Как определяется вектор скорости вращательного движения края диска в точке а запишите номер вектора

Обновлено: 22.11.2024

Крутящий момент – это показатель того, насколько сила, действующая на объект, заставляет этот объект вращаться. Объект вращается вокруг оси, которую мы назовем точкой вращения и обозначим '\(O\)'. Мы будем называть силу '\(F\)'. Расстояние от точки вращения до точки, в которой действует сила, называется плечом момента и обозначается '\(r\)'. Обратите внимание, что это расстояние ' \(r\) ' также является вектором и указывает от оси вращения до точки, где действует сила. (Обратитесь к рисунку 1 для графического представления этих определений.)

Рисунок 1. Определения

Крутящий момент определяется как \(\Gamma = r \times F = rF \sin (\theta)\) .

Другими словами, крутящий момент представляет собой перекрестное произведение между вектором расстояния (расстояние от точки поворота до точки приложения силы) и вектором силы ' \(a\) ' угол между \(r\) и \(F.\)

Перекрестный продукт

Перекрестное произведение, также называемое векторным произведением, представляет собой операцию над двумя векторами. Перемножение двух векторов дает третий вектор, который перпендикулярен плоскости, в которой лежат первые два. То есть для пересечения двух векторов \(A\) и \(B\) мы размещаем \(A\) и \(B\) так, чтобы их хвосты находились в одной точке. Затем их векторное произведение \(A \times B\) дает третий вектор, скажем, \(C\) , хвост которого также находится в той же точке, что и у \(A\) и \(B.\) Вектор \(C\) указывает направление, перпендикулярное (или нормальное) как к \(A\), так и к \(B). Направление \(C\) зависит от правила правой руки.

Рисунок CP 1: \(A \times B = C\)

Если мы допустим, что угол между \(A\) и \(B\) равен , то перекрестное произведение \(A\) и \(B\) может быть выражено как

\(A \times B = A B \sin(\theta)\)

Рисунок CP2: \(B \times A = D\)

Если компоненты векторов \(A\) и \(B\) известны, то мы можем выразить компоненты их перекрестного произведения \(C = A \times B\) следующим образом

\(C_x = A_yB_z - A_zB_y\)
\(C_y = A_zB_x - A_xB_z\)
\(C_z = A_xB_y - A_yB_x\)

Кроме того, если вы знакомы с определителями, \(A \times B\) , это

\(A \times B = \Biggr| \begin i \quad j \quad k \\ A_x \; A_y \; A_z \\ B_x \; B_y \; B_z \end \Biggr|\)

Сравнивая рисунки CP1 и CP2, мы замечаем, что
\(A \times B = - B \times A\)

Очень красивая симуляция, позволяющая исследовать свойства перекрестного произведения, доступна ЗДЕСЬ. Используйте кнопку "назад", чтобы вернуться в это место.

Используя правило правой руки, мы можем найти направление вектора крутящего момента. Если мы направим пальцы в направлении \(r,\) и согнем их в направлении \(F,\), тогда большой палец будет указывать в направлении вектора крутящего момента.

Правило правой руки

Вопрос

В каком направлении находится крутящий момент на этой диаграмме относительно точки вращения, обозначенной \(O\)?

Рисунок RHR 1: Диаграмма проблемы Рисунок RHR 2: Диаграмма проблемы, сила была преобразована, чтобы упростить использование правила правой руки

Решение

Здесь мы предполагаем, что сила, \(F,\) и плечо момента, r векторы были изначально размещены «лицом к лицу» (то есть, \(F\) указывало на острие стрелки \( r,\) не в своей точке опоры). Это показано на рис. RHR 1. Однако, переводя вектор силы в его положение на рис. RHR 2, использование правила правой руки становится более очевидным.

Без этого уточнения можно интерпретировать рисунок RHR 2 как вектор силы, проходящий через точку вращения, и в этом случае крутящего момента не будет. Это связано с определением плеча момента, которое представляет собой расстояние между точкой вращения и точкой, в которой действует сила. Если сила действует прямо на точку вращения, то \(r = 0,\), поэтому крутящего момента не будет. (Имея плечо момента, равное нулю, это похоже на попытку открыть дверь, надавив на ее петли; ничего не происходит, потому что приложенная сила не создает крутящего момента.)

Вспомните использование правила правой руки при расчете крутящего момента. Пальцы должны быть направлены в сторону первого вектора и согнуты в сторону второго вектора. В этом случае крутящий момент представляет собой перекрестное произведение плеча момента и крутящего момента. Таким образом, пальцы будут указывать в том же направлении, что и плечо момента, и свернуты в направлении силы (по часовой стрелке). Направление вашего большого пальца — это направление крутящего момента; в этом случае крутящий момент направлен на экран.

Мы можем представить "внутри" и "из" с помощью символов при рисовании трехмерных диаграмм. Символ "в" (предполагается, что это конец стрелки), а символ "из" (это кончик стрелки).

Рисунок RHR 3: Схема решенной проблемы (результирующий крутящий момент находится на экране)

Представьте, что вы толкаете дверь, чтобы открыть ее.Сила вашего толчка ( \(F\)) заставляет дверь вращаться вокруг своих петель (точка вращения, \(O\) ). То, насколько сильно вам нужно нажимать, зависит от расстояния, на котором вы находитесь от шарниров ( \(r\) ) (и от нескольких других вещей, но давайте их сейчас проигнорируем). Чем ближе вы к петлям (т.е. чем меньше \(r\)), тем труднее нажимать. Вот что бывает, когда пытаешься толкнуть дверь не с той стороны. Крутящий момент, создаваемый вами на двери, меньше, чем если бы вы толкнули правильную сторону (в сторону от петель).

Обратите внимание, что приложенная сила \(F,\) и плечо момента \(r,\) не зависят от объекта. Кроме того, сила, приложенная к точке поворота, не вызовет крутящего момента, поскольку плечо момента будет равно нулю ( \(r = 0\) ).

Еще один способ выражения приведенного выше уравнения состоит в том, что крутящий момент представляет собой произведение величины силы и перпендикулярного расстояния от силы до оси вращения (т. е. точки поворота).

Пусть сила, действующая на объект, разбита на тангенциальную ( \(F_\)) и радиальную ( \(F_\)) составляющие (см. рис. 2). (Обратите внимание, что тангенциальная составляющая перпендикулярна плечу момента, а радиальная составляющая параллельна плечу момента.) Радиальная составляющая силы не влияет на крутящий момент, поскольку она проходит через точку поворота. Таким образом, только тангенциальная составляющая силы влияет на крутящий момент (поскольку она перпендикулярна линии между точкой действия силы и точкой поворота).

Рисунок 2: Тангенциальная и радиальная составляющие силы F

На объект может действовать более одной силы, и каждая из этих сил может действовать на разные точки объекта. Тогда каждая сила будет вызывать крутящий момент. Чистый крутящий момент представляет собой сумму отдельных крутящих моментов.

Вращательное равновесие аналогично поступательному равновесию, где сумма сил равна нулю. При вращательном равновесии сумма крутящих моментов равна нулю. Другими словами, на объекте нет чистого крутящего момента.

Обратите внимание, что единицей крутящего момента в системе СИ является ньютон-метр, который также является способом выражения джоуля (единицы энергии). Однако крутящий момент — это не энергия. Итак, чтобы избежать путаницы, мы будем использовать единицы Нм, а не Дж. Различие возникает из-за того, что энергия является скалярной величиной, тогда как крутящий момент является вектором.

Вот полезное и интересное интерактивное задание по вращательному равновесию.

Крутящий момент и угловое ускорение

В этом разделе мы рассмотрим взаимосвязь между крутящим моментом и угловым ускорением. Для этого раздела вам потребуется иметь общее представление о моментах инерции.

Момент инерции

Момент инерции — аналог массы при вращении. Просмотрите определения, как объяснено в вашем учебнике.

В следующей таблице приведены моменты инерции для различных обычных тел. «М» в каждом случае — это общая масса объекта.

Рисунок 3. Радиальная и тангенциальная составляющие силы, два измерения

Представьте себе силу F, действующую на некоторый объект на расстоянии r от его оси вращения. Мы можем разбить силу на тангенциальную ( \(F_\) ), радиальную ( \(F_\) ) (см. рис. 3). (Это предполагает двумерный сценарий. Для трех измерений — более реалистичная, но и более сложная ситуация — у нас есть три компонента силы: тангенциальный компонент \(F_\), радиальный компонент \(F_\) и z-компонента \(F_z\) . Все компоненты силы взаимно перпендикулярны или нормальны.)

Из второго закона Ньютона \(F_ = m a_\)

Однако мы знаем, что угловое ускорение \(\alpha\) и тангенциальное ускорение atan связаны соотношением:
\(a_ = r \alpha\)

Если мы умножим обе стороны на r (плечо момента), уравнение примет вид

Обратите внимание, что радиальная составляющая силы проходит через ось вращения и поэтому не влияет на крутящий момент. Левая часть уравнения – крутящий момент.Для целого объекта может быть много крутящих моментов. Таким образом, сумма крутящих моментов равна моменту инерции (массы частицы, что является предположением в этом выводе), \(I = mr^2\), умноженному на угловое ускорение, \(\alpha\) .

\(\sum\tau = I\cdot\alpha\)

Панель 4: Радиальная, тангенциальная и z-компоненты силы, три измерения

Если мы проводим аналогию между поступательным и вращательным движением, то эта связь между крутящим моментом и угловым ускорением аналогична второму закону Ньютона. А именно, принимая крутящий момент за аналог силы, момент инерции за аналог массы и угловое ускорение за аналог ускорения, мы получаем уравнение, очень похожее на второй закон.

Пример задачи: качающаяся дверь

Вопрос

Спеша поймать такси, вы мчитесь через плавно вращающуюся дверь на тротуар. Сила, которую вы приложили к двери, была \(50 Н,\) приложена перпендикулярно плоскости двери. Ширина двери \(1,0\;м\). Предполагая, что вы толкнули дверь за ее край, каков был крутящий момент на распашной двери (принимая петлю за точку опоры)?

Советы

  1. Где находится точка поворота?
  2. Какая сила применялась?
  3. На каком расстоянии от точки вращения была приложена сила?
  4. Каким был угол между дверью и направлением силы?

Решение

Точка поворота находится на дверных петлях, напротив того места, где вы толкали дверь. Сила, которую вы использовали, была \(50 Н,\) на расстоянии \(1,0\;м\) от точки вращения. Вы ударили дверь перпендикулярно ее плоскости, поэтому угол между дверью и направлением силы составил \(90\) градусов.

Поскольку
\(\tau = r \times F = r F \sin (\theta)\)

Схема примера проблемы

тогда крутящий момент на двери был:
\(\tau = (1,0 м) (50 Н) \sin(90)\)
\(\tau = 50 Н м\)

Обратите внимание, что это только величина крутящего момента; чтобы завершить ответ, нам нужно найти направление крутящего момента. Используя правило правой руки, мы видим, что направление крутящего момента выходит за пределы экрана.

Угол поворота – это показатель того, насколько сильно вращается объект, а угловая скорость — скорость, с которой он вращается.

Цели обучения

Выразить связь между углом поворота и расстоянием

Ключевые выводы

Ключевые моменты

  • Когда объект вращается вокруг оси, точки на краях объекта движутся по дуге.
  • Угол, который образуют эти дуги, называется углом поворота и обычно обозначается символом тета.
  • Показатель скорости вращения объекта во времени называется угловой скоростью. Обычно обозначается греческим символом омега. Как и линейная скорость, это вектор.

Ключевые термины

  • радианы: угол, образуемый в центре окружности дугой окружности той же длины, что и радиус окружности.

Угол вращения и угловая скорость

Когда объект вращается вокруг оси, например, автомобильная шина или пластинка на проигрывателе, движение можно описать двумя способами. Точка на краю вращающегося объекта будет иметь некоторую скорость и будет перемещаться по дуге, перемещаясь на вращающемся объекте. Точка пройдет расстояние [латекс]\Дельта\текст[/латекс], но часто удобнее говорить о степени вращения объекта. Величина вращения объекта называется углом поворота и может измеряться в градусах или радианах. Так как угол поворота связан с расстоянием [латекс]\Дельта\текст[/латекс] и с радиусом [латекс]\текст[/латекс] уравнением [латекс]\Дельта \тета = \фрак<\Дельта \ text>>[/latex], обычно удобнее использовать радианы.

Угол θ и длина дуги s: радиус окружности поворачивается на угол [латекс]\дельта\тета[/латекс]. Длина дуги [латекс]\Дельта\текст[/латекс] описана по окружности.

Скорость, с которой вращается объект, определяется угловой скоростью, которая представляет собой скорость изменения угла поворота во времени. Хотя угол сам по себе не является векторной величиной, угловая скорость является вектором. Направление вектора угловой скорости перпендикулярно плоскости вращения в направлении, которое обычно задается правилом правой руки. Угловое ускорение дает скорость изменения угловой скорости. Угол, угловая скорость и угловое ускорение очень полезны при описании вращательного движения объекта.

Направление угловой скорости. Угловая скорость описывает скорость вращения и ориентацию мгновенной оси, вокруг которой происходит вращение. Направление угловой скорости будет вдоль оси вращения. В этом случае (вращение против часовой стрелки) вектор направлен вверх.

Когда ось вращения перпендикулярна вектору положения, угловую скорость можно рассчитать, взяв линейную скорость [латекс]\текст[/латекс] точки на краю вращающегося объекта и разделив ее на радиус . Это даст угловую скорость, обычно обозначаемую [латекс]\омега[/латекс], в радианах в секунду.

Угловая скорость: муха на краю вращающегося объекта регистрирует постоянную скорость [латекс]\текст[/латекс]. Объект вращается с угловой скоростью, равной [latex]\frac<\text>>[/latex].

Центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение – это постоянное изменение скорости, необходимое для того, чтобы объект мог двигаться по окружности.

Цели обучения

Выразите центростремительное ускорение через скорость вращения

Ключевые выводы

Ключевые моменты

  • Чтобы объект мог двигаться по кругу, он должен постоянно менять направление.
  • Поскольку скорость является вектором, изменение направления приводит к изменению скорости.
  • Изменение скорости называется ускорением. Изменение скорости из-за кругового движения называется центростремительным ускорением.
  • Центростремительное ускорение можно рассчитать, разделив квадрат линейной скорости на радиус окружности, по которой движется объект.

Ключевые термины

  • ускорение: величина, на которую увеличивается скорость или скорость (и, следовательно, скалярная величина или векторная величина).
  • Круговое движение: Движение таким образом, что выбранный путь является круговым.
  • скорость: векторная величина, обозначающая скорость изменения положения во времени или скорость с компонентом направления.

Обзор

Как упоминалось в предыдущих разделах о кинематике, любое изменение скорости определяется ускорением. Часто изменения скорости являются изменениями величины. Когда объект ускоряется или замедляется, это изменение скорости объекта. Изменения величины скорости соответствуют нашему интуитивному и повседневному использованию термина ускорение. Однако, поскольку скорость является вектором, она также имеет направление. Следовательно, любое изменение направления движения объекта также должно сопровождаться ускорением.

Равномерное круговое движение предполагает, что объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью. Поскольку скорость постоянна, обычно не думают, что объект ускоряется. Однако направление постоянно меняется по мере того, как объект пересекает круг. Таким образом, говорят, что он ускоряется. Это ускорение можно почувствовать, когда едешь на американских горках. Даже если скорость постоянна, быстрый поворот вызовет у гонщика ощущение силы. Это чувство — ускорение.

Центростремительное ускорение: краткий обзор центростремительного ускорения для школьников-физиков.

Вычисление центростремительного ускорения

Для расчета центростремительного ускорения объекта, совершающего равномерное круговое движение, необходимо знать скорость, с которой движется объект, и радиус окружности, вокруг которой происходит движение. Простое уравнение:

где [латекс]\текст[/латекс] — линейная скорость объекта, а [латекс]\текст[/латекс] — радиус окружности.

Центростремительное ускорение также может быть выражено через скорость вращения следующим образом:

где омега – скорость вращения, заданная выражением [латекс]\фракция>>[/латекс].

Центростремительное ускорение. Когда объект движется по окружности, направление вектора скорости постоянно меняется.

Центростремительная сила

Сила, вызывающая движение по криволинейной траектории, называется центростремительной силой (примером центростремительной силы является равномерное круговое движение).

Цели обучения

Выразите уравнения для центростремительной силы и ускорения

Ключевые выводы

Ключевые моменты

  • Когда объект находится в равномерном круговом движении, он постоянно меняет направление и, следовательно, ускоряется. Это угловое ускорение.
  • Сила, действующая на объект при равномерном круговом движении (называемая центростремительной силой), действует на объект из центра круга.

Ключевые термины

  • центростремительный: направленный или движущийся к центру.
  • угловая скорость: векторная величина, описывающая круговое движение объекта; его величина равна скорости частицы, а направление перпендикулярно плоскости ее кругового движения.

Сила, вызывающая движение по криволинейной траектории, называется центростремительной силой. Равномерное круговое движение является примером действия центростремительной силы. Это можно увидеть в движении спутников вокруг Земли, в натяжении веревки при игре в мяч, в петле на американских горках или в ведре, раскачиваемом вокруг тела.

Обзор центростремительной силы: краткий обзор центростремительной силы.

Ранее мы узнали, что любое изменение скорости является ускорением. Когда объект движется по круговому пути, он постоянно меняет направление и, следовательно, ускоряется, в результате чего на объект действует постоянная сила. Эта центростремительная сила действует по направлению к центру кривизны, по направлению к оси вращения. Поскольку объект движется перпендикулярно силе, путь, по которому следует объект, является круговым. Именно эта сила удерживает мяч от выпадения из ведра, если вы постоянно вращаете его по кругу.

Центростремительная сила. Когда объект движется по окружности с постоянной скоростью, на него действует центростремительная сила, которая ускоряет его по направлению к центру.

Уравнение для центростремительной силы выглядит следующим образом:

Центростремительная сила также может быть выражена через угловую скорость. Угловая скорость — это мера того, насколько быстро объект движется по круговой траектории. Когда объект движется по своему пути, он описывает дугу, которую можно измерить в градусах или радианах. Уравнение для центростремительной силы с использованием угловой скорости:

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

  • Опишите угол поворота и свяжите его с линейным аналогом.
  • Опишите угловую скорость и свяжите ее с линейной скоростью.
  • Решение задач, связанных с углом поворота и угловой скоростью.

Поддержка преподавателей

Поддержка преподавателей

Цели обучения в этом разделе помогут вашим учащимся освоить следующие стандарты:

  • (4) Научные концепции. Учащийся знает и применяет законы, управляющие движением, в различных ситуациях. Ожидается, что учащийся:
    • (C) ​​анализировать и описывать ускоренное движение в двух измерениях с помощью уравнений, включая примеры снарядов и окружностей.

    Ключевые термины раздела

Форма Ось Уравнение Изображение
Тонкий стержень через центр \(I = \frac \ cdot M \cdot L^2\)
Тонкий стержень через конец \(I = \frac \cdot M \cdot L^2\)
Прямоугольная плоскость проходящая через центр \(I = \frac \cdot M \cdot (a^2 + b^2)\)
Прямоугольная плоскость вдоль ребра \(I = \frac \ cdot M \cdot a^2\)
Сфера тонкостенная полая \(I = \frac \cdot M \cdot R^2\)
Сфера твердое тело \(I = \frac \cdot M \cdot R ^2\)
Цилиндр полый \(I = \frac \cdot M \cdot (R_ + R_ ) \)
Цилиндр сплошной \(I = \frac \cdot M \cdot R^2\)
Цилиндр тонкостенный полый \(I = M \cdot R^2\)
угол поворота угловая скорость длина дуги круговое движение
радиус кривизны вращательное движение вращение тангенциальная скорость

Угол поворота

Что именно мы подразумеваем под круговым движением или вращением? Вращательное движение – это круговое движение объекта вокруг оси вращения. Мы обсудим конкретно круговое движение и вращение. Круговое движение — это когда объект движется по круговой траектории. Примеры кругового движения включают гоночную машину, мчащуюся по круговой кривой, игрушку, прикрепленную к веревке, которая качается по кругу вокруг вашей головы, или круговую петлю-петлю на американских горках. Вращение — это вращение вокруг оси, проходящей через центр масс объекта, например, Земля, вращающаяся вокруг своей оси, колесо, вращающееся вокруг своей оси, вращение торнадо на пути разрушения или вращение фигуриста во время выступление на Олимпиаде. Иногда объекты будут вращаться, совершая круговое движение, например Земля, вращающаяся вокруг своей оси, вращаясь вокруг Солнца, но мы сосредоточимся на этих двух движениях отдельно.

Поддержка преподавателей

Поддержка преподавателей

[BL] [OL] Объясните разницу между круговым и вращательным движением, используя вращение Земли вокруг своей оси и ее вращение вокруг Солнца. Объясните, что вращение Земли слегка эллиптическое, хотя и почти круговое.

[OL] [AL] Попросите учащихся привести примеры кругового движения.

При решении задач, связанных с вращательным движением, мы используем переменные, которые аналогичны линейным переменным (расстояние, скорость, ускорение и сила), но учитывают кривизну или вращение движения. Здесь мы определяем угол поворота , который является угловой эквивалентностью расстояния; и угловая скорость , которая является угловой эквивалентностью линейной скорости.

Когда объекты вращаются вокруг какой-либо оси — например, когда компакт-диск на рис. 6.2 вращается вокруг своего центра — каждая точка объекта движется по окружности.

Рисунок 6.2. Все точки на компакт-диске движутся по круговым траекториям. Ямки (точки) вдоль линии от центра к краю перемещаются на один и тот же угол Δ θ Δ θ за время Δ t Δ t .

Длина дуги , , – это расстояние, пройденное по окружности. Радиус кривизны, r, является радиусом кругового пути. Оба показаны на рис. 6.3.

Рассмотрите линию от центра компакт-диска до его края. За заданное время каждая ямка (используемая для записи информации) на этой линии проходит под одним и тем же углом. Угол поворота представляет собой величину поворота и является угловым аналогом расстояния. Угол поворота Δ θ Δ θ – это длина дуги, деленная на радиус кривизны.

Угол поворота часто измеряется в радианах. (Радианы на самом деле безразмерны, потому что радиан определяется как отношение двух расстояний, радиуса и длины дуги.) Оборот — это один полный оборот, когда каждая точка на окружности возвращается в исходное положение. Один оборот охватывает 2 π 2 π радиан (или 360 градусов) и, следовательно, имеет угол поворота 2 π 2 π радиан и длину дуги, которая равна длине окружности. Мы можем преобразовать радианы, обороты и градусы, используя соотношение

1 оборот = 2 π 2 π рад = 360°. См. Таблицу 6.1 для преобразования градусов в радианы для некоторых распространенных углов.

Угловая скорость

Поддержка преподавателей

Поддержка преподавателей

[BL] Просмотрите смещение, скорость, скорость, ускорение.

[AL] Спросите учащихся, изменяется ли скорость при равномерном круговом движении. А как насчет скорости? А ускорение?

С какой скоростью вращается объект? Мы можем ответить на этот вопрос, используя понятие угловой скорости. Сначала рассмотрим угловую скорость (ω) (ω) — скорость, с которой изменяется угол поворота. В форме уравнения угловая скорость равна

Теперь давайте рассмотрим направление угловой скорости, а значит, теперь мы должны называть ее угловой скоростью. Направление угловой скорости вдоль оси вращения. Для объекта, вращающегося по часовой стрелке, угловая скорость направлена ​​от вас вдоль оси вращения. Для объекта, вращающегося против часовой стрелки, угловая скорость указывает на вас вдоль оси вращения.

Угловая скорость (ω) — это угловая версия линейной скорости v. Тангенциальная скорость — это мгновенная линейная скорость объекта, находящегося во вращательном движении. Чтобы получить точное соотношение между угловой скоростью и тангенциальной скоростью, снова рассмотрим ямку на вращающемся компакт-диске. Эта яма движется по дуге ( ∆ s ) ( ∆ s ) за короткое время ( ∆ t ) ( ∆ t ), поэтому ее тангенциальная скорость равна

Поддержка преподавателей

Поддержка преподавателей

Однако бывают случаи, когда линейная скорость и тангенциальная скорость не эквивалентны, например, когда колеса автомобиля крутятся на льду. В этом случае линейная скорость будет меньше тангенциальной скорости. Из-за отсутствия трения под шинами автомобиля по льду длина дуги, по которой перемещаются протекторы шин, больше, чем линейное расстояние, по которому движется автомобиль. Это похоже на бег на беговой дорожке или вращение педалей на велотренажере; вы буквально никуда не денетесь быстро.

Советы для достижения успеха

Угловая скорость ω и тангенциальная скорость v являются векторами, поэтому мы должны включать в себя величину и направление. Направление угловой скорости находится вдоль оси вращения и указывает от вас для объекта, вращающегося по часовой стрелке, и к вам для объекта, вращающегося против часовой стрелки. В математике это описывается правилом правой руки. Тангенциальная скорость обычно описывается как восходящая, нисходящая, левая, правая, северная, южная, восточная или западная, как показано на рис. 6.6.

Рисунок 6.6. Поскольку муха на краю старой виниловой пластинки движется по кругу, ее мгновенная скорость всегда направлена ​​по касательной к кругу. В этом случае направление угловой скорости находится на странице.

Наблюдение за физикой

Связь между угловой скоростью и скоростью

В этом видео рассматриваются определение и единицы измерения угловой скорости, а также их связь с линейной скоростью. Он также показывает, как конвертировать обороты в радианы.

Нажмите, чтобы просмотреть содержимое Нажмите, чтобы просмотреть содержимое

Для объекта, движущегося по круговому пути с постоянной угловой скоростью, изменится ли линейная скорость объекта, если радиус пути увеличится?

Решение задач, связанных с углом поворота и угловой скоростью

Лаборатория Snap

Измерение угловой скорости

В этом упражнении вы создадите и измерите равномерное круговое движение, а затем сопоставите его с круговыми движениями с разными радиусами.

  • Одна строка (длиной 1 м)
  • Один предмет (резиновая пробка с двумя отверстиями) для привязки к концу.
  • Один таймер
  1. Привязать объект к концу строки.
  2. Вращайте объект по горизонтальному кругу над головой (качайте запястьем). Важно, чтобы круг был горизонтальным!
  3. Поддерживайте постоянную скорость объекта при его вращении.
  4. Измерьте таким образом угловую скорость объекта. Измерьте время в секундах, за которое объект совершает 10 оборотов. Разделите это время на 10, чтобы получить угловую скорость в оборотах в секунду, которую вы можете преобразовать в радианы в секунду.
  5. Какова примерная линейная скорость объекта?
  6. Поднимите руку вверх по веревке так, чтобы длина веревки составила 90 см. Повторите шаги 2–5.
  7. Поднимите руку вверх по веревке так, чтобы ее длина составила 80 см. Повторите шаги 2–5.
  8. Поднимите руку вверх по веревке так, чтобы ее длина составила 70 см. Повторите шаги 2–5.
  9. Поднимите руку вверх по веревке так, чтобы ее длина составила 60 см. Повторите шаги 2–5.
  10. Поднимите руку вверх по веревке так, чтобы ее длина составила 50 см. Повторите шаги 2–5.
  11. Создайте графики зависимости угловой скорости от радиуса (т. е. длины струны) и линейной скорости от радиуса. Опишите, как выглядит каждый график.

Если вы медленно качаете объект, он может вращаться со скоростью менее одного оборота в секунду. Каковы были бы обороты в секунду для объекта, который делает один оборот за пять секунд? Какова будет его угловая скорость в радианах в секунду?

Теперь, когда у нас есть понимание концепций угла поворота и угловой скорости, мы применим их к реальным ситуациям с башней с часами и вращающейся шиной.

Пример работы

Угол поворота часовой башни

Часы на башне с часами имеют радиус 1,0 м. а) На какой угол поворачивается часовая стрелка часов, когда она движется с 12 часов дня до 12 часов дня. до 15:00? (б) Какова длина дуги по внешнему краю часов между часовой стрелкой в ​​эти два времени?

Стратегия

При переходе от 12 к 3 часовая стрелка покрывает 1/4 из 12 часов, необходимых для совершения полного оборота. Следовательно, угол между часовой стрелкой в ​​положении 12 и 3 равен 1 4 × 2 π рад = π 2 1 4 × 2 π рад = π 2 (т. е. 90 градусов).

Перестановка уравнения

Вставка известных значений дает длину дуги

Мы смогли перенести радианы из окончательного решения в часть (b), потому что на самом деле радианы безразмерны. Это связано с тем, что радиан определяется как отношение двух расстояний (радиуса и длины дуги). Таким образом, формула дает ответ в метрах, как и ожидалось для длины дуги.

Пример работы

С какой скоростью вращается автомобильная шина?

Рассчитайте угловую скорость автомобильной шины радиусом 0,300 м, когда автомобиль движется со скоростью 15,0 м/с (около 54 км/ч). См. рис. 6.5.

Стратегия

В этом случае скорость протектора шины относительно оси шины такая же, как скорость автомобиля относительно дороги, поэтому v = 15,0 м/с. . Радиус шины r = 0,300 м. Поскольку мы знаем v и r, мы можем изменить уравнение v = r ω v = r ω , чтобы получить ω = vr ω = vr и найти угловую скорость.< /p>

Чтобы найти угловую скорость, мы используем соотношение: ω = v r ω = v r .

Вставка известных величин дает

Отбрасывая единицы измерения в приведенном выше расчете, мы получаем 50,0/с (т. е. 50,0 в секунду, что обычно записывается как 50,0 с −1). Но угловая скорость должна иметь единицы рад/с. Поскольку радианы безразмерны, мы можем подставить их в ответ для угловой скорости, потому что мы знаем, что движение является круговым. Также обратите внимание, что если бы землеройная машина с колесами гораздо большего размера, скажем, радиусом 1,20 м, двигалась с той же скоростью 15,0 м/с, его колеса вращались бы медленнее. У них будет угловая скорость

Отработка задач

Какой угол в градусах между часовой стрелкой и минутной стрелкой часов, показывающих 9:00?

Какова приблизительная длина дуги между часовой и минутной стрелками часов, показывающих 10:00, если радиус часов равен 0,2 м?

Проверьте свое понимание

Что подразумевается под радиусом кривизны при описании вращательного движения?

  1. Радиус кривизны – это радиус окружности.
  2. Радиус кривизны – это диаметр окружности.
  3. Радиус кривизны – это длина окружности окружности.
  4. Радиус кривизны – это площадь окружности.

Какое уравнение определяет угловую скорость ω, если r — радиус кривизны, θ — угол, а t — время?

искусственный спутник на орбите Земли, гоночный автомобиль, движущийся по круговой гоночной трассе, и волчок, вращающийся вокруг своей оси

искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли, гоночный автомобиль, движущийся по кольцевой гоночной трассе, и мяч, привязанный к веревке, раскручиваемый по кругу вокруг головы человека

Земля вращается вокруг своей оси, гоночный автомобиль движется по кольцевой гоночной трассе, а мяч, привязанный к веревке, раскручивается по кругу вокруг головы человека

Какова относительная ориентация векторов радиуса и касательной скорости объекта при равномерном круговом движении?

Вектор касательной скорости всегда параллелен радиусу окружности, по которой движется объект.

Вектор касательной скорости всегда перпендикулярен радиусу окружности, по которой движется объект.

Вектор касательной скорости всегда находится под острым углом к ​​радиусу окружности, по которой движется объект.

Вектор касательной скорости всегда находится под тупым углом к ​​радиусу окружности, по которой движется объект.

Поддержка преподавателей

Поддержка преподавателей

Используйте вопросы Проверьте свое понимание, чтобы оценить, справляются ли учащиеся с целями обучения этого раздела. Если учащиеся испытывают затруднения при выполнении определенной задачи, формирующее оценивание поможет определить, какая цель вызывает проблему, и направит учащихся к соответствующему содержанию.

Как партнер Amazon мы зарабатываем на соответствующих покупках.

    Если вы распространяете эту книгу полностью или частично в печатном формате, вы должны указать на каждой физической странице следующее указание автора:

© 27 января 2022 г. Техасское агентство по образованию (TEA). Название OpenStax, логотип OpenStax, обложки книг OpenStax, название OpenStax CNX и логотип OpenStax CNX не подпадают под действие лицензии Creative Commons и не могут быть воспроизведены без предварительного и явного письменного согласия Университета Райса.

OpenStax является частью Университета Райса, некоммерческой организации 501(c)(3). Пожертвуйте сегодня и помогите нам охватить больше учащихся.

  • Автор(ы) текста: Говард Мартин, редакция Алана Нг.
  • Директор по информационным технологиям и старшему специалисту по обработке информации Университета Висконсин-Мэдисон

Прежде чем продолжить, вы можете проверить:

  • Раздел 4.4 о кинематике кругового движения.
  • Раздел A1.3 о векторном произведении.
  • Раздел A1.4 об осевых векторах и их использовании для определения вращательных величин.

Скалярные кинематические величины вращения

Вспомните, что мы можем описать движение частицы по окружности радиуса \(R\) , используя ее угловое положение \(\theta\) , ее угловую скорость \(\omega\) и его угловое ускорение, \(\alpha\) . При соответствующем выборе системы координат угловое положение может быть определено как угол между вектором положения частиц \(\vec r\) и осью \(x\) системы координат, начало которой центр круга, как показано на рисунке \(\PageIndex\).

Рисунок \(\PageIndex\): Угловое положение частицы, движущейся вокруг оси \(z\) (вне страницы) по окружности радиуса \(R\) с центром в начале координат.< /p>

Угловая скорость \(\omega\) – это скорость изменения углового положения, а угловое ускорение \(\alpha\) – скорость изменения угловой скорости: \[\ begin \omega &= \frac\theta \\ \alpha &= \frac\omega\end\] Если угловое ускорение постоянно, то угловая скорость и положение как функция времени определяются как: \[\begin \omega (t) = \omega_0+\alpha t\\ \theta(t) = \theta_0+\omega_0 t+\frac\alpha t^2\end\], где \(\theta_0\) и \(\omega_0\) - угловой положение и скорость соответственно при \(t=0\) .

Мы также можем описать движение частицы в терминах «линейных» величин (в отличие от «угловых» величин) вдоль одномерной оси, изогнутой по окружности. Если \(s\) - это расстояние по окружности окружности, измеренное против часовой стрелки от точки пересечения окружности с осью \(x\), то оно связано с угловым смещением: \[\begin s = R\ theta\end\] если \(\theta\) выражено в радианах. Точно так же линейная скорость вдоль оси \(s\), \(v_s\) и соответствующее ускорение, \(a_s\) , определяются как: \[\begin v_s &= \frac =\fracR\theta = R\omega\\ a_s&= \frac =\fracR\omega = R\alpha\end\], где радиус окружности \(R\) - константа, которую можно вынести из производных по времени. Для движения по окружности вектор скорости \(\vec v\) частицы всегда касается окружности (Рисунок \(\PageIndex\)), поэтому \(v_s\) соответствует скорости частицы . Вектор ускорения \(\vec a\) в общем случае не касается окружности; \(a_s\) представляет компонент вектора ускорения, который касается окружности.Если \(a_s=0\) , то \(\alpha=0\) , и частица движется с постоянной скоростью (равномерное круговое движение), а вектор ускорения указывает на центр окружности.

Какое из следующих утверждений правильно описывает скорости в точках \(A\) и \(B\) на диске, вращающемся вокруг оси, проходящей через его центр, как показано на рисунке \(\PageIndex\)< /эм>?

  1. Обе точки \(A\) и \(B\) имеют одинаковую угловую и линейную скорости.
  2. Обе точки \(A\) и \(B\) имеют одинаковую линейную скорость, но разные угловые скорости.
  3. Обе точки \(A\) и \(B\) имеют одинаковую угловую скорость, но разные линейные скорости.

Векторные кинематические величины вращения

В предыдущем разделе мы определили угловые величины для описания движения частицы вокруг оси \(z\) по окружности радиуса \(R\), лежащей в плоскости \(xy\). Используя векторы, мы можем определить угловые величины для вращения вокруг оси, которая может указывать в любом направлении. При заданной оси вращения путь любой частицы, вращающейся вокруг этой оси, можно описать окружностью, лежащей в плоскости, перпендикулярной этой оси вращения, как показано на рисунке \(\PageIndex\).

Рисунок \(\PageIndex\): Определение вектора \(\vec r\) и угловой скорости \(\vec w\) для частицы со скоростью \(\vec v\), вращающейся вокруг оси в общее направление.

Мы определяем вектор \(\vec r\) для частицы как вектор, который идет от оси вращения к частице и находится в плоскости, перпендикулярной оси вращения, как показано на рисунке \( \индекс_страницы\). Учитывая вектор скорости частицы, \(\vec v\) , мы определяем ее вектор угловой скорости, \(\vec\omega\) , относительно оси вращения, как:

\[\vec w=\frac>\vec r\times \vec v\]

Вектор угловой скорости перпендикулярен как вектору скорости, так и вектору \(\vec r\) , поскольку он определяется как их векторное произведение. Таким образом, вектор угловой скорости колинеарен оси вращения. Используя вектор угловой скорости, мы можем указать направление оси вращения, а также направление, в котором частица вращается вокруг этой оси. Направление вращения задается правилом правой руки для осевых векторов: когда вы указываете большим пальцем в том же направлении, что и вектор угловой скорости, направление вращения — это направление, на которое указывают ваши пальцы, когда вы сгибаете их, как показано на рисунке. \(\ИндексСтраницы\).

Рисунок \(\PageIndex\): Использование правила правой руки для осевых векторов. В этом случае направление вращения против часовой стрелки, если смотреть на страницу (направление сгибания пальцев), поэтому вектор вращения указывает за пределы страницы (направление большого пальца).

Это определение угловой скорости согласуется с описанием из предыдущего раздела для движения по окружности радиуса \(R\), лежащей в плоскости \(xy\), как показано на рисунке \(\PageIndex\). . В этом случае величина угловой скорости определяется как: \[\begin \omega &=\frac || \vec r \times \vec v||= \fracr v\sin\phi= \frac\\ \поэтому v &= R\omega\end\] где \(\phi\) - угол между векторами \( \vec r\) и \(\vec v\) ( \(90^\) для движения по окружности). Направление угловой скорости на рисунке \(\PageIndex\) находится в положительном направлении \(z\), что соответствует вращению против часовой стрелки вокруг оси \(z\).

Вы нажимаете на правую сторону двери, чтобы открыть ее, так как дверные петли находятся слева. Вектор угловой скорости двери:

Всегда можно определить вектор угловой скорости относительно точки вращения, даже если частица не движется по окружности. Если мы определим вектор \(\vec r\) как вектор от точки вращения к частице, то вектор угловой скорости описывает движение частицы, как если бы она мгновенно двигалась по окружности с центром в точке вращение в плоскости, заданной векторами \(\vec r\) и \(\vec v\) .

Рассмотрите, например, частицу на рисунке \(\PageIndex\), которая движется по прямой линии с вектором скорости в плоскости \(xy\) в положении \(\vec r\) относительно источник. Мы можем определить его вектор угловой скорости относительно начала координат, который будет направлен в положительном направлении \(z\).

Рисунок \(\PageIndex\): Угловое положение частицы, движущейся по прямой линии.

Угловая скорость описывает движение частицы, как если бы она мгновенно двигалась по окружности радиуса \(r\) с центром в начале координат. Угловая скорость связана с компонентом \(\vec v\) , \(v_\perp\) , который перпендикулярен \(\vec r\) (который является компонентом, касающимся окружности радиуса \(r \) , на рисунке \(\PageIndex\)):

где \(\phi\) — угол между \(\vec r\) и \(\vec v\) .

Аналогичным образом мы можем определить вектор углового ускорения \(\vec \alpha\) относительно оси вращения:

\[\vec \alpha = \frac>\vec r\times\vec a\]

где \(\vec a\) — вектор ускорения частицы, а \(\vec r\) — вектор от оси вращения к частице. Направление углового ускорения совпадает с осью вращения, и правило правой руки дает направление вращения углового ускорения. Мы также можем определить угловое ускорение относительно точки; в этом случае направление вектора будет определять мгновенную ось вращения вокруг окружности радиуса \(r\) с центром в точке, а также направление углового ускорения относительно этой оси.

Наконец, мы можем определить вектор углового смещения \(\vec \theta\) относительно оси вращения. Направление вектора углового смещения будет коллинеарно оси вращения, его направление будет указывать направление вращения вокруг этой оси, а его величина (в радианах) будет соответствовать угловому смещению (как показано на Рисунок \(\PageIndex\)). Мы можем связать вектор углового смещения только с бесконечно малым линейным вектором смещения, \(d\vec s\) , поскольку вектор положения \(\vec r\) от оси вращения будет разным на каждом конце вектора смещения если смещение большое. Вектор бесконечно малого углового смещения, который соответствует вектору бесконечно малого смещения, \(d\vec s\) , определяется как: \[\begin d\vec \theta &= \frac \vec r \times d\vec s\\ \конец\]

Какое утверждение верно относительно муравья на диске, который вращается все медленнее и медленнее, как показано на рисунке?

  1. Угловая скорость направлена ​​на страницу, а угловое ускорение направлено за пределы страницы.
  2. Угловая скорость и ускорение указывают на страницу.
  3. Угловая скорость и ускорение указывают за пределы страницы.
  4. Угловое ускорение направлено на страницу, а угловая скорость направлена ​​за пределы страницы.

Мгновенный вектор угловой скорости представляет собой скорость изменения вектора углового смещения: \[\begin \vec\omega &= \frac = \frac \frac \vec r \times d\vec s = \frac \vec r \times \vec v_s\end\] где \(\vec v_s\) - (мгновенная) тангенциальная скорость по окружности (т.е. составляющая скорости \(\vec v\), перпендикулярная \(\vec р\) ). Вектор углового ускорения представляет собой скорость изменения вектора угловой скорости: \[\begin \vec\alpha = \frac \vec \omega\end\]

Для угловых кинематических величин соответствующие линейные величины в положении \(\vec r\) от оси вращения задаются следующим образом:

\[d\vec s=d\vec\theta\times\vec r\]

\[\vec v_=\vec w\times\vec r\]

\[\vec a_=\vec\alpha\times\vec r\]

где линейные величины всегда находятся в направлении, перпендикулярном \(\vec r\) (касательно окружности, для движения по окружности). Другими словами, нельзя, скажем, взять вектор ускорения, получить вектор углового ускорения, а затем вернуть исходный вектор ускорения — можно будет получить только ту составляющую вектора ускорения, которая перпендикулярна \(\vec r\ ).

Частица имеет угловую скорость в отрицательном направлении \(z\). Каким образом вектор скорости частицы находится в точке ее траектории, когда она находится на положительной оси \(y\)?

  1. Положительное \(z\) направление
  2. Отрицательное направление \(y\)
  3. Положительное направление \(x\)
  4. Отрицательное направление \(x\)

Вклады и атрибуции

Эта страница находится под лицензией CC BY-SA. Автор, ремикс и/или куратор — Говард Мартин, редактор — Алан Нг. Подробная история версий изменений исходного контента доступна по запросу.

Читайте также: