Как вычислить коммутатор двух операторов
Обновлено: 19.05.2024
Привет, каково истинное значение и полезность коммутатора в:
и как его можно использовать для решения родительского ОДУ?
В книге по КМ коммутатор двух операторов уравнения Шредингера после факторизации равен 1, и это коммутационное соотношение используется для решения ОДУ. Однако это может работать только с этим уравнением, а не тогда, когда коммутатор намного сложнее, чем 1, как в данном примере уравнения Шрёдингера:
У меня есть ODE, в котором есть следующие операторы с коммутатором:
Что это на самом деле говорит об ОДУ и его свойствах? Можно ли с его помощью решить ОДУ или переписать его другим способом?
Ответы и ответы
Привет, каково истинное значение и полезность коммутатора в:
[Некоторые материалы удалены]
[itex]\gamma[/itex] — это просто константа? В этом случае [itex][T, T'] = 0[/itex] для этих двух операторов.
Извините, но я думаю, что вы все допустили здесь ошибку.
Последовательность действий:
Откуда взялся этот (0)?
Вы хорошо представляете себе, что такое коммутатор?
Откуда взялся этот (0)?
Вы хорошо представляете себе, что такое коммутатор?
Этому меня на самом деле научил профессор QM, что:
поскольку последний равен нулю
Показывает, что даже профессура не является адекватной защитой, но я подозреваю, что бедняга каким-то образом неправильно процитирован.
Этому меня на самом деле научил профессор QM, что:
поскольку последний равен нулю
Это неправильно. [itex]\frac \gamma\neq 0[/itex]. Почему бы и нет?
- Его можно интерпретировать как функцию, значение которой постоянно.
- Его можно интерпретировать как оператор над функциями, возвращающий кратное значение исходной функции.
Коммутаторы работают с операторами. Когда вы пишете произведение двух операторов [itex]A B[/itex], значение этого НЕ [itex]A[/itex], действующее на [itex]B[/itex]. Смысл в том, что [itex]A B[/itex] — это новый оператор, действие которого на функцию [itex]f(x)[/itex] определяется выражением:
[itex]A B f(x) = A (B f(x))[/itex]
Во-первых, вы работаете с [itex]B[/itex]. Результатом является новая функция. Затем вы позволяете [itex]A[/itex] работать с этим.
Поэтому смысл [itex]\frac \gamma[/itex] НЕ в том, чтобы "взять производную от постоянной функции [itex]\gamma[/itex]". Как оператор, он определяется:
[itex]\frac \gamma f(x) = \frac (\gamma f(x)) = \gamma \frac f(x) = \gamma \frac[/itex]
Во-первых, вы позволяете [itex]\gamma[/itex] воздействовать на [itex]f(x)[/itex], чтобы получить константу, кратную исходной функции, [itex]\gamma f(x)[/ итекс]. Затем вы позволяете [itex]\frac[/itex] работать с этим.
Таким образом, в результате воздействия [itex]\frac \gamma[/itex] на [itex]f(x)[/itex] получается [itex]\gamma \frac[/itex]. Что не равно нулю.
В виде операторного уравнения мы можем написать:
[itex]\frac \gamma = \gamma \frac[/itex]
Другими словами, как операторы, [itex]\gamma[/itex] и [itex]\frac[/itex] коммутируют.
Как обсуждалось в предыдущем разделе, стандартное отклонение — это мера неопределенности свойства квантовой системы. Чем больше стандартное отклонение, тем дальше типичные измерения отклоняются от ожидаемого среднего значения. Квантовая механика часто требует минимальной неопределенности, когда задействовано более одной величины, например, положение и линейный импульс в принципе неопределенности Гейзенберга. Как правило, такая степень неопределенности связана с важным математическим объектом, называемым коммутатором , который будет обсуждаться в этом разделе.
4 . 5 . 1 Коммутирующие операторы
Во-первых, обратите внимание, что нет фундаментальной причины, по которой несколько величин не могут иметь определенное значение одновременно. Например, если электрон атома водорода находится в собственном состоянии, его полная энергия, квадратный угловой момент и составляющая углового момента имеют определенные значения с нулевой неопределенностью.
В более общем случае две разные величины с операторами и имеют определенные значения, если волновая функция является собственной функцией обоих и Таким образом, вопрос о том, могут ли две величины быть определенными одновременно, заключается в том, действительно ли их операторы и имеют общие собственные функции. И оказывается, что ответ связан с тем, «коммутируют» ли эти операторы, другими словами, можно ли изменить их порядок на обратный, как в
Если два эрмитовых оператора коммутируют, существует полный набор собственных функций, общий для них обоих.
Например, операторы и гармонического осциллятора из главы 4.1.2 коммутируют:
Это верно, поскольку не имеет значения, дифференцируете ли вы сначала относительно, а затем относительно или наоборот, и поскольку можно вытянуть перед дифференциациями, а можно затолкнуть внутрь дифференциаций, и поскольку умножения всегда можно выполнять в любом порядке.
Точно так же коммутирует с и и, значит, коммутирует со всеми ними, так как это просто их сумма. Итак, эти четыре оператора должны иметь общий набор собственных функций, и они есть: это набор собственных функций, полученный в главе 4.1.2.
Аналогично, для атома водорода гамильтониан полной энергии, оператор квадрата углового момента и компонента углового момента коммутируют, и они имеют общий набор собственных функций
Обратите внимание, что такие собственные функции не обязательно являются единственной игрой в городе. В качестве контрпримера: атом водорода и составляющая углового момента также коммутируют, и у них тоже есть общий набор собственных функций. Но этого не будет, так как и не коммутируют. (Однако это будет после того, как вы повернете их все на 90 градусов вокруг оси.) Конечно, математически было бы проще, если бы каждый оператор имел только один уникальный набор собственных функций, но природа не сотрудничает.
Операторы коммутируют, если вы можете изменить их порядок, как вДля коммутирующих операторов существует общий набор собственных функций.
Для этих собственных функций все физические величины, соответствующие коммутирующим операторам, одновременно имеют определенные значения.
Состояние указателя
является одним из собственных состояний, общих для и . Убедитесь, что это не собственное состояние, общее с и .
4 . 5 . 2 Некоммутирующие операторы и их коммутатор
Две величины с операторами, которые не коммутируют, не могут, вообще говоря, иметь определенные значения в одно и то же время. Если одно имеет определенное значение, другое, как правило, является неопределенным.
Квалификация в целом необходима, поскольку могут быть исключения. Операторы углового момента не коммутируют, но угловой момент все же может быть равен нулю во всех трех направлениях. Но поскольку угловой момент в любом направлении отличен от нуля, только одна составляющая углового момента может иметь определенное значение.
Мерой величины, на которую два оператора и не коммутируют, является разница между ними, и эта разница называется их «коммутатором»
Ненулевой коммутатор требует минимальной неопределенности в соответствующих величинах, и можно показать, что неопределенности или стандартные отклонения in и in по крайней мере настолько велики, что:
Это уравнение называется "общим соотношением неопределенностей".
Коммутатор двух операторов и равен и записывается какПроизведение неопределенностей в двух величинах не менее половины величины среднего значения их коммутатора.
4 . 5 . 3 Соотношение неопределенностей Гейзенберга
В этом разделе будет вычислено соотношение неопределенностей (4.46) из предыдущего подраздела для положения и импульса в произвольном направлении. Результатом будет точная математическая формулировка принципа неопределенности Гейзенберга.
Чтобы быть точным, в качестве оси будет взято произвольное направление, поэтому оператор положения будет и оператор линейного количества движения. Эти два оператора не коммутируют, это просто не то же самое, что значит умножить функцию на, чтобы получить функцию продукта, а затем применить к этому продукту, в то время как средство применить, а затем умножить полученную функцию на Разница находится при записи:
второе равенство, полученное в результате дифференциации продукта.
Сравнение start и end показывает, что разница между и не равна нулю, но по определению эта разница является их коммутатором:
Этот важный результат называется «каноническим коммутационным соотношением». Коммутатор положения и импульса в одном и том же направлении есть ненулевая константа
Поскольку коммутатор не равен нулю, должна присутствовать ненулевая неопределенность. Действительно, обобщенное соотношение неопределенностей предыдущего подраздела в этом случае принимает вид:
Это соотношение неопределенностей, впервые сформулированное Гейзенбергом.
Это означает, что когда неопределенность положения сужена до нуля, неопределенность импульса должна стать бесконечной, чтобы их произведение оставалось ненулевым, и наоборот.В более общем смысле вы можете сузить положение частицы и ее импульс. Но вы никогда не сможете уменьшить произведение неопределенностей и ниже того, что вы делаете.
Следует отметить, что соотношение неопределенностей часто записывается как или даже как где и считается расплывчато описанными неопределенностями импульса и положения, а не строго определенными стандартными отклонениями. И люди пишут соответствующее отношение неопределенности для времени, потому что теория относительности предполагает, что со временем следует обращаться так же, как с пространством. Но обратите внимание, что в отличие от оператора линейного импульса гамильтониан вовсе не универсален. Итак, вы можете догадаться, что определение неопределенности во времени тоже не будет универсальным, и вы будете правы, глава 7.2.2.
Канонический коммутатор равенЕсли либо неопределенность положения в заданном направлении, либо неопределенность линейного количества движения в этом направлении сужается до нуля, другая неопределенность возрастает.
Произведение двух неопределенностей равно как минимум константе
Звучит серьезно! Если я еду на своей машине, полиция требует, чтобы я знал свою скорость (линейный импульс). Кроме того, я хотел бы знать, где я нахожусь. Но согласно квантовой механике ни то, ни другое невозможно.
4 . 5 . 4 Справочник по коммутатору
Это факт жизни в квантовой механике, что коммутаторы появляются повсюду. Не только в соотношениях неопределенностей, но и во временной эволюции ожидаемых значений, в угловом моменте и в квантовой теории поля, передовой теории квантовой механики, используемой в твердых телах и релятивистских приложениях. Этот раздел может облегчить вам работу с ними. Просмотрите его, чтобы увидеть, что там. Затем возвращайтесь, когда вам это нужно.
Напомним определение коммутатора любых двух операторов и
По самому этому определению коммутатор равен нулю для любых двух операторов и их коммутации (порядок которых можно поменять местами):
Если все операторы ездят на работу, то и все их продукты тоже ездят на работу:
Конечно, все коммутирует само с собой:
и все коммутирует с числовой константой; если оператор и некоторое число, то:
Коммутатор антисимметричен; или проще говоря, если поменять местами стороны; он изменит знак, :
Однако в остальном линейные комбинации умножаются, как и следовало ожидать:
(в котором предполагается, что и являются операторами, а и числовыми константами.)
Чтобы иметь дело с коммутаторами, включающими произведения операторов, следует помнить следующее правило: «первый множитель выходит перед коммутатором, второй — сзади». Точнее:
Таким образом, если или коммутирует с другой стороной оператора, его можно просто вывести на его стороне; (второй коммутатор будет равен нулю.) Например,
Теперь от общего к частному. Поскольку смена сторон в коммутаторе просто меняет его знак, с этого момента будет показана только одна из двух возможностей. Сначала все операторы положения взаимно коммутируют:
как и операторы, зависящие от положения, такие как потенциальная энергия
Это показывает, что если все операторы коммутируют, то коммутируют и все комбинации этих операторов.
Все операторы импульса взаимно коммутируют:
Однако операторы положения и операторы импульса в одном и том же направлении не коммутируют; вместо этого:
Как видно из предыдущего подраздела, это отсутствие коммутации вызывает принцип неопределенности Гейзенберга. Операторы положения и импульса в разных направлениях коммутируют:
Обобщение, которое часто бывает очень полезным:
где любая функция и
В отличие от операторов линейного количества движения, операторы углового момента не коммутируют друг друга. Коммутаторы задаются так называемыми «фундаментальными коммутационными соотношениями»:
Обратите внимание на порядок индексов, который дает положительные знаки; обратный порядок добавляет знак минус. Например, потому что следующее в обратном порядке.
Все компоненты углового момента коммутируют с оператором квадратного углового момента:
Просто противоположная ситуация для операторов импульса, положения и углового момента, коммутирующих в одном и том же направлении,
а вот те, что в разные стороны - нет:
Квадратное положение коммутирует со всеми компонентами углового момента,
Коммутатор между положением и квадратным угловым моментом, если для краткости использовать векторную запись,
Коммутаторы между линейным и угловым моментом очень похожи на коммутаторы между положением и угловым моментом:
Также полезны следующие коммутаторы:
Коммутаторы со спином обсуждаются в следующей главе, 5.5.3.
Даны правила вычисления коммутаторов.Вернитесь к этому подразделу, если вам нужно разобраться с тем или иным коммутатором.
Я понимаю математику коммутационных и антикоммутационных соотношений, но что физически означает для наблюдаемого (самосопряженного оператора) коммутация с другим наблюдаемым (самосопряженным оператором) в квантовой механике?
Например. оператор $A$ с гамильтонианом $H$?
$\begingroup$ Когда вы говорите, что разбираетесь в математике, понимаете ли вы также связь с теорией представлений и симметриями? $\endgroup$
$\begingroup$ Вы спрашиваете о физических последствиях и следствиях (а не о математическом определении, которое вы уже знаете) при коммутации двух операторов? $\endgroup$
$\begingroup$ На самом деле, если два оператора коммутируют, то существует четкая физическая интерпретация - они оба являются элементами полного набора коммутирующих наблюдаемых - т.е. вы можете производить измерения на системе обоих наблюдаемых в любом порядке, а также одновременно - например $L$ - полный угловой момент и $L_z$ составляющая $z$. Если два оператора не коммутируют, любое измерение одного из них с определенной точностью приведет к неопределенности ожидаемого значения второго оператора, например. положение и импульс. $\endgroup$
7 ответов 7
Давайте сначала переформулируем математическое утверждение о том, что два оператора $\hat A$ и $\hat B$ коммутируют друг с другом. Это означает, что $$\hat A \hat B - \hat B \hat A = 0,$$, которое можно переставить в $$\hat A \hat B = \hat B \hat A.$$
Если вы вспомните, что операторы воздействуют на квантово-механические состояния и взамен дают вам новое состояние, то это означает, что при коммутации $\hat A$ и $\hat B$ состояние, которое вы получить, если сначала $\hat A$, а затем $\hat B$ воздействовать на некоторое начальное состояние, то же самое, как если бы сначала $\hat B$, а затем $\hat A$ воздействовали на это состояние: $$\hat A \hat B | \psi \rangle = \шляпа B \шляпа A | \psi \rangle.$$
Это не тривиальное заявление. Многие операции, такие как вращение вокруг разных осей, не коммутируют, и, следовательно, конечный результат зависит от того, как вы упорядочили операции.
Итак, каковы важные последствия? Вспомните, что когда вы выполняете квантово-механическое измерение, вы всегда будете измерять собственное значение вашего оператора, и после измерения ваше состояние останется в соответствующем собственном состоянии. Собственными состояниями оператора являются именно те состояния, для которых нет неопределенности в измерении: вы всегда будете измерять собственное значение с вероятностью $1$. Примером являются энергетические собственные состояния. Если вы находитесь в состоянии $|n\rangle$ с собственной энергией $E_n$, вы знаете, что $H|n\rangle = E_n |n \rangle$, и вы всегда измеряете эту энергию $E_n $.
Что если мы хотим измерить две разные наблюдаемые, $\hat A$ и $\hat B$? Если мы сначала измерим $\hat A$, мы узнаем, что система остается в собственном состоянии $\hat A$. Это может изменить результат измерения $\hat B$, поэтому в целом важен порядок ваших измерений. Не так с коммутирующими переменными! В каждом учебнике показано, что если $\hat A$ и $\hat B$ коммутируют, то можно получить набор базисных состояний $| a_n b_n\rangle$, которые являются собственными состояниями оба $\hat A$ и $\hat B$. Если это так, то любое состояние можно записать в виде линейной комбинации вида $$| \Psi \rangle = \sum_n \alpha_n | a_n b_n \rangle$$, где $|a_n b_n\rangle$ имеет $\hat A$-собственное значение $a_n$ и $\hat B$-собственное значение $b_n$. Теперь, если вы измерите $\hat A$, вы получите результат $a_n$ с вероятностью $|\alpha_n|^2$ (при условии отсутствия вырождения; если собственные значения вырождены, аргумент по-прежнему остается верным, но становится немного громоздким для записи вниз). Что, если мы сначала измерим $\hat B$? Тогда мы получаем результат $b_n$ с вероятностью $|\alpha_n|^2$ и система остается в соответствующем собственном состоянии $|a_n b_n \rangle$. Если мы сейчас измерим $\hat A$, мы всегда будем получать результат $a_n$. Таким образом, общая вероятность получения результата $a_n$ снова равна $|\alpha_n|^2$. Таким образом, не имело значения, что мы измерили $\hat B$ раньше, это не изменило результат измерения для $\hat A$.
EDIT Теперь позвольте мне еще немного расширить. До сих пор мы говорили о некоторых операторах $\hat A$ и $\hat B$.Теперь спросим: что значит, когда некоторая наблюдаемая $\hat A$ коммутирует с гамильтонианом $H$? Во-первых, мы получаем весь результат вышеизложенного: существует одновременный собственный базис собственных состояний энергии и собственных состояний $\hat A$. Это может значительно упростить задачу диагонализации $H$. Например, гамильтониан атома водорода коммутирует с $\hat L$, оператором углового момента, и с $\hat L_z$, его $z$-компонентой. Это говорит о том, что вы можете классифицировать собственные состояния по угловым и магнитным квантовым числам $l$ и $m$, и вы можете независимо диагонализовать $H$ для каждого набора $l$ и $m$. Есть и другие примеры этого.
Еще одним последствием является зависимость от времени. Если ваша наблюдаемая $\hat A$ не имеет явной зависимости от времени, введенной в ее определение, то, если $\hat A$ коммутирует с $\hat H$, вы сразу знаете, что $\hat A$ — константа движения. Это связано с теоремой Эренфеста $$\frac \langle \hat A \rangle = \frac <\hbar>\langle [\hat A, \hat H] \rangle + \underbrace<\left\langle \frac<\ частичное \шляпа A> <\partial t>\right\rangle>_>$$
Почему операторы? [править | изменить источник ]
Когда мы работаем с уравнением Шредингера или с любой другой формулировкой квантовой механики, невозможно найти точные значения свойств. Вместо этого мы используем операторы.
Это могло бы показаться обманчиво простым, если бы мы не использовали операторы для энергии и импульса. Мы могли бы просто разделить на волновую функцию Ψ. Но, как и большинство вещей, это никогда не бывает просто. Оператор энергии действует на волновую функцию, как и оператор импульса. Поэтому нам нужно найти волновую функцию, чтобы понять смысл этого уравнения.
Взгляд на несколько распространенных операторов [ edit | изменить источник ]
Хотя теоретически мы могли бы придумать бесконечное количество операторов, на практике некоторые из них гораздо важнее любых других.
Импульс [ изменить | изменить источник ]
Оператор Momentum
Таким образом, относительная часть уравнения Шредингера станет
Энергия [ редактировать | изменить источник ]
Энергооператор
Так теперь выглядит Шредингер
Как видите, теперь это дифференциальное уравнение, которое может или не может быть легко решено в зависимости от потенциала V ( x ) .
Обратите внимание, что это одномерная форма уравнения Шредингера, она становится более сложной для более высоких измерений.
Гамильтониан [ редактировать | изменить источник ]
Мы часто называем правую часть этого уравнения оператором Гамильтона.
и представляет собой полную энергию частицы массы m в потенциальном поле V.
Ожидаемые значения [ редактировать | изменить источник ]
В квантовой механике все вероятностно (например, вероятность обнаружения частицы равна квадрату амплитуды волновой функции). Итак, мы часто хотим узнать математическое ожидание позиции, импульса или чего-то еще, и для этого есть довольно хороший способ.
Например, если бы вы знали волновую функцию и хотели бы найти математическое ожидание импульса, вы бы использовали уравнение
Обозначение Дирака (обозначение Бра-Кета) [ редактировать | изменить источник ]
Для упрощения записи Поль Дирак придумал новый способ записи состояний:
Теперь выражение для ожидаемого значения импульса можно записать в виде
являются векторами состояния.
Подробнее об обозначениях Дирака см. в Wikipedia:Bra-ket_notation
Коммутаторы [ редактировать | изменить источник ]
"А вы знаете, почему четыре минус один плюс десять равно четырнадцати минус один? Потому что сложение коммутативное, верно." --Том Лерер
Коммутаторы очень важны в квантовой механике. Помимо того, что Гейзенберг открыл принцип неопределенности, они часто используются в физике элементарных частиц. Известно, что вы не можете знать значение двух физических величин одновременно, если они не коммутируют.
Математическое определение коммутатора [ редактировать | изменить источник ]
Это значение равно 0, если они ездят на работу, и чему-то еще, если нет.
Как видите, все натуральные числа коммутируют. Например
Но если мы посмотрим на импульс и позицию, все станет интереснее
По сути, это означает, что вы не можете одновременно точно знать положение и импульс для данного момента времени. Не существует волновых функций, являющихся собственными функциями операторов положения и импульса, поэтому не существует возможного состояния системы, которое одновременно имеет определенное значение импульса и определенное значение положения.
Однако, если мы посмотрим на коммутатор между импульсом и энергией,
Из этого мы знаем, что импульс и энергия коммутируют. Таким образом, мы можем найти одновременные собственные функции энергии и импульса с определенными значениями двух наблюдаемых.
Читайте также: