для подобных треугольников пропорциональны не только их углы и стороны, но и отношение их периметра, высот, биссектрис угла, площадей и других аспектов. Давайте изучим и поймем взаимосвязь между площадями подобных треугольников в следующих разделах.

Теорема о площади подобных треугольников

Теорема о площади подобных треугольников помогает установить взаимосвязь между площадями двух подобных треугольников. В нем говорится, что «отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения любой пары их соответствующих сторон». Рассмотрим следующий рисунок, на котором показаны два подобных треугольника, ΔABC и ΔDEF.

Согласно теореме для площадей подобных треугольников, площадь ΔABC/площадь ΔDEF = (AB) 2 /(DE) 2 = (BC) 2 /(EF) 2 = (AC) 2 /(DF) 2 . Мы поймем доказательство этой теоремы в следующем разделе.

Доказательство теоремы о площади подобных треугольников

Утверждение: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения любой пары их соответствующих сторон.

Дано: рассмотрим два треугольника, ΔABC и ΔDEF, такие, что ΔABC ∼ ΔDEF

Чтобы доказать: площадь ΔABC/площадь ΔDEF = (AB) 2 /(DE) 2 = (BC) 2 /(EF) 2 = (AC) 2 /(DF) 2

Построение: проведите высоты AP и DQ к сторонам BC и EF соответственно, как показано ниже:

Доказательство: Поскольку ∠B = ∠E, [ ∵ ΔABC ~ ΔDEF ] и
∠APB = ∠DQE. [ ∵ AP и DQ перпендикулярны сторонам BC и EF соответственно ⇒ Оба угла равны 90º ]

По свойству подобия треугольников AA можно отметить, что ΔABP и ΔDEQ равноугольны.

Следовательно, ΔABP ~ ΔDEQ

Таким образом, AP/DQ = AB/DE

Это также означает, что

AP/DQ = BC/EF ----- (1). [ ∵ ΔABC∼ΔDEF ⇒ AB/DE = BC/EF]

Площадь(ΔABC)/площадь(ΔDEF) = [(1/2) × BC × AP]/[(1/2) × EF × DQ]
= (BC/EF) × (AP/ DQ)
= (BC/EF) × (BC/EF) . [из (1)]
⇒ Площадь(ΔABC)/Площадь(ΔDEF) = (BC/EF) 2

Аналогичным образом мы можем показать, что

Площадь ΔABC/площадь ΔDEF = (AB) 2 /(DE) 2 = (BC) 2 /(EF) 2 = (AC) 2 /(DF) 2

Спорный вопрос:

Дано, что ΔABC ~ ΔXYZ. Площадь ΔABC составляет 45 квадратных единиц, а площадь ΔXYZ — 80 квадратных единиц. YZ = 12 единиц. Найти БК? Подсказка: используйте теорему для площади подобных треугольников.

Важные примечания о площади подобных треугольников

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения любой пары их соответствующих сторон.
Для подобных треугольников ΔABC и ΔDEF площадь ΔABC/площадь ΔDEF = (AB) 2 /(DE) 2 = (BC) 2 /(EF) 2 = (AC) 2 /(DF) 2
Все соответствующие пары углов равны, и все соответствующие стороны пропорциональны для подобных треугольников.

Связанные темы о площади подобных треугольников

Примеры площади подобных треугольников

Пример 1. Рассмотрим два подобных треугольника, ΔABC и ΔDEF, как показано ниже:

AP и DQ — медианы двух треугольников. Покажи это

ArΔ(ABC)/AP 2 = ArΔ(DEF)/DQ 2 с использованием теоремы о площадях подобных треугольников.

Решение. Поскольку ΔABC ~ ΔDEF,

∠B = ∠E ----- (2) . [ ∵ ΔABC ~ ΔDEF]

Из (1) и (2) и по критерию подобия SAS мы можем отметить, что

Теперь по теореме для площадей подобных треугольников

ArΔ(ABC)/ArΔ(DEF) = AB 2 /DE 2 = AP 2 /DQ 2 . [из (3)]
⇒Ar∆(ABC)/AP 2 = Ar∆(DEF)/DQ 2

Дано, что XY || ВС и делит треугольник на две равные по площади части. Найдите отношение AX: XB, используя теорему о площади подобных треугольников.

Решение. Так как XY || до н.э., ∠X = ∠B и ∠Y = ∠C. [Соответствующие углы]
⇒ΔAXY должен быть похож на ΔABC. [По критерию сходства АА в треугольниках]

Два треугольника похожи, если разница только в размере (и, возможно, в необходимости повернуть или перевернуть один из них).

Все эти треугольники похожи:

(Равные углы отмечены одинаковым количеством дуг)

Некоторые из них имеют разные размеры, а некоторые перевернуты или перевернуты.

Для подобных треугольников:

Все соответствующие углы равны

Все соответствующие стороны имеют одинаковое соотношение

Также обратите внимание, что соответствующие стороны обращены под соответствующими углами. Например, стороны, обращенные к углам с двумя дугами, являются соответствующими.

Соответствующие стороны

В подобных треугольниках соответствующие стороны всегда находятся в одном и том же отношении.

Треугольники R и S подобны. Равные углы отмечены одинаковым количеством дуг.

Какова соответствующая длина?

Длины 7 и a соответствуют друг другу (они обращены к углу, отмеченному одной дугой)
Длины 8 и 6,4 соответствуют друг другу (они смотрят на угол, отмеченный двумя дугами)
Длины 6 и b соответствуют друг другу (они обращены к углу, отмеченному тремя дугами)

Вычисление длин соответствующих сторон

Иногда мы можем рассчитать длину, которую еще не знаем.

Шаг 1. Найдите отношение соответствующих сторон.
Шаг 2. Используйте это соотношение, чтобы найти неизвестные длины.

Пример. Найдите длины a и b треугольника S

Шаг 1. Найдите соотношение

Нам известны все стороны треугольника R и
нам известна сторона 6,4 треугольника S

6.4 обращена к углу, отмеченному двумя дугами, как и сторона длины 8 в треугольнике R.

Таким образом, мы можем сопоставить 6,4 с 8, и поэтому отношение сторон треугольника S к треугольнику R равно:

Теперь мы знаем, что все длины сторон треугольника S в 6,4/8 раз больше длин сторон треугольника R.

Шаг 2. Используйте соотношение

a обращена к углу с одной дугой, как и сторона длины 7 в треугольнике R.

b обращена к углу с тремя дугами, как и сторона длины 6 в треугольнике R.

В этой статье мы узнаем о подобных треугольниках, свойствах подобных треугольников, о том, как использовать постулаты и теоремы для определения подобных треугольников, и, наконец, о том, как решать задачи о подобных треугольниках.

Что такое подобные треугольники?

Понятие подобных треугольников и конгруэнтных треугольников — это два разных термина, которые тесно связаны между собой. Подобные треугольники – это два или более треугольника с одинаковой формой, равными парами соответствующих углов и одинаковым отношением соответствующих сторон.

Иллюстрация подобных треугольников:

Рассмотрите три треугольника ниже. Если:

Отношение их соответствующих сторон равно.

AB/PQ = AC/PR= BC= QR, AB/XY= AC/XZ= BC/YZ

Поэтому ΔABC ~ΔPQR~ΔXYZ

Сравнение подобных треугольников и конгруэнтных треугольников

Свойства	Конгруэнтные треугольники	Подобные треугольники
Форма и размер	одинаковый размер и форма	Та же форма, но другая размер
Символ	≅	~
Соответствующие длины сторон	Отношение соответствующих сторон конгруэнтных треугольников всегда равно постоянному числу 1.	td>	Отношение всех соответствующих сторон в подобных треугольниках постоянно.
Соответствующие углы	Все соответствующие углы равны.	Каждая пара соответствующих углов равна.

Как определить похожие треугольники?

Сходство треугольников можно доказать, применяя теоремы о подобных треугольниках. Это постулаты или правила, используемые для проверки подобных треугольников.

Существует три правила проверки подобных треугольников: правило AA, правило SAS или правило SSS.

Правило угла-угла (AA):
Согласно правилу AA два треугольника называются подобными, если два угла в одном конкретном треугольнике равны двум углам другого треугольника.

Правило стороны-угла-стороны (SAS):
Правило SAS гласит, что два треугольника подобны, если отношение их соответствующих двух сторон равно, а также угол, образованный двумя сторонами, равен.< /p>

Правило "сторона-сторона-сторона" (SSS):
два треугольника подобны, если все три соответствующие стороны данных треугольников находятся в одинаковой пропорции.

Как решать подобные треугольники?

Есть два типа подобных задач треугольника; это задачи, которые требуют от вас доказать, подобны ли данный набор треугольников, и те, которые требуют от вас вычисления недостающих углов и длин сторон подобных треугольников.

Давайте рассмотрим следующие примеры:

Пример 1

Проверьте, подобны ли следующие треугольники

Сумма внутренних углов треугольника = 180°

Поэтому, учитывая Δ PQR

Вычтите обе стороны на 130°.

Вычесть обе стороны на 110°

По правилу угла-угла (AA) ΔPQR~ΔXYZ.
∠Q = ∠ Y = 70° и ∠Z = ∠ R = 50°

Пример 2

Найдите значение x в следующих треугольниках, если ΔWXY~ΔPOR.

Учитывая, что эти два треугольника подобны, тогда;

Поделите обе стороны на 30.

Поэтому PR = 18

Проверим, равны ли пропорции соответствующих двух сторон треугольников.

Пример 3

Проверьте, подобны ли два показанных ниже треугольника, и вычислите значение k.

По правилу Side-Angle-Side (SAS) два треугольника подобны.

Доказательство:
8/4 = 20/10 (слева = справа)

Теперь вычислите значение k

Умножьте обе части на k.

Поделите обе стороны на 2

Пример 4

Определите значение x на следующей диаграмме.

Пусть треугольники ABD и ECD являются подобными треугольниками.

Примените правило Side-Angle-Side (SAS), где A = 90 градусов.

Поделите обе стороны на 12.

Поэтому значение x равно 5,4 мм.

Ответ: Подобные треугольники имеют одинаковую «форму», но имеют разный масштаб. Подобные треугольники имеют равные углы и пропорциональные стороны.

Что верно в отношении углов подобных треугольников?

Ответ: они конгруэнтны. как показано на рисунке ниже.

Что верно в отношении сторон подобных треугольников?

Ответ: Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны. В приведенном ниже примере показаны два треугольника с пропорциональными сторонами..

Что такое коэффициент сходства (коэффициент масштабирования)?

Ответ: это отношение между соответствующими сторонами. На рисунке выше стороны большего треугольника в два раза больше сторон меньшего треугольника, поэтому масштабный коэффициент равен 2

$$ 16 \cdot 2 = 32 \\ 22 \cdot 2 = 44 \\ 25 \cdot 2 = 50 $$

Обозначение: $$ \triangle ABC $$~$$\triangle XYZ $$ означает, что "$$ \triangle ABC \text < подобен >\triangle XYZ $$"

Как найти коэффициент сходства?

Ответ: Сопоставьте любую пару соответствующих сторон и установите соотношение. Вот и все!

Если $$ \треугольник ABC $$ ~ $$ \треугольник WXY $$ , то каков коэффициент подобия?

Выберите пару соответствующих сторон
(следуйте буквам)

AB и WX соответствуют друг другу.

Следите за буквами: $$ \triangle \colorC$$ ~ $$\triangle \colorY$$

Подставить длины сторон в пропорции

Упростить (при необходимости)

Почему следующая проблема неразрешима?

Если $$ \triangle $$ JKL ~ $$\triangle $$ XYZ, LJ = 22 , JK = 20 и YZ = 30, каков коэффициент подобия?

Ответ: у вас нет ни одной пары соответствующих сторон, поэтому вы не можете найти отношение сходства.

Помните: как найти соответствующие стороны

YZ $$ \треугольника X\color$$ соответствует стороне KL $$\треугольника J\color$$
JK $$ \triangle \colorL $$ соответствует стороне XY $$\triangle \colorZ $$
LJ треугольника $$ \colorK\color$$ соответствует стороне ZX треугольника $$\colorY \color$$

Ниже показано, как могут выглядеть эти два треугольника

Отработка задач

Проблема 1

Если $$ \triangle $$ ABC ~ $$\triangle $$ADE , AB = 20 и AD = 30, каков коэффициент подобия?

Выберите пару соответствующих сторон (следуйте буквам)

AB и AD соответствуют буквам в названиях треугольников
$$ \triangle \colorC $$ ~ $$ \triangle \colorE $$

Еще одна категория проблем с пропорциями — это "похожие фигуры".

"Похожие" – это геометрический термин, относящийся к одинаковым геометрическим фигурам, за исключением того, что одна из них больше другой. Подумайте о том, что происходит, когда вы используете режим «увеличение» или «уменьшение» на копировальном аппарате или когда вы получаете изображение, которое вам действительно нравится, увеличенное в восемь раз на десять, и у вас будет правильное представление; или, если вы использовали графическую программу, подумайте о "соотношении сторон".

Контент продолжается ниже

В контексте соотношений и пропорций точка сходства заключается в том, что соответствующие стороны подобных фигур пропорциональны; то есть длины пропорциональны.

Например, посмотрите на похожие треугольники ABC и abc ниже:

«Соответствующие стороны» — это пары сторон, которые «совпадают», за исключением аспекта увеличения или уменьшения их относительных размеров. Таким образом, A соответствует a , B соответствует b , а C соответствует с .

Так как эти треугольники подобны, то пары соответствующих сторон пропорциональны. То есть A : a = B : b = C : с . Эта пропорциональность соответствующих сторон может быть использована для нахождения длины стороны фигуры, учитывая аналогичную фигуру, для которой известны размеры.

В показанных треугольниках длины сторон даны как A = 48 мм, B = 81 мм, C = 68. мм, а a = 21 мм. Найдите длины сторон b и c , округленные до ближайшего целого числа.

Я настрою свои пропорции, используя отношения в форме (длина большого треугольника) / (длина маленького треугольника), а затем решу пропорции. Поскольку у меня есть только длина стороны a для маленького треугольника, мое эталонное соотношение будет A : a .

Сначала я найду длину b . Вот моя установка:

Заполняя мои известные значения, я получаю:

(Мне нужно будет не забыть указать округленное до целого число для (а именно, " 35 ") в моем ответе.)

Теперь, когда я нашел одну длину, я тем же методом найду длину оставшейся стороны, c .

Для моего ответа я мог бы просто записать два числа, которые я нашел, но эти числа не будут иметь большого смысла без их единиц измерения. Кроме того, при повторной проверке исходного упражнения мне напомнили, что я должен округлить свои значения до ближайшего целого числа, поэтому «29,75», с единицами измерения или без них, будет неправильным. Правильный ответ:

Хотя я мог бы использовать длину, найденную для b, для нахождения длины c в приведенном выше упражнении, вместо этого я вернулся к значению а . Почему? Потому что это было заведомо хорошее «точное» значение. Хотя десятичное значение в этом случае было точным значением (то есть значение для b не было округлено), обычно лучше иметь привычку возвращаться к заведомо правильным значениям, когда это возможно. Таким образом, когда десятичное значение округлено, вы игнорируете округленное производное значение и возвращаетесь к точному исходному значению. Эта практика поможет вам избежать ошибки округления.

Изображение размером 3,5 дюйма (то есть 3,5 дюйма) в высоту и 5 дюймов в ширину необходимо увеличить так, чтобы ширина теперь составляла 9 дюймов. Какой высоты будет изображение?

Фотолаборатория при увеличении исходного изображения будет сохранять пропорции оригинала; то есть прямоугольники, представляющие внешние края исходного и увеличенного изображения, будут похожими фигурами.Используя этот факт, я могу установить пропорцию и решить, используя " h " для обозначения значения высоты, которое я ищу:

Высота изображения будет:

В первом упражнении выше отношения были между соответствующими сторонами, и пропорциональность была сформирована из этих пар сторон. Соотношения в пропорциях содержали дроби, образованные от деления первоначального большого значения на новое малое значение. Во втором упражнении выше отношения были между двумя разными измерениями, а пропорциональность была сформирована из наборов измерений. Соотношения в пропорции содержат дроби, образованные из старой высоты и старой ширины, а также из новой высоты и новой ширины.

Для многих упражнений вы сможете установить соотношения и пропорции несколькими способами. Это совершенно нормально. Просто убедитесь, что вы хорошо маркируете вещи, четко определяете свои переменные и настраиваете их разумным и последовательным образом. Это должно помочь вам найти правильные решения. Если вы когда-нибудь сомневались в своем решении, не забудьте снова подключить его к исходному упражнению и убедиться, что оно работает.

Контент продолжается ниже

Есть еще одна тема, своего рода ответвление вопросов с похожими цифрами, с которыми вы можете столкнуться. Дело в том, что если две фигуры (или трехмерные фигуры) подобны, то пропорциональны не только их длины, но и их квадраты (будучи их площадями) и их кубы (будучи их объемами).

Две прямоугольные призмы подобны, одна пара соответствующих длин равна 15 см и 27 см соответственно. а) Если объем меньшей призмы равен 2000 см 3 , то чему равен объем большей призмы? (b) Если площадь одной грани большей призмы равна 243 см 2 , какова площадь соответствующей стороны меньшей призмы?

«Прямоугольная призма» — это просто причудливая геометрическая формулировка для «кирпича», поэтому я знаю, что работаю с трехмерными формами. Мне известно, что формы похожи, и мне предоставлены две сравнительные длины. Это дает мне мое основное соотношение:

Это линейное отношение для двух призм, и я буду использовать его, чтобы найти ответы для объема и площади поверхности.

(a) Чтобы найти объем большей призмы, мне нужно возвести в куб линейное отношение, которое они мне дали (то есть мне нужно возвести в куб уменьшенную дробь, которую я получил, когда поместил две длины в отношение выше). Поместив значения для меньшей призмы в верхнюю часть коэффициентов, я получаю:

Это соотношение, которое я буду использовать для настройки пропорции объема:

Проверив свои единицы, я получаю ответ:

(b) Чтобы найти площадь поверхности одной стороны меньшей призмы, мне нужно возвести в квадрат линейное отношение, которое они мне дали (то есть мне нужно возвести в квадрат уменьшенную дробь, полученную путем помещения двух длин в отношение ). Поместив значения для меньшей призмы в верхнюю часть коэффициентов, я получаю:

Читайте также: