Диаметр компакт-диска равен 12 см. Найдите длину окружности этого диска, округлив число до десятых.

Обновлено: 28.06.2024

Периметр фигуры – это внешний край этой фигуры. Когда мы говорим о кругах, мы называем их окружностью. Отношение или дробь между длиной окружности и диаметром \(\left ( \frac>> \right )\) любого круга одинаково независимо от размера круга. Это соотношение равно \(>\) (pi).

В этом уроке показано, как найти длину окружности, зная диаметр или радиус. Вот несколько словарных слов, которые помогут вам в этом уроке.

Окружность = периметр (или внешний край) круга
Диаметр = расстояние поперек круга в самой широкой части.
Радиус = расстояние от центра круга до края или половина диаметра.
Отношение = отношение двух вещей посредством умножения и деления.

Стандартные математические форматы с числом Пи

Когда pi является частью решения, есть два способа отобразить решение. Первый способ — записать числовую часть решения, умноженную на число пи, например 13\(\pi\) футов или 5,3\(\pi\) см. Обычно мы пишем число, затем пи, а затем единицы измерения.

Второй способ показать свое решение — умножить числовую часть решения на число "пи" и затем округлить его до соответствующего разряда. (Пример: 13\(\pi\) футов = 40,84 фута с округлением до сотых)

В этом курсе мы всегда будем умножать пи на наше решение и округлять до соответствующего разряда. Просто знайте, что обычно используется другой способ, и вы можете увидеть его в учебниках или других классах как стандартный способ написания решений, когда задействовано число Пи.

Дополнительные ресурсы

Khan Academy: Обозначение частей круга (2:00 минуты; расшифровка)
Академия Хана: радиус, диаметр, окружность и число π (11:05 мин.; расшифровка)

Решения

Мы пытаемся найти длину окружности или периметр круга диаметром 36.

Мы знаем, что радиус равен половине длины диаметра.

Поскольку диаметр равен 36, это означает, что радиус равен 18, поскольку радиус составляет половину диаметра. Чтобы найти длину окружности, нам нужно использовать формулу:

Первое, что нам нужно сделать, это заменить «r» на 18

Поскольку мы можем умножать в любом порядке, мы можем умножить 2 на 18, что дает нам:

Это приемлемый ответ, но мы также можем умножить 36 на \(>\), чтобы получить:

Таким образом, длина окружности при округлении до ближайшего целого числа составляет около 113.

Чтобы найти длину окружности или периметр круга, нам нужно использовать следующую формулу:

Первое, что нам нужно сделать, это заменить «r» на 10

Поскольку мы можем умножать в любом порядке, мы можем умножить 2 на 10, что дает нам:

Это приемлемый ответ, но мы также можем умножить 20 на \(>\), чтобы получить:

Поэтому длина окружности при округлении до десятых долей составляет около 62,8 мм.

Круг – это фигура, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Он назван центром. Окружность слева называется окружностью A, так как центр находится в точке A. Если вы измерите расстояние вокруг окружности и разделите его на расстояние по окружности через центр, вы всегда будете приближаться к определенному значению, в зависимости от точность ваших измерений. Это значение приблизительно равно 3,14159265358979323846. Мы используем греческую букву (произносится Пи) для представления этого значения. Номер остается навсегда. Однако с помощью компьютеров было рассчитано более 1 триллиона знаков после запятой.

Расстояние по окружности называется окружностью. Расстояние по окружности через центр называется диаметром. это отношение длины окружности к диаметру. Таким образом, для любой окружности, если длину окружности разделить на диаметр, получится значение, близкое к . Эта связь выражается в следующей формуле:

где длина окружности, а диаметр. Вы можете проверить эту формулу дома на круглой тарелке. Если вы измерите окружность и диаметр пластины, а затем разделите на , ваше частное должно приблизиться к . Другой способ записать эту формулу: где · означает умножение. Эта вторая формула для нахождения длины окружности обычно используется в задачах, где диаметр задан, а длина окружности неизвестна (см. примеры ниже).

Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой точки окружности. Если вы поместите два радиуса из конца в конец в круге, вы получите ту же длину, что и один диаметр. Таким образом, диаметр круга в два раза больше радиуса. Это отношение выражается в следующей формуле длины окружности: , где диаметр, а радиус.

Окружность, диаметр и радиус измеряются в линейных единицах, таких как дюймы и сантиметры. Круг имеет много разных радиусов и много разных диаметров, каждый из которых проходит через центр. Реальным примером радиуса является спица велосипедного колеса. 9-дюймовая пицца является примером диаметра: когда делают первый надрез, чтобы разрезать круглый пирог для пиццы пополам, этот надрез и есть диаметр пиццы. Таким образом, 9-дюймовая пицца имеет диаметр 9 дюймов. Рассмотрим несколько примеров нахождения окружности. В этих примерах мы будем использовать = 3,14 для упрощения вычислений.

Пример 1. Радиус круга равен 2 дюймам. Какой диаметр?

= 2 · (2 дюйма)

Пример 2. Диаметр круга равен 3 сантиметрам. Какова окружность?

= 3,14 · (3 см)

Пример 3. Радиус круга равен 2 дюймам. Какова окружность?

= 2 · (2 дюйма)

= 3,14 · (4 дюйма)

Пример 4. Длина окружности равна 15,7 сантиметра. Какой диаметр?

15,7 см = 3,14 ·

15,7 см ÷ 3,14 =

= 15,7 см ÷ 3,14

Вывод: число – это отношение длины окружности к ее диаметру. Значение приблизительно равно 3,14159265358979323846. Диаметр круга в два раза больше радиуса. Зная диаметр или радиус круга, мы можем найти длину окружности. Мы также можем найти диаметр (и радиус) круга, зная длину окружности. Формулы для диаметра и длины окружности приведены ниже. Мы округлим до 3,14, чтобы упростить расчеты.

Для получения дополнительной помощи просмотрите видео "Окружность круга"

Упражнения

Вопросы по окружности круга: щелкните один раз в ПОЛЕ ОТВЕТА и введите свой ответ; затем нажмите ВВОД. После того, как вы нажмете ENTER, в ОКНЕ РЕЗУЛЬТАТОВ появится сообщение, указывающее, является ли ваш ответ правильным или неправильным. Чтобы начать сначала, нажмите ОЧИСТИТЬ. Используйте = 3.14 для расчета ответов.

Цели обучения

· Определение свойств кругов.

· Найдите длину окружности.

· Найдите площадь круга.

· Найдите площадь и периметр составных геометрических фигур.

Введение

Окружности — распространенная форма. Вы видите их повсюду — колеса автомобиля, фрисби, летящие по воздуху, компакт-диски с данными. Это все круги.

Окружность – это двумерная фигура, такая же, как многоугольники и четырехугольники. Однако круги измеряются не так, как эти другие фигуры — вам даже придется использовать некоторые другие термины для их описания. Давайте посмотрим на эту интересную форму.

Свойства кругов

Круг представляет собой набор точек, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от фиксированной средней точки. Эта неподвижная точка называется центром. Расстояние от центра круга до любой точки на круге называется радиусом.

Когда два радиуса (множественное число от радиуса) соединяются вместе, образуя отрезок, пересекающий окружность, получается диаметр. Диаметр круга проходит через центр круга и имеет конечные точки на самом круге.

Диаметр любого круга в два раза больше длины радиуса этого круга. Его можно представить выражением 2r, или «удвоенный радиус». Итак, если вы знаете радиус круга, вы можете умножить его на 2, чтобы найти диаметр; это также означает, что если вы знаете диаметр круга, вы можете разделить его на 2, чтобы найти радиус.

Найдите диаметр круга.

d = 2r

Диаметр в два раза больше радиуса, или 2r. Радиус этого круга равен 7 дюймам, поэтому диаметр равен 2(7) = 14 дюймов.

Диаметр 14 дюймов.

Найдите радиус окружности.

Радиус равен половине диаметра или . Диаметр этого круга равен 36 футам, поэтому радиус равен футам.

Радиус 18 футов.

Окружность

Расстояние по окружности называется d.

Одним интересным свойством кругов является то, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для всех кругов. Независимо от размера круга, соотношение длины окружности и диаметра будет одинаковым.

Некоторые фактические размеры различных предметов представлены ниже. Измерения точны до ближайшего миллиметра или четверти дюйма (в зависимости от используемой единицы измерения). Посмотрите на отношение длины окружности к диаметру для каждого из них — хотя предметы разные, соотношение для каждого из них примерно одинаковое.

Окружность (C) (с округлением до сотых)

Диаметр (d)

Окружность и диаметр являются приблизительными измерениями, поскольку нет точного способа точно измерить эти размеры. Однако, если бы вы могли измерить их более точно, вы бы обнаружили, что отношение приближается к 3,14 для каждого из приведенных пунктов. Математическое название соотношения . Это часто приблизительно равно 3,14 или .

является непрерывающимся, неповторяющимся десятичным числом, поэтому его невозможно записать полностью. Первые 10 цифр 3,141592653; его часто округляют до 3,14 или оценивают как дробь. Обратите внимание, что и 3,14, и являются приближенными значениями и используются в расчетах, где точность не важна.

Поскольку вы знаете, что отношение длины окружности к диаметру (или ) одинаково для всех кругов, вы можете использовать это число, чтобы найти длину окружности, если знаете ее диаметр.

= , поэтому C = d

Также, поскольку d = 2r, тогда C = d = (2r) = 2 р.

Окружность круга

Чтобы найти длину окружности (C) круга, используйте одну из следующих формул:

Если вы знаете диаметр (d) круга:

Если вы знаете радиус (r) круга:

Найдите длину окружности.

Чтобы рассчитать длину окружности при диаметре 9 дюймов, используйте формулу . Используйте 3,14 в качестве приблизительного значения для .

Поскольку вы используете приближение для , вы не можете дать точное измерение окружности. Вместо этого вы используете символ для обозначения «приблизительно равно».

Окружность составляет 9 или приблизительно 28,26 дюйма.

Найдите длину окружности радиусом 2,5 м.

Чтобы рассчитать длину окружности при радиусе 2,5 ярда, используйте формулу . Используйте 3,14 в качестве приблизительного значения для .

Диаметр окружности составляет 5 или приблизительно 15,7 ярда.

Радиус окружности равен 8 дюймов. Какова его окружность, округленная до ближайшего дюйма?

Неверно. Вы умножили радиус на ; правильная формула для длины окружности при заданном радиусе: Правильный ответ: 50 дюймов.

Верно. Если радиус равен 8 дюймов, то правильная формула для длины окружности при заданном радиусе будет выглядеть так. Правильный ответ: 50 дюймов.

Неверно. Вы возвели в квадрат 8 дюймов, чтобы получить ответ 64 дюйма 2 ; это даст вам площадь квадрата со стороной 8 дюймов. Помните, что формула для длины окружности, когда задан радиус, равна . Правильный ответ: 50 дюймов.

Неверно. Похоже, вы возвели 8 в квадрат, а затем умножили 64, чтобы получить этот ответ. Помните, что формула для длины окружности, когда задан радиус, равна . Правильный ответ: 50 дюймов.

является важным числом в геометрии. Вы уже использовали его для вычисления длины окружности. Вы также используете, когда вычисляете площадь круга.

Площадь круга

Чтобы найти площадь (A) круга, используйте формулу:

Найдите площадь круга.

Чтобы найти площадь этого круга, используйте формулу .

Не забудьте записать ответ в квадратных единицах, так как вы находите площадь.

Площадь составляет 9 или приблизительно 28,26 футов 2 .

Кнопка имеет диаметр 20 миллиметров. Какова площадь кнопки? Используйте 3,14 в качестве приблизительного значения .

Неверно. Вы нашли длину окружности пуговицы: 20 • 3,14 = 62,8. Чтобы найти площадь, используйте формулу . Правильный ответ: 314 мм 2 .

Верно. Диаметр 20 мм, поэтому радиус должен быть 10 мм. Затем по формуле находим мм 2 .

Неверно. Вы возвели 20 в квадрат, чтобы получить 400 мм 2 ; это дает вам площадь квадрата со стороной 20, а не площадь круга. Чтобы найти площадь, используйте формулу . Правильный ответ: 314 мм 2 .

Неверно. Похоже, вы возвели 20 в квадрат, а затем умножили на . 20 это диаметр, а не радиус! Чтобы найти площадь, используйте формулу . Правильный ответ: 314 мм 2 .

Составные фигуры

Теперь, когда вы знаете, как вычислить длину окружности и площадь круга, вы можете использовать эти знания для нахождения периметра и площади составных фигур. Хитрость в решении этих типов задач состоит в том, чтобы идентифицировать формы (и части фигур) в составной фигуре, вычислить их отдельные размеры, а затем сложить их вместе.

Например, посмотрите на изображение ниже. Можно ли найти периметр?

Первый шаг — определить более простые фигуры в этой составной фигуре. Вы можете разбить его на прямоугольник и полукруг, как показано ниже.

Вы знаете, как найти периметр прямоугольника и длину окружности. Здесь периметр трех твердых сторон прямоугольника равен 8 + 20 + 20 = 48 футов. (Обратите внимание, что только три стороны прямоугольника добавятся к периметру составной фигуры, потому что другая сторона не является краем, она покрыта полукругом!)

Чтобы найти длину окружности полукруга, используйте формулу с диаметром 8 футов, затем возьмите половину результата. Окружность полукруга равна , или примерно 12,56 фута, поэтому общий периметр составляет около 60,56 фута.

Найдите периметр (с точностью до сотых) составной фигуры, составленной из полукруга и треугольника.

Определите меньшие фигуры в составной фигуре. Эта фигура содержит полукруг и треугольник.

Диаметр (d) = 1

Диаметр полукруга = или приблизительно 1,57 дюйма

Найдите длину окружности. Затем разделите на 2, чтобы найти длину окружности полукруга.

Найдите общий периметр, сложив длину окружности полукруга и длины двух сторон. Поскольку наше измерение длины окружности полукруга является приблизительным, периметр также будет приблизительным.

Примерно 3,57 дюйма

Найдите площадь составной фигуры, состоящей из трех четвертей круга и квадрата, с точностью до сотых.

Определите меньшие фигуры в составной фигуре. Эта фигура содержит круглую область и квадрат. Если вы найдете площадь каждого, вы можете найти площадь всей фигуры.

Найдите площадь квадрата.

Найдите площадь круглой области. Радиус составляет 2 фута.

Обратите внимание, что область представляет собой целый круг, поэтому вам нужно умножить площадь круга на . Используйте 3,14 в качестве приблизительного значения для .

4 фута 2 + 2 фута = примерно 13,42 фута 2

Сложите два региона вместе. Поскольку ваше измерение площади круга является приблизительным, площадь фигуры также будет приблизительной.

Площадь составляет примерно 13,42 фута 2 .

Какова площадь (с точностью до сотых) фигуры, показанной ниже? (Обе закругленные области представляют собой полукруги.)

Неверно. Похоже, вы вычислили площадь круга, используя радиус 2; на этом рисунке радиус каждого круга равен 1. Чтобы найти площадь фигуры, представьте, что два полукруга соединены вместе, чтобы создать один круг. Затем вычислите площадь круга и прибавьте ее к площади квадрата. Правильный ответ: 7,14 дюйма 2 .

Верно. Представьте, что два полукруга соединяются вместе, чтобы создать один круг. Радиус круга равен 1 дюйму; это означает, что площадь круга. Площадь квадрата равна 2 • 2 = 4. Сложив их вместе, мы получим 7,14 в 2 .

Неверно. Похоже, вы рассчитали площадь квадрата, а не круга. Представьте, что два полукруга соединены вместе, чтобы создать один круг. Затем вычислите площадь круга и прибавьте ее к площади квадрата. Правильный ответ: 7,14 дюйма 2 .

Неверно. Похоже, вы рассчитали площадь круга, а не квадрата. Вычислите площадь квадрата и прибавьте к площади круга. Правильный ответ: 7,14 дюйма 2 .

Круги – важная геометрическая фигура. Расстояние вокруг круга называется окружностью, а внутреннее пространство круга называется площадью. Для вычисления длины окружности и площади круга требуется число, называемое пи ( ), которое является непрерывающимся и неповторяющимся десятичным числом. Пи часто аппроксимируют значениями 3,14 и . Вы можете найти периметр или площадь составных фигур, включая фигуры, содержащие круглые сечения, применяя формулы длины окружности и площади, где это необходимо.

Цели

o Определите некоторые основные части круга, такие как радиус и диаметр

o Вычислить длину окружности

o Вычислить площадь круга

В этой статье мы рассмотрим геометрическую фигуру, которая не состоит из прямых отрезков, а имеет изогнутую форму: круг. Мы применим то, что знаем об алгебре, к изучению окружностей и тем самым определим некоторые свойства этих фигур.

Введение в круги

Представьте себе точку P, имеющую определенное местоположение; затем представьте себе все возможные точки, которые находятся на некотором фиксированном расстоянии r от точки P. Некоторые из этих точек показаны ниже. Если бы мы нарисовали все (бесконечное число) точек, находящихся на расстоянии r от P, мы получили бы круг, который показан ниже как сплошная линия.

Таким образом, окружность — это просто набор всех точек, равноудаленных (то есть находящихся на одинаковом расстоянии) от центральной точки (P в приведенном выше примере). Расстояние r от центра круга до самого круга называется радиусом; удвоенный радиус (2r) называется диаметром. Радиус и диаметр показаны ниже.

Диаметр круга

Как и в случае с треугольниками и прямоугольниками, мы можем попытаться вывести формулы для площади и «периметра» круга. В отличие от треугольников, прямоугольников и других подобных фигур, расстояние вокруг внешней стороны круга называется окружностью, а не периметром, однако концепция, по сути, та же. Однако вычисление длины окружности не так просто, как вычисление периметра прямоугольника или треугольника.Учитывая, что объект в реальной жизни имеет форму круга, один из подходов может заключаться в том, чтобы обернуть нить ровно один раз вокруг объекта, а затем выпрямить нить и измерить ее длину. Такой процесс показан ниже.

Очевидно, что по мере того, как мы увеличиваем диаметр (или радиус) круга, круг становится больше, и, следовательно, длина окружности также увеличивается. Мы приходим к мысли, что, таким образом, существует некоторая связь между окружностью и диаметром. Оказывается, если мы измерим длину окружности и диаметр любого круга, мы всегда обнаружим, что длина окружности чуть больше, чем в три раза превышает диаметр. Два примера кругов ниже иллюстрируют эту точку, где D – диаметр, а C – длина окружности каждого круга.

Опять же, в каждом случае длина окружности чуть более чем в три раза превышает диаметр круга. Если мы разделим длину окружности любого круга на его диаметр, мы получим постоянное число. Эта константа, которую мы обозначаем греческим символом π (пи), приблизительно равна 3,141593. Точное значение π неизвестно, и предполагается, что число пи является иррациональным числом (неповторяющимся десятичным числом, поэтому его нельзя представить в виде дроби с целым числителем и целым знаменателем). Запишем упомянутое выше соотношение: отношение длины окружности (C) к диаметру (D) равно постоянному числу π.

Мы можем получить выражение для длины окружности через диаметр, умножив обе части приведенного выше выражения на D, тем самым изолировав C.

Поскольку диаметр в два раза больше радиуса (другими словами, D = 2r), мы можем заменить на 2r. >D в приведенном выше выражении.

Таким образом, мы можем вычислить длину окружности, если нам известен радиус окружности (или, следовательно, ее диаметр). Для большинства расчетов, требующих десятичного ответа, часто бывает достаточно оценки π как 3,14. Например, если круг имеет радиус 3 метра, то его длина окружности C будет следующей.

Ответ, приведенный выше, точен (даже несмотря на то, что он записан с помощью символа π). Если нам нужен приблизительный числовой ответ, мы можем оценить π как 3,14. Затем

Символ ≈ просто означает «приблизительно равно».

Практическая задача: Круг имеет радиус 15 дюймов. Какова его окружность?

Решение: Давайте начнем с рисования диаграммы ситуации. Такой подход может быть очень полезен, особенно в ситуациях, связанных с кругами, где радиус и диаметр легко перепутать.

Поскольку нам дан радиус, мы должны либо вычислить длину окружности (C), используя выражение для радиуса, либо преобразовать радиус в диаметр (удвоенный радиус) и используйте выражение в терминах диаметра. Для простоты мы будем использовать первый подход.

Этот результат точен. Если нам нужен приблизительный десятичный результат, мы можем использовать π ≈ 3,14.

Площадь круга

Точно так же, как вычисление длины окружности сложнее, чем вычисление треугольника или прямоугольника, так же вычисляется и площадь. Давайте попробуем получить оценку площади круга, нарисовав круг внутри квадрата, как показано ниже. Площадь круга заштрихована.

Давайте нарисуем вертикальный диаметр и горизонтальный диаметр в круге; мы будем обозначать эти диаметры как имеющие длину D. Обратите внимание, что по сравнению с квадратом квадрат также должен иметь стороны длины D.

Мы знаем, что квадрат (который представляет собой прямоугольник, длина и ширина которого равны) со сторонами длины D имеет следующую площадь A_{square (обратите внимание, что мы добавляем нижний индекс, чтобы идентифицировать эту площадь как площадь квадрата — мы добавим аналогичный нижний индекс в случае площади круга):}

Поскольку круг диаметром D очевидно имеет меньшую площадь, чем квадрат со сторонами длиной D, мы знаем, что площадь круга должна быть меньше, чем Д 2 . Присмотревшись, мы можем предположить, что площадь A_circle круга составляет примерно три четверти площади квадрата. Таким образом,

Как оказалось, это предположение близко к реальному результату. С помощью более сложной математики, выходящей за рамки учебника, можно показать, что площадь круга точно следующая:

Обратите внимание, что снова появляется число π. Давайте теперь сравним этот точный результат с нашим предположением сверху. Мы просто изменим выражение, имея в виду, что радиус (r) равен половине диаметра (D) — другими словами, D = 2р.

Подставим это значение для r в выражение для площади круга; мы должны сделать замену дважды. Затем мы можем несколько упростить выражение.

Поскольку π приблизительно равно 3,14, то

Таким образом, наша догадка была очень близка к реальной местности!

Практическая задача: Круг имеет диаметр 6 сантиметров. Какова его площадь?

Решение. Обратите внимание, что указан диаметр, а не радиус. Таким образом, если мы хотим использовать выражение для площади через радиус, мы должны преобразовать диаметр в радиус (просто разделив диаметр пополам).

Теперь мы можем вычислить площадь по следующей формуле.

Опять же, этот ответ 9 квадратных сантиметров является точным. Но,

Это приблизительный результат, но во многих случаях его будет достаточно.

Практическое задание: окружность окружности составляет 8π футов. Какова его площадь?

Решение. Мы узнали, что длина окружности тесно связана с радиусом (и диаметром). Таким образом, используя это известное значение длины окружности, мы можем вычислить радиус и использовать его для нахождения площади. Во-первых, давайте решим выражение для длины окружности, чтобы получить радиус.

Мы хотим изолировать r, мы можем использовать тот же подход, что и при решении линейных уравнений.

Читайте также: