Х б чем открыть

Обновлено: 04.07.2024

Похоже, что вы находитесь на устройстве с "узкой" шириной экрана (т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 4-7: Теорема о среднем значении

В этом разделе мы рассмотрим теорему о среднем значении. В большинстве традиционных учебников этот раздел идет перед разделами, содержащими первый и второй тесты производных, потому что многие доказательства в этих разделах нуждаются в теореме о среднем значении. Однако мы считаем, что с логической точки зрения лучше размещать разделы формы графика сразу после раздела абсолютных экстремумов. Итак, если вы следили за корректурой из двух предыдущих разделов, вы, вероятно, уже читали этот раздел.

Прежде чем мы перейдем к теореме о среднем значении, нам нужно рассмотреть следующую теорему.

Теорема Ролля

Предположим, что \(f\left( x \right)\) — это функция, удовлетворяющая всем следующим условиям.

Тогда существует число \(c\) такое, что \(a Пример 1. Покажите, что \(f\left( x \right) = 4 + + 7x - 2\) имеет ровно один действительный корень.

Из основных принципов алгебры мы знаем, что, поскольку \(f\left( x \right)\) является многочленом 5-й степени, он будет иметь пять корней. Здесь нас просят доказать, что только одно из этих 5 является действительным числом, а остальные 4 должны быть комплексными корнями.

Во-первых, мы должны показать, что у него есть хотя бы один действительный корень. Для этого обратите внимание, что \(f\left( 0 \right) = - 2\) и что \(f\left( 1 \right) = 10\), и поэтому мы можем видеть, что \(f\left( 0 \ right) Пример 2 Определите все числа \(c\), которые удовлетворяют выводам теоремы о среднем значении для следующей функции: \[f\left( x \right) = + 2 - x\hspace>\hspace\left[ < - 1,2>\справа]\]

На самом деле в этой проблеме нет ничего особенного, кроме того, что, поскольку \(f\left( x \right)\) является многочленом, он одновременно непрерывен и дифференцируем (т.е. производная существует) на заданном интервале.

Сначала найдем производную.

\[f'\влево( x \вправо) = 3 + 4x - 1\]

Теперь, чтобы найти числа, которые удовлетворяют выводам теоремы о среднем значении, все, что нам нужно сделать, это подставить это в формулу, заданную теоремой о среднем значении.

Теперь это просто квадратное уравнение,

Используя квадратичную формулу, мы получаем,

Итак, решение дает два значения \(c\).

Обратите внимание, что только один из них находится в интервале, указанном в задаче. Это означает, что мы исключим второй (поскольку он не находится в интервале). Число, которое мы ищем в этой задаче,

Будьте внимательны и не думайте, что сработает только один из номеров. Они оба могут работать.

Пример 3 Предположим, что мы знаем, что \(f\left( x \right)\) непрерывно и дифференцируемо на \(\left[ <6,15>\right]\). Предположим также, что мы знаем, что \(f\left( 6 \right) = - 2\) и что мы знаем, что \(f'\left( x \right) \le 10\). Каково максимально возможное значение для \(f\left( \right)\)?

Начнем с заключения теоремы о среднем значении.

\[f\left( \right) - f\left( 6 \right) = f'\left( c \right)\left( \right)\]

Подстановка известных величин и немного переписывание дает,

\[f\left( \right) = f\left( 6 \right) + f'\left( c \right)\left( \right) = - 2 + 9f'\left( c \right) \]

Теперь мы знаем, что \(f'\left( x \right) \le 10\), так что, в частности, мы знаем, что \(f'\left( c \right) \le 10\). Это дает нам следующее,

\[\beginf\left( \right) & = - 2 + 9f'\left( c \right)\\ & \le - 2 + \left( 9 \right)10\\ & = 88\end \]

Все, что мы сделали, это заменили \(f'\left( c \right)\) на максимально возможное значение.

Это означает, что максимально возможное значение для \(f\left( \right)\) равно 88.

Пример 4 Предположим, что мы знаем, что \(f\left( x \right)\) непрерывно и дифференцируемо всюду. Предположим также, что мы знаем, что \(f\left( x \right)\) имеет два корня. Покажите, что \(f'\left( x \right)\) должен иметь хотя бы один корень.

Здесь важно отметить, что все, что мы можем сказать, это то, что \(f'\left( x \right)\) будет иметь по крайней мере один корень. Нельзя сказать, что у него будет ровно один корень. Так что не путайте эту проблему с первой, над которой мы работали.

На самом деле это довольно просто доказать. Поскольку мы знаем, что \(f\left( x \right)\) имеет два корня, давайте предположим, что это \(a\) и \(b\). Теперь по условию мы знаем, что \(f\left( x \right)\) непрерывна и дифференцируема всюду, а значит, в частности, непрерывна на \(\left[ \right]\) и дифференцируема на \(\left( \справа)\).

Поэтому по теореме о среднем значении существует число \(c\), которое находится между \(a\) и \(b\) (это не нужно для этой задачи, но это правда, поэтому оно должно быть указал) и что,

Но теперь нам нужно вспомнить, что \(a\) и \(b\) являются корнями \(f\left( x \right)\), и это так,

Или \(f'\left( x \right)\) имеет корень в \(x = c\).

Опять же, важно отметить, что у нас нет значения \(c\). Мы только показали, что он существует. Мы также ничего не сказали о том, что \(c\) является единственным корнем. Вполне возможно, что \(f'\left( x \right)\) может иметь более одного корня.

Вполне возможно существенно обобщить предыдущий пример. Например, если мы знаем, что \(f\left( x \right)\) непрерывна и дифференцируема всюду и имеет три корня, мы можем показать, что не только \(f'\left( x \right)\) будет иметь в минимум два корня, но у \(f''\left( x \right)\) будет хотя бы один корень. Мы предоставим вам проверить это, но используемые идеи идентичны тем, что были в предыдущем примере.

Мы завершим этот раздел парой интересных фактов, которые можно доказать с помощью теоремы о среднем значении. Обратите внимание, что в обоих случаях мы предполагаем, что функции непрерывны и дифференцируемы на интервале \(\left[ \right]\).

Факт 1

Если \(f'\left( x \right) = 0\) для всех \(x\) в интервале \(\left( \right)\), то \(f\left( x \right) \) постоянна на \(\left( \right)\).

Этот факт очень легко доказать, поэтому давайте сделаем это здесь.

Во-первых, обратите внимание: поскольку мы предполагаем, что производная существует на \(\left( a,b \right)\), мы знаем, что \(f\left( x \right)\) дифференцируемо на \(\left ( яркий)\). Кроме того, мы знаем, что если функция дифференцируема на отрезке, то она также непрерывна на этом отрезке и, следовательно, \(f\left( x \right)\) также будет непрерывна на \(\left( a,b \ справа)\).

Теперь возьмем любые два символа \(x\) в интервале \(\left( \right)\), скажем, \(\) и \(\). Тогда, поскольку \(f\left( x \right)\) непрерывно и дифференцируемо на \(\left( \right)\), оно также должно быть непрерывным и дифференцируемо на \(\left[ <,> \right]\) . Это означает, что мы можем применить теорему о среднем значении для этих двух значений \(x\). Это дает,

\[f\left( > \right) - f\left( > \right) = f'\left( c \right)\left( - > \right)\]

Квадратичная функция — это функция, которую можно записать в виде f ( x ) = a x 2 + b x + c , где a , b и c – действительные числа, а a ≠ 0 . Эта форма называется стандартной формой квадратичной функции.

График квадратичной функции представляет собой U-образную кривую, называемую параболой.

График уравнения y = x 2 , показанный ниже, представляет собой параболу. (Обратите внимание, что это квадратичная функция в стандартной форме с a = 1 и b = c = 0.)

На графике самая высокая или самая низкая точка параболы является вершиной. Вершина графика y = x 2 равна ( 0 , 0 ) .

Если a > 0 в f ( x ) = a x 2 + b x + c , парабола открывается вверх. В этом случае вершина является минимумом или нижней точкой параболы. Большое положительное значение а образует узкую параболу; положительное значение a, близкое к 0, делает параболу широкой.

Если a 0 в f ( x ) = a x 2 + b x + c , парабола открывается вниз. В этом случае вершина является максимальной или высшей точкой параболы. Опять же, большое отрицательное значение a делает параболу узкой; значение, близкое к нулю, делает его широким.

Для уравнения в стандартной форме значение c дает точку пересечения y графика.

Линия, проходящая через вершину и делящая параболу на две симметричные части, называется осью симметрии.

Уравнение оси симметрии для графика y = a x 2 + b x + c , где a ≠ 0 , равно x = − b 2 a

На всех приведенных выше графиках осью симметрии является ось y, x = 0 . На приведенных ниже графиках ось симметрии другая (отмечена красным). Обратите внимание, что c по-прежнему дает точку пересечения с осью y.

Если вы запишете квадратичную функцию вида x = f ( y ) = ay 2 + by + c , где x – функция y (вместо ay – функция x), вы получите параболу, где ось симметрия горизонтальная.

Обратите внимание, что в данном случае c – это точка пересечения с x. Если a положительно, график открывается вправо; если a отрицательно, график открывается влево.

Пример:

Напишите уравнение оси симметрии и найдите координаты вершины параболы y = − 3 x 2 − 6 x + 4 .

Уравнение оси симметрии для графика y = a x 2 + b x + c .

Подставьте −3 вместо a и −5 вместо b в уравнении оси симметрии.

х = - - 6 2 ( - 3 ) = - 1

Итак, уравнение оси симметрии имеет вид x = − 1 .

Поскольку уравнение оси симметрии имеет вид x = − 1, а вершина лежит на оси, координата x вершины равна − 1 .

Чтобы найти координату y вершины, сначала подставьте −1 вместо x в данном уравнении.

у = - 3 ( - 1 ) 2 - 6 ( - 1 ) + 4

Поэтому координаты вершины параболы равны ( − 1 , 7 ) .

Условия использования Контактное лицо: Донна Робертс

Вы уже работали с операторами неравенства. Давайте освежим эти навыки.

Если вы можете решить линейное уравнение, вы можете решить и линейное неравенство . Процесс такой же, за одним исключением .

<р>. когда вы умножаете (или делите) неравенство на отрицательное значение,
вы должны изменить направление неравенства .

Давайте посмотрим, зачем на самом деле нужно это "исключение".

Мы знаем, что 3 меньше 7.
Теперь давайте умножим обе части на -1.
Изучите результаты (продукты).

На числовой прямой -3 находится справа от -7, поэтому -3 больше, чем -7.

-3 > -7
Мы должны изменить направление неравенства, когда мы умножаем на отрицательное значение, чтобы сохранить «истинное» утверждение.

При отображении линейного неравенства на числовой прямой используйте незакрашенный кружок для "меньше" или "больше" и закрытый кружок для "меньше или равно" или "больше или равно".

Нарисуйте набор решений: -3 открытых круга для -3 и 4 (поскольку x не может равняться -3 или 4) и полосу, показывающую перекрывающуюся часть .

Решите и нарисуйте набор решений: 4x открытый круг для 6 (поскольку x не может равняться 6) и стрелка влево (поскольку наш символ меньше).

Примечание. Направление неравенства изменилось на противоположное, так как мы разделили на отрицательное значение.

На графике используйте замкнутый круг для -5 (поскольку x может равняться -5) и стрелку влево (поскольку наш последний символ меньше или равен ).

Действуйте так же, как при решении линейного уравнения:
Вычтите 4 из обеих частей.
Поделите обе стороны на 3.

Примечание. Направление неравенства остается прежним, поскольку мы НЕ делили на отрицательное значение.

На графике используйте открытый кружок для 3 (поскольку x не может равняться 3) и стрелку вправо (поскольку наш символ больше).

На графике используйте замкнутый круг для 3 (поскольку x может равняться 3) и стрелку вправо (поскольку наш символ больше или равен).< /p>

ПРИМЕЧАНИЕ. Повторное размещение материалов (частично или полностью) с этого сайта в Интернете является нарушением авторских прав
и не считается «добросовестным использованием» для преподавателей. Пожалуйста, ознакомьтесь с «Условиями использования».

В записи интервалов используются скобки и квадратные скобки для описания наборов действительных чисел и их конечных точек.

Цели обучения

Использовать интервальную нотацию для представления наборов чисел.

Ключевые выводы

Ключевые моменты

Вещественный интервал — это набор действительных чисел, обладающий тем свойством, что любое число, лежащее между двумя числами, включенными в набор, также включается в набор.
Интервал чисел между [латекс]а[/латекс] и [латекс]b[/латекс], включая [латекс]а[/латекс] и [латекс]b[/латекс], обозначается [латекс] [а,б][/латекс]. Два числа [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] называются конечными точками интервала.
Чтобы указать, что конечная точка набора не включена в набор, квадратную скобку, заключающую конечную точку, можно заменить скобкой.
Открытый интервал не включает свои конечные точки и заключен в круглые скобки. Замкнутый интервал включает его конечные точки и заключен в квадратные скобки.
Интервал считается ограниченным, если обе конечные точки являются действительными числами. Интервал считается неограниченным, если обе конечные точки не являются действительными числами.
Замена конечной точки положительной или отрицательной бесконечностью, например, [latex](- \infty, b][/latex], указывает на то, что набор не ограничен в одном направлении или наполовину ограничен.

Ключевые термины

интервал: расстояние в пространстве.
ограниченный интервал: набор, обе конечные точки которого являются действительными числами.
открытый интервал: набор действительных чисел, не включающий его конечные точки.
конечная точка: любая из двух точек на концах сегмента прямой.
полуограниченный интервал: набор, для которого одна конечная точка является действительным числом, а другая — нет.
замкнутый интервал: набор действительных чисел, включающий обе его конечные точки.
неограниченный интервал: множество, для которого ни одна конечная точка не является действительным числом.

"Вещественный интервал" – это набор действительных чисел, в котором любое число, лежащее между двумя числами в наборе, также включается в этот набор. Например, множество всех чисел [latex]x[/latex], удовлетворяющих условию [latex]0 \leq x \leq 1[/latex], представляет собой интервал, содержащий 0 и 1, а также все числа между ними. Другие примеры интервалов включают набор всех действительных чисел и набор всех отрицательных действительных чисел.

Интервал чисел между [латекс]а[/латекс] и [латекс]b[/латекс], включая [латекс]а[/латекс] и [латекс]b[/латекс], часто обозначается [латекс ][а,б][/латекс]. Эти два числа называются конечными точками интервала.

Открытые и закрытые интервалы

Открытый интервал не включает свои конечные точки и обозначается круглыми скобками. Например, [latex](0,1)[/latex] описывает интервал больше 0 и меньше 1.

замкнутый интервал включает свои конечные точки и обозначается квадратными скобками, а не скобками. Например, [latex][0,1][/latex] описывает интервал, больший или равный 0 и меньший или равный 1.

Чтобы указать, что в этот набор включена только одна конечная точка интервала, будут использоваться оба символа. Например, интервал чисел от 1 до 5, включая 1, но исключая 5, записывается как [латекс][1,5)[/латекс].

На изображении ниже показаны открытые и закрытые интервалы на числовой прямой.

Интервалы: Представление открытых и закрытых интервалов на прямой с действительными числами.

Ограниченные и неограниченные интервалы

Интервал называется ограниченным, если обе его конечные точки являются действительными числами. Ограниченные интервалы также часто называют конечными интервалами. И наоборот, если ни одна из конечных точек не является действительным числом, интервал называется неограниченным. Например, интервал [латекс](1,10)[/латекс] считается ограниченным; интервал [latex](- \infty, + \infty)[/latex] считается неограниченным.

Набор всех действительных чисел — это единственный интервал, неограниченный с обеих сторон; пустое множество (множество, не содержащее элементов) ограничено.

Интервал, который имеет только одну конечную точку с действительным числом, называется полуограниченным или, точнее, ограниченным слева или ограниченным справа. Например, интервал [latex](1, + \infty)[/latex] является полуограниченным; в частности, он ограничен слева.

Абсолютное значение

Абсолютное значение можно рассматривать как расстояние от нуля до действительного числа.

Цели обучения

Определить абсолютное значение числа

Ключевые выводы

Абсолютное значение действительного числа можно рассматривать как его расстояние от нуля вдоль линии действительного числа.
Абсолютное значение [latex]a[/latex] обозначается как [latex]\left | a \право |[/латекс].

Ключевые термины

абсолютное значение: расстояние действительного числа от [latex]0[/latex] вдоль линии вещественного числа.

В математике абсолютное значение (иногда называемое модулем) действительного числа [latex]a[/latex] обозначается [latex]\left | а \право |[/латекс]. Это относится к расстоянию [latex]a[/latex] от нуля. Следовательно, [латекс]\левый | a \right |>0[/latex] для всех чисел. Например, абсолютное значение 5 равно 5, и абсолютное значение −5 также равно 5, поскольку оба числа находятся на одинаковом расстоянии от 0.

Абсолютное значение: абсолютные значения 5 и -5, показанные на числовой прямой.

Применительно к разнице между действительными числами абсолютное значение представляет собой расстояние между числами на числовой прямой.

История

Абсолютное значение тесно связано с математическими и физическими понятиями величины, расстояния и нормы. Термин «абсолютная стоимость» используется в этом смысле по крайней мере с 1806 г. во французском языке и с 1857 г. в английском языке. Обозначение [латекс]\left | a \right |[/latex] был введен Карлом Вейерштрассом в 1841 году. Другими названиями абсолютного значения являются «числовое значение», «модуль» и «величина».

Примеры

Ниже приведены некоторые примеры уравнений с абсолютным значением:

[латекс]\left | 7 \справа |=7[/латекс]
[латекс]\left | -2 \справа |=2[/латекс]
[латекс]-\left | 4 \справа |=-4[/латекс]
[латекс]-\left | -3 \справа |=-3[/латекс]

Наборы чисел

Набор представляет собой набор уникальных чисел, часто обозначаемых фигурными скобками: <>.

Цели обучения

Использовать набор обозначений для представления наборов чисел и описания свойств часто используемых наборов чисел

Ключевые выводы

Ключевые моменты

Набор представляет собой набор отдельных объектов и считается самостоятельным объектом. С числами набор представляет собой набор уникальных чисел, например [латекс]\влево \< 1, 2, 5, 8, 4 \вправо \>[/латекс].
В наборах порядок чисел не имеет значения; важно только, чтобы номера не дублировались.
Если каждый член множества A также является членом множества B, то говорят, что A является подмножеством B, пишется [latex]A \subseteq B[/latex] (также произносится как «A содержится в B» ). И наоборот, [латекс]В[/латекс] можно считать надмножеством [латекс]А[/латекс]. Это написано [latex]B \supseteq A[/latex].
Общими категориями наборов чисел являются натуральные числа, действительные числа, целые числа, рациональные числа, мнимые числа и комплексные числа.

Ключевые термины

супернабор: набор, содержащий другой набор.
набор: Набор уникальных объектов потенциально бесконечного размера, который не зависит от порядка содержащихся в нем объектов.
подмножество: набор, который также является элементом другого набора.

Множества — одно из самых фундаментальных понятий математики. Набор представляет собой набор отдельных объектов и считается объектом сам по себе. Например, числа 2, 4 и 6 являются отдельными объектами, если рассматривать их по отдельности, но когда они рассматриваются вместе, они образуют единый набор размера три, который записывается [латекс]\влево \< 2,4,6 \вправо \> [/латекс].

Определение набора

Существует два способа описания или указания членов множества. Один из способов — преднамеренное определение с использованием правила или семантического описания. Например: «[latex]A[/latex] — это множество, члены которого являются первыми четырьмя положительными целыми числами».

Второй способ описания набора — это расширение: перечисление каждого члена набора. Экстенсиональное определение обозначается заключением списка членов в фигурные скобки: [latex]C = \left \< 4, 2, 1, 3 \right \>[/latex].

поскольку расширенная спецификация означает просто то, что каждый из перечисленных элементов является членом множества.

Для множеств со многими элементами перечисление членов может быть сокращено. Например, набор из первой тысячи положительных целых чисел может быть расширен как:

где многоточие ([латекс]\cdots[/латекс]) указывает на то, что список продолжается очевидным образом. Эллипсы также можно использовать там, где множества имеют бесконечно много членов. Таким образом, множество положительных четных чисел можно записать как [латекс]\влево \< 2,4,6,8, \cdots \вправо \>[/латекс].

Подмножества и надмножества

подмножество — это набор, каждый элемент которого также содержится в другом наборе. Например, если каждый член множества [latex]A[/latex] также является членом множества [latex]B[/latex], то [latex]A[/latex] называется подмножеством [latex] Б[/латекс]. Это пишется [латекс]А \подмножество В[/латекс] (также произносится как «[латекс]А[/латекс] содержится в [латекс]В[/латекс]»). Эквивалентно, мы можем сказать, что [latex]B[/latex] является надмножеством [latex]A[/latex], что означает, что [latex]B[/latex] включает [latex]A [/latex] или [latex]B[/latex] содержит [latex]A[/latex]. Это написано [latex]B \supseteq A[/latex].

Например, [латекс]\влево \ < 1,3 \вправо \>\subseteq \влево \< 1,2,3,4 \вправо \>[/латекс].

Общие наборы

Некоторые из наиболее часто упоминаемых наборов чисел приведены ниже.

Набор натуральных чисел, также известный как "счетные числа", включает все целые числа, начинающиеся с 1 и увеличивающиеся. Множество натуральных чисел представлено символом [латекс]\mathbb[/латекс] и может быть обозначено как [латекс]\mathbb=\left \< 1,2,3,4, \cdots \right \>[/ латекс].

Набор действительных чисел включает все числа, включая отрицательные и десятичные, которые существуют в числовой строке.Набор действительных чисел представлен символом [латекс]\mathbb[/латекс].

Набор целых чисел включает все целые числа (положительные и отрицательные), включая [latex]0[/latex]. Набор целых чисел представлен символом [латекс]\mathbb[/латекс]. (Это может показаться странным, но это означает немецкий термин «Zahlen», что означает «числа».)

Набор рациональных чисел, обозначаемый символом [latex]\mathbb[/latex], включает в себя любое число, записанное в виде дроби. Символ [латекс]\mathbb[/латекс] используется, потому что Q представляет слово «частное».

Набор мнимых чисел, обозначаемый символом [латекс]\mathbb[/латекс], включает все числа, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число.

Набор комплексных чисел, обозначаемый символом [latex]\mathbb[/latex], включает в себя комбинацию действительных и мнимых чисел в виде [latex]a+bi[/ латекс], где [латекс]а[/латекс] и [латекс]b[/латекс] — действительные числа, а [латекс]i[/латекс] — мнимое число.

Факторы

Любое целое число больше единицы можно разложить на множители, что означает, что его можно разбить на меньшие целые числа.

Цели обучения

Вычисление множителей и простых множителей чисел

Ключевые выводы

Ключевые моменты

Факторизация (или факторизация) – это процесс разбиения объекта (например, числа или алгебраического выражения) на произведение других объектов или факторов, которые при умножении вместе дают исходное число или выражение.
Разложение на простые множители — это особый тип факторизации, при котором интересующее число разбивается на простые числа, которые при обратном умножении дают исходное число.
Каждое положительное целое число больше 1 имеет различную простую факторизацию.
Дерево множителей можно использовать для нахождения простой факторизации числа.

Ключевые термины

простой множитель: множитель, который также является простым числом.
фактор: любой из различных объектов, сложенных вместе, чтобы сформировать некоторое целое.
факторизация: процесс создания списка элементов, которые при умножении дают желаемое количество или выражение.
простое число: целое число больше 1, которое можно разделить без остатка только на число 1 и на себя самого.

В математике факторизация (или факторизация) – это процесс разбиения объекта (например, числа или алгебраического выражения) на произведение других объектов или множителей, которые при умножении дают исходное число или выражение. Цель факторинга — свести что-то к «основным строительным блокам». Этот процесс имеет множество реальных применений и может помочь нам решать задачи по математике.

В частности, разложение числа на множители означает его разложение на числа, которые при обратном умножении дают заданное число. Сейчас мы сосредоточимся на разложении на множители целых чисел.

Например, рассмотрим число 24. Чтобы найти множители, рассмотрим числа, которые дают произведение 24. Мы знаем, что [латекс]6 х 4 = 24[/латекс], поэтому и 6, и 4 являются множителями. числа 24. Если подумать, мы можем перечислить все числа, на которые делится 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24. Это полный список делителей числа 24.

Пример простой факторизации. Это дерево факторов показывает факторизацию числа 864. Оно показывает, что число 864 является произведением пяти двоек и трех троек. Сокращенный способ записи этих результирующих простых множителей: [латекс]2^5 \times 3^3[/латекс].

Первичная факторизация

Разложение на простые множители – это особый тип факторизации, при котором интересующее число разбивается на простые числа, которые при обратном умножении дают исходное число. Такие простые числа называются простыми множителями.

Пример 1

Например, рассмотрим число 6. Мы знаем, что [латекс]2 умножить на 3 = 6[/латекс], поэтому 2 и 3 являются делителями 6. Также обратите внимание, что 2 и 3 являются простыми числами, поскольку каждое делится только на 1 и на себя. Следовательно, 2 и 3 являются простыми множителями числа 6.

Пример 2

Теперь рассмотрим число 12. Мы знаем, что [латекс]2 умножить на 6 = 12[/латекс], поэтому 2 и 6 являются делителями числа 12. Однако 6 не является простым делителем. В этом случае мы также должны привести 6 к его простым множителям. Поскольку из предыдущего примера мы знаем, что простые множители числа 6 равны 2 и 3 (поскольку [латекс]2 \times 3 = 6[/latex]), мы можем легко понять, что [латекс]2 \times 2 \times 3 = 12[/латекс]. Теперь мы нашли множители для 12, которые все являются простыми числами. Таким образом, простая факторизация для 12 равна [латекс]2 \times 2 \times 3[/latex].

Дерево факторов и простая факторизация

Каждое положительное целое число больше 1 имеет различную простую факторизацию. Чтобы разложить на множители большие числа, может быть полезно нарисовать дерево множителей.

В дереве факторов интересующее число записывается вверху.Затем находятся два множителя этого числа и соединяются ниже этого числа ветвями. Этот процесс повторяется для каждого последующего множителя исходного числа, пока все множители в нижней части ветвей не станут простыми.

Читайте также: