Моделирование популяции животных в решении Excel
Обновлено: 23.11.2024
Несмотря на то, что линейная регрессия является широко используемым инструментом моделирования и анализа данных, некоторые наборы данных лучше моделируются нелинейными уравнениями. Есть несколько нелинейных уравнений, которые можно использовать для моделирования роста. В этом разделе мы рассмотрим один из них: экспоненциальный рост.
Представьте себе рост популяции бактерий. Этот вид одноклеточной жизни распространяется посредством бинарного деления. Один становится двумя, два становятся четырьмя, четыре становятся восемью и так далее. Население быстро увеличивается. Это пример экспоненциального роста. То есть количество, которое растет (или уменьшается) пропорционально самому себе на единицу входных данных.
Мы наблюдаем экспоненциальный рост (и спад) в реальном мире и в других ситуациях. Он проявляется в краткосрочном росте населения среди людей и животных, процентах, получаемых в банковском деле, радиоактивном распаде и даже в температуре остывающего из духовки пирога. Все, что растет или угасает со скоростью, пропорциональной самой себе, испытывает экспоненциальный рост или угасание.
Источник: Земная обсерватория НАСА
В качестве примера рассмотрим население США. По данным Бюро переписи населения США. В 1987 году в стране проживало 242,3 миллиона человек. К 2019 году их было 329,9 миллиона. С какой скоростью росло население? Еще несколько точек данных были бы полезны для получения хорошей модели. Небольшое исследование на веб-сайте Бюро переписи населения выявило следующую численность населения, [latex]y[/latex], за годы [latex]x[/latex] с 1987 года.
| x | 0 | 4 | 9 | 13 | 16 | 22 | 23 | 25 | 28 | 31 | 32 |
| y | 242,3 | 253,5 | 269,7 | 282,2 | 290,1 | 306,8 | 309,3 | 314,8 | 321,7 | 328,0 | 329,9 |
Давайте нанесем эти данные на диаграмму рассеяния в Excel и выполним экспоненциальную регрессию.
Экспоненциальная регрессия – это процесс подбора экспоненциальной функции к набору данных. Это выполняется с помощью программного обеспечения в виде электронной таблицы или графического калькулятора.
Практика работы с электронными таблицами: выполнение экспоненциальной регрессии прироста населения
Шаг 1. Сохраните данные в Excel и создайте диаграмму рассеивания и линию тренда
- Откройте новую электронную таблицу или книгу Excel и создайте два столбца для данных о населении, перечисленных выше, в столбцах B и C (столбец A пока оставьте пустым). Вы можете озаглавить столбец B «годы после 1987 года», а столбец C — «население в миллионах». Сохраняйте данные под заголовком каждого столбца.
- В столбце A введите формулу "=1987+B2" и нажмите Enter. Возьмите маркер заполнения в правом нижнем углу ячейки и потяните его вниз к ячейке A12. Это заполнит фактические годы, соответствующие каждому входному значению. Это не повлияет на модель, но облегчит визуальную интерпретацию.
- Выделите данные, выберите вкладку "Вставка" на ленте в верхней части окна, затем выберите точечную диаграмму, чтобы получить диаграмму.
- Нажмите на диаграмму, затем нажмите на значок стиля со знаком плюс. Наведите указатель мыши на линию тренда и щелкните появившуюся стрелку вправо. Выберите «Дополнительные параметры…», чтобы открыть панель «Формат линии тренда».
- Нажмите переключатель рядом с Экспоненциальная, а затем выберите Отобразить уравнение на диаграмме и Отобразить значение R-квадрата на диаграмме.
- Экспоненциальная функция [латекс]y=245,94e^[/латекс] появляется с коэффициентом детерминации [латекс]r^=0,9901[/латекс]. См. ниже обсуждение формы этого уравнения.
- Нажмите на диаграмму, созданную на шаге 1 выше, чтобы снова открыть панель «Формат линии тренда». На этот раз выберите Linear вместо Exponential. Отображение уравнения и значения R-квадрата.
- Какая линия тренда предлагает более высокое значение R-квадрата?
Линейная модель [latex]y=2,7661x+244,25[/latex] имеет [latex]r^[/latex] [latex]0,9964[ /latex], что выше, чем [latex]r^[/latex] для экспоненциальной регрессии. Делает ли это линейную линию тренда лучшей моделью роста населения? В краткосрочной перспективе для этого конкретного набора данных лучше подходит линейная модель. Давайте экстраполируем наши данные в будущее и посмотрим, сколько людей, согласно каждой модели, будет проживать в США в 2045 году. - Выберите любую пустую ячейку, чтобы использовать ее в качестве калькулятора.
- Чтобы рассчитать линейную модель, введите =2,766*58+244,25 и нажмите Enter. Вы должны получить 404 678 миллионов человек в 2045 году в США.
- Для расчета экспоненциальной модели необходимо использовать функцию Excel EXP. Он возводит основание e (число, приблизительно равное 2,718) в число. Введите =245,94*EXP(0,0096*58) и нажмите Enter. Вы должны получить 429 1848 миллионов человек в 2045 году в США.
- Повысьте плодовитость (обозначенную как «Неполная плодовитость» и «Взрослая плодовитость» в модели IM) с помощью защиты гнезд!
- Двойная плодовитость (увеличение текущего значения в 2 раза)
- Двойная плодовитость (увеличение текущего значения в 2 раза)
- Повысить выживаемость детенышей (обозначенных как «рост детенышей» в модели IM) с помощью мониторинга гнезд
- Улучшить до 100 %
- Улучшить до 100 %
- Повысить выживаемость крупных ювенильных особей (обозначенных как «Lg Juv Surv» в модели IM) с помощью Turtle Excluder Devices (TEDs)
- Добавить 0,25 к существующему показателю выживания крупной молоди
- Добавить 0,25 к существующему показателю выживания крупной молоди
- Повысить выживаемость взрослых/подвзрослых особей (обозначенных как «Sub Surv» и «Adult Surv» в IM) за счет ограничения ярусного промысла.
- Увеличение на 10 % (добавьте 0,1 к существующему выживанию неполовозрелых и взрослых особей)
- Adobe Reader Touch что это такое
- Как использовать функцию ранжирования в Excel
- Как отвязать картинку от текста в word
- Как построить кривую Лоренца в Excel
- Положение о родительском контроле за питанием в школьной столовой 2021 word
Шаг 2. Преобразование между непрерывным и экспоненциальным ростом
Экспоненциальная регрессия, полученная на шестом шаге выше, включала основание [latex]e[/latex]. Это основание представляет собой иррациональное число, которое обычно встречается в природе, а также при экспоненциальном росте и распаде. Это примерно эквивалентно [латекс]2,718[/латекс]. Но в предыдущем модуле вы узнали, что явная форма формулы экспоненциального роста выглядит так: [latex]P_=P_(1+r)^[/latex]. Теперь у нас есть [latex]y=ae^[/latex], который называется непрерывным ростом. Как соотносятся эти две формулы? Давайте посмотрим на них рядом.
[latex]P_=P_(1+r)^ \qquad \text < vs. >\qquad y = ae^[/latex]
Однако прежде чем мы сможем их обсудить, нам понадобится информация об экспонентах.
три свойства показателей степени
В этом разделе используются эти три свойства показателей, особенно правило степени, которое вы будете использовать непосредственно ниже, чтобы преобразовать формулу непрерывного роста в экспоненциальный рост.
Есть несколько свойств показателей степени, которые позволяют нам переписывать их полезным образом. Напомним, что показатель степени — это степень над числом, называемым основанием, в форме [латекс]а^[/латекс]. Это говорит нам умножить [latex]a[/latex] сам на себя [latex]m[/latex] раз. Но что произойдет, если мы возведем основание в степень в другую степень? Что значит написать [латекс]\влево(а^\вправо)^[/латекс]?
Рассмотрите [латекс]\left(a^\right)^[/латекс]. Конечно, это обозначение указывает на то, что мы должны умножать [латекс]\влево(а^\вправо)[/латекс] сам на себя [латекс]4[/латекс] раз.
[латекс]\влево(а^\вправо) \вост \влево(а^\вправо) \вост \влево(а^\вправо) \вост \влево(а^\вправо)[/латекс]
Это дает [латекс] \qquad a \cdot a \cdot a \ast a \cdot a \cdot a \ast a \cdot a \cdot a \ast a \cdot a \cdot a = a^[/latex ]
Похоже, что [латекс]\влево(а^\вправо)^=а^=а^[/латекс].
Это факт. [латекс]\влево(а^\вправо)^ = а^[/латекс].
Мы можем использовать этот факт, чтобы переписать форму экспоненциального уравнения, которое мы получили выше.
[latex]P_=P_(1+r)^ \qquad \text < vs. >\qquad y = ae^[/latex]
Пусть [латекс]P_ = y \text < и >P_ = a \text < и >n = x[/latex]. Тогда у нас есть
[latex]y=a(1+r)^ \qquad \text < vs. >\qquad y=ae^[/latex]
Но благодаря тому, что мы можем переписывать экспоненты, мы получаем, что [latex]e^ = \left(e^\right)^[/latex]. Это дает
[latex]y=a(1+r)^ \qquad \text < vs. >\qquad y=a\left(e^\right)^[/latex].
Приравнивая основания в уравнениях, мы можем видеть, что, безусловно, при одинаковых моделях
В приведенном выше примере, касающемся населения США, мы должны иметь возможность переписать
[latex]y=245.94e^ \qquad \text < эквивалентно >\qquad 245.94\left(1.0096\right)^[/latex].
Как в явной форме экспоненциального роста, так и в непрерывной форме мы видим, что скорость роста [латекс]r=0,0096[/латекс], но это совпадение. Эти две ставки не всегда будут одинаковыми. Кроме того, это не одни и те же формулы, но они достаточно близки друг к другу, чтобы их можно было аппроксимировать в краткосрочной перспективе.
Пример
Преобразуйте формулу непрерывного роста [latex]y=824,86e^[/latex] в формулу экспоненциального роста в виде [latex]y=a\left(b\right)^[/latex].
Явная форма экспоненциального роста: [латекс]у=а\влево(1+г\вправо)^[/латекс], где мы называем значение [латекс]\влево(1+г\вправо)[/ латекс] на константу [латекс]b[/латекс], фактор роста.
Перепишите формулу непрерывного роста как [латекс]у=824,86\влево(е^\вправо)^[/латекс].
Затем в формуле [латекс]у=а\влево(б\вправо)^[/латекс] мы видим, что [латекс]b=е^ \приблизительно 1,22532[/латекс]
Итак, [latex]y=824,86e^ \text < эквивалентно >y=824,86\left(1,2253\right)^[/latex] со скоростью роста 22,53%.
Вернемся к населению США из нашего практического примера с электронной таблицей выше.
Мы видим, что значение [latex]r^[/latex] очень близко к 1, что делает эту модель подходящей для набора данных с начальной численностью 245,94 миллиона человек в 1987 году и темпом роста 0,96. % в год. Но является ли это хорошей моделью роста населения США в целом?Насколько уверенно мы можем использовать эту модель для экстраполяции данных в будущее? Помните, что экстраполяция может быть рискованным поведением. По данным Бюро переписи населения, с 1 января 2018 года по 1 января 2019 года рост в США составил всего 0,62%. Но в 1980-е годы в стране наблюдались ежегодные темпы роста более 1%. Конечно, темпы роста меняются со временем. Модели только приблизительный рост в мире; они не могут делать прогнозы на основе фактов, но могут помочь нам получить представление.
Шаг 3. Сравните экспоненциальную регрессию с линейной регрессией для одной и той же совокупности
Шаг 3. Используйте модель для прогнозирования
Расчеты, необходимые для составления прогнозов, можно выполнить в электронной таблице или на калькуляторе. Выполните приведенные ниже шаги, чтобы узнать, как с помощью Excel спрогнозировать численность населения в 2045 году, то есть через 58 лет после 1987 года. Нам нужно заменить x на 58 в каждой модели и посмотреть, что она предсказывает.
Какое из этих чисел является правильным прогнозом? Это невозможно узнать. Хорошее моделирование предполагает умелое сочетание точной математики, понимания ситуации и, конечно же, некоторых обоснованных предположений. Но в целом мы будем использовать экспоненциальную модель для аппроксимации населения в краткосрочной перспективе и логистическую модель в долгосрочной перспективе. Мы рассмотрим логистическую модель в следующем разделе.
Посмотрите следующее видео, чтобы продемонстрировать, как использовать графический калькулятор для получения формулы регрессии и использовать ее для прогнозирования.
Официальный сайт правительства США
Вот откуда вы знаете
Официальные веб-сайты используют домен .gov
Веб-сайт .gov принадлежит официальной правительственной организации в США.
Visual Basic, инструмент моделирования популяции рыб на основе Excel — пример бледного осетра
Ссылки
Аннотация
Впервые опубликовано 10 февраля 2016 г.
Директор Колумбийского центра экологических исследований
США. Геологическая служба
4200 New Haven Road
Колумбия, Миссури 65201-8709
Интерфейс, разработанный для модели, описанной в этом отчете, позволяет пользователю гибко изменять структуру модели генеральной совокупности, значения параметров и неопределенность отдельно для каждого компонента модели. Эта гибкость делает инструмент моделирования потенциально применимым к любым видам рыб; однако гибкость, присущая этому инструменту моделирования, позволяет пользователю получать ложные результаты. Ценность и надежность выходных данных модели так же хороши, как и входные данные модели. Использование этого инструмента моделирования с неправильными или неточными значениями параметров или для видов, для которых структура модели не подходит, может привести к принятию несостоятельных управленческих решений. Упрощая моделирование популяции рыб, этот инструмент моделирования позволяет пользователю оценить ряд вариантов управления и последствий.Цель этого инструмента моделирования состоит в том, чтобы стать удобным инструментом моделирования для разработки моделей популяции рыб, полезных для управляющих природными ресурсами для информирования их процессов принятия решений; однако, как и в случае со всеми популяционными моделями, необходима осторожность, и всегда следует учитывать полное понимание ограничений модели и достоверность параметров, предоставляемых пользователем, при использовании таких выходных данных модели для управления любыми видами.
Предлагаемое цитирование
ISSN: 2331-1258 (онлайн)
Содержание
Часть или весь этот отчет представлен в формате Portable Document Format (PDF). Для получения наилучших результатов при просмотре и печати PDF-документов рекомендуется загружать документы на компьютер и открывать их с помощью Adobe Reader. PDF-документы, открытые в вашем браузере, могут не отображаться или не печататься должным образом. Загрузите последнюю версию Adobe Reader бесплатно. Дополнительную информацию о просмотре, загрузке и печати файлов отчетов можно найти здесь.
Таблицы смертности также используются для изучения роста населения. Среднее количество потомков, оставляемых самкой в каждом возрасте, вместе с долей особей, доживших до каждого возраста, можно использовать для оценки скорости изменения размера популяции с течением времени. Эти показатели используются демографами и популяционными экологами для оценки роста популяции и оценки влияния усилий по сохранению на исчезающие виды.
Галапагосский кактусовый вьюрок (Geospiza scandens). Он имеет такой высокий уровень воспроизводства, что популяция может увеличиваться более чем вдвое в каждом поколении.
Среднее количество потомства, которое производит самка за свою жизнь, называется чистым коэффициентом воспроизводства (R0). Если бы все самки дожили до максимально возможного возраста для этой популяции, чистая репродуктивная способность была бы просто суммой среднего числа потомков, производимых самками в каждом возрасте. Однако в реальных популяциях некоторые самки умирают в любом возрасте. Чистая репродуктивная способность для заданной когорты получается путем умножения доли самок, доживших до каждого возраста (lx), на среднее количество потомство, произведенное в каждом возрасте (mx), а затем добавление продуктов из всех возрастных групп: R< sub>0 = Σlxm х. Чистый коэффициент воспроизводства, равный 1,0, указывает на то, что популяция не увеличивается и не уменьшается, а точно заменяет свою численность. Этот показатель свидетельствует о стабильности популяции. Любое число ниже 1,0 указывает на уменьшение населения, а любое число выше указывает на увеличение. Например, чистый коэффициент воспроизводства галапагосского кактусового вьюрка (Geospiza scandens) составляет 2,101, что означает, что численность популяции может более чем удваиваться в каждом поколении.
| возрастной класс** (x) | вероятность дожития до возраста x (lx) | среднее число неоперившихся дочерей (mx) | продукт выживания и размножения (Σlxmx) |
|---|---|---|---|
| *Значения даны для когорты женщин 1975 года рождения. | |||
| **Указано в годах. | |||
| Источник: адаптировано из Питера Р. Гранта и Б. Розмари Грант, "Демография и генетически эффективные размеры двух популяций дарвиновских вьюрков", Экология, 73(3), 1992, авторское право © 1992 Экологическое общество Америки, используется с разрешения. | |||
| 0 | 1.0 | 0,0 | 0,0 |
| 1 | 0,512 | 0,364 | < td>0,186|
| 2 | 0,279 | 0,187 | 0,052 |
| 3 | 0,279 | 1,438 | 0,401 |
| 4 | 0,209 | 0,833 | 0,174 |
| 5 | 0,209 | 0,500 | 0,104 |
| 6 | 0,209 | 0,833 | 0,174 |
| 7 | 0,209 | 0,250 | 0,052 |
| 8 | 0,209 | 3,333 | 0,696 |
| 9 | 0,139 | 0,125 | 0,017 |
| 10 | 0,070 | 0,0 | 0,0 |
| 11 | 0,070 | 0,0 | 0,0 |
| 12 | 0,070 | 3,500 | 0 .245 |
| 13 | 0 | — | — | < /tr>
| R0 = 2,101 | |||
| Чистая репродуктивная способность = R< sub>0 = Σlxmx = 2,101 | |||
| Среднее время генерации = T = (Σxlxmx)/(R0) = 6,08 лет | |||
| виды | внутренняя скорость роста (r) |
|---|---|
| *Значения выше нуля указывают на увеличение численности населения. Чем выше значение r, тем быстрее внутренний темп роста населения. | |
| Источник: адаптировано из Роберта Э. Риклефса, Экономика природы, 3-е издание, авторское право © WH, 1993 г. Freeman & Company, используется с разрешения. | |
| морской слон | 0,091 |
| кольцевой фазан | 1.02 |
| полевка | 3.18 |
| мучный жук | 23 |
| водяная блоха | 69 |
Регулирование населения
Ограничения роста населения
Экспоненциальный и геометрический рост населения
В идеальной среде, в которой нет ограничивающих факторов, популяция растет в геометрической прогрессии или экспоненциально. Человеческие популяции, в которых особи живут и размножаются в течение многих лет и в которых размножение распределяется в течение всего года, растут в геометрической прогрессии. Экспоненциальный рост популяции можно определить, разделив изменение численности популяции (ΔN) на интервал времени (Δt) для определенной численности популяции (N< /em>):
Кривая роста этих популяций плавная и со временем становится все круче. Крутизна кривой зависит от внутренней нормы естественного прироста населения. С начала 20 века рост населения Земли был экспоненциальным. Существует большое беспокойство по поводу воздействия этого роста не только на окружающую среду, но и на людей. Прогноз Всемирного банка по росту населения предсказывает, что население вырастет с 6.с 8 миллиардов в 2010 году до почти 10 миллиардов в 2050 году. Эта оценка может быть компенсирована четырьмя мерами по контролю над рождаемостью: (1) снизить уровень нежелательных рождений, (2) уменьшить желаемый размер семьи, (3) повысить средний возраст в какие женщины начинают рожать детей, и (4) уменьшить количество рождений ниже уровня, который заменит нынешнюю человеческую популяцию (например, один ребенок на женщину).
Насекомые и растения, которые живут один год и размножаются один раз перед смертью, являются примерами организмов, рост которых является геометрическим. У этих видов популяция растет как серия все более крутых ступеней, а не как плавная кривая.
Во-первых, в этой лекции много кода R (R позволяет легко запускать матричные модели населения!). Если вы хотите продолжить работу в R, вы можете найти скрипт R здесь. Я рекомендую щелкнуть ссылку правой кнопкой мыши, сохранить сценарий в указанной папке и загрузить его в RStudio.
Почему матрицы?
Причина 1: упростить!
Вы можете узнать эту модель InsightMaker по лабораторной работе 3. Она представляет возрастную структуру населения только с тремя возрастными классами. Представьте, если бы возрастных групп было пять или десять? Что, если бы вы могли перейти (например) с этапа 3 на этап 5? Или со стадии 5 обратно на стадию 3? Сколько линий вам нужно было бы нарисовать, сколько уравнений вам пришлось бы ввести во все различные потоки? Это было бы утомительно, и вы могли бы легко столкнуться с ошибками, которые было бы очень трудно обнаружить!
Рассмотрите пример ворсянки из нашего учебника. Эту модель можно реализовать в InsightMaker, но это будет утомительно и потенциально подвержено ошибкам. И это далеко не самые сложные популяции (хотя обратите внимание, что растения могут делать то, чего не могут делать животные — например, возвращаться назад в стадии развития. С матричными моделями есть более простой способ!
Жизненный уровень населения практически для любого населения с возрастной или поэтапной структурой может быть представлен в виде матрицы перехода (или проекционной матрицы), которая суммирует всю информацию о выживании, коэффициентах рождаемости и переходах между стадиями! (и тот факт, что история жизни, такая как ворсянка, может быть представлена матрицей переходов, иллюстрирует общность этой концепции!)
Например, жизненные показатели ворсянки могут быть представлены в этой матрице:
Разве это не элегантно!!
Кроме того: стадийная структура и возрастная структура
В предыдущей лекции мы говорили о «популяциях с возрастной структурой». Под этим мы имели в виду, что жизненные показатели населения (например, b и d) варьировались в зависимости от возраста.
Иногда удобно классифицировать людей в определенном возрастном диапазоне как принадлежащих к определенному жизненному этапу. Например, мы можем классифицировать историю жизни медведя гризли следующим образом:
Возраст 0–1: новорожденный
Возраст 1–2: годовалый
Возраст 2–5: полувзрослый
Возраст 6+: взрослый
Это может значительно упростить наши модели. Например, рассмотрим такой вид, как морская черепаха, до 75 или 100 лет жизни. Вы можете построить модель, в которой у вас есть 100 акций, по одной на каждый год жизни. ИЛИ у вас может быть 5 или около того акций, представляющих возрастные диапазоны, в которых морские черепахи, как правило, имеют постоянную (или близкую) жизненную норму. Например, мы можем разделить историю жизни морской черепахи на следующие этапы:
Возраст 0–1 лет: детеныш
Возраст 1–5 лет: молодой несовершеннолетний
Возраст 5–10 лет: молодой молодь старшего возраста
Возраст 10–17 лет: полувзрослый
Возраст 18+: взрослый
Используя этапы, мы упростили нашу модель со 100 акциями (с еще большим количеством связанных потоков/переходов) до модели только с 5 акциями, и мы по-прежнему точно представляем, как жизненный цикл меняется с возрастом (модель по-прежнему биологически реалистично).
Матричные модели населения могут представлять модели с возрастной и стадийной структурой с одинаковой простотой и элегантностью.
Термин "Матрица Лесли" относится к матричной модели населения с возрастной структурой. Когда матрица используется для представления населения, структурированного по стадиям, ее часто называют матрицей Лефковича.
Причина 2: проекция!
В одном из вопросов лабораторной работы 3 вас попросили использовать таблицу смертности, чтобы предсказать количество рождений в популяции на один временной шаг в будущем. Как вы, наверное, поняли, это не так просто, как кажется!
Таблицы дожития отлично подходят для обобщения графиков дожития и других аспектов населения с возрастной структурой. Но таблицы дожития не годятся для прогнозирования изобилия, структурированного по возрасту, в будущее!
Знаете, что отлично подходит для прогнозирования возрастного изобилия в будущем? (Конечно, МАТРИЦЫ!)
Прежде всего, нам нужно начать с вектора популяции ворсянки…
Тогда все, что нам нужно сделать, это «умножить матрицу» этого вектора изобилия на матрицу перехода сверху! Каждый раз, когда мы делаем этот шаг умножения, мы продвигаемся вперед на один год! Это так просто!
ПРИМЕЧАНИЕ: матричное умножение (процент-звездочка-процент в R) — это не то же самое, что стандартное умножение (звездочка в R). Мы рассмотрим это во введении к лабораторной работе 4 чуть позже.
Вот как мы можем сделать это в R!
Как это просто?!
Чтобы рассчитать численность ворсянки во второй год нашего моделирования, мы можем просто повторить:
Эту стратегию можно использовать для имитации изобилия на десять лет (или 20, или 30, или 10 000)…
Обратите внимание на использование здесь цикла for!
Наконец-то мы можем рассчитать изобилие каждого этапа за 10 лет!
Таким образом, с матрицами легко проецировать изображения! Какая еще причина нам нужна, чтобы убедить себя в том, что стоит знать матричные популяционные модели? Ну, как насчет этого…
Причина 3: трюки с матричной алгеброй!
Существует явное сходство между уравнением конечного роста населения:
где \(N\) — численность (как всегда), \(t\) — время, часто в годах, но могут быть любые единицы времени, а \(\lambda\) — мультипликативный темп роста за период времени \(т \стрелка вправо т+1\)
… и матричное уравнение роста населения:
где \(\mathbf\) — вектор изобилия (численности для всех стадий), а \(\mathbf\) — матрица перехода, которую мы видели ранее.
В: Видите ли вы сходство между этими двумя уравнениями?
Оба уравнения описывают простой экспоненциальный рост или спад!
В: Видите ли вы разницу между этими двумя уравнениями?
Обратите внимание, что \(N\) в первом уравнении является скаляром, то есть это просто «чистое» число.
\(\mathbf\) во втором уравнении представляет вектор, структурированный по возрасту: набор показателей численности, структурированный по возрасту или возрастному классу.
Аналогично конечный темп роста населения \(\lambda\) является скаляром,
А как насчет обещанных трюков??
Одна из хитростей такова:
За один шаг вы можете вычислить \(\lambda\) из \(\mathbf\) !!
Напоминаем, что когда население имеет стабильное распределение по возрасту, оно растет по дискретному экспоненциальному шаблону роста. Эта скорость экспоненциального роста может быть описана одним параметром — лямбда!
Давайте сделаем это в R!
Какова скорость роста \(\lambda\) популяции ворсянки. Если вы помните, он выглядел так, как будто он рос, поэтому он должен быть выше 1…
Вам не обязательно разбираться в математике, но я хочу, чтобы вы поняли, насколько это просто: всего одна строка кода, и мы вычислили годовой темп роста по матрице перехода тизеля!
Еще один отличный прием:
За один шаг вы можете вычислить стабильное распределение возраста (S.A.D) из \(\mathbf\) !!
Давайте сделаем это в R!
Каково стабильное возрастное распределение популяции тизелей. Если вы помните, первый посевной этап выглядел так, как будто он доминировал на рисунке выше.
В: Растет ли стадийно структурированное население со скоростью \(\лямбда\) за временной шаг, если оно НЕ находится в стабильном возрастном распределении? [верхний]
Чтобы ответить на этот вопрос, вам может помочь загрузка структурированной по этапам модели в InsightMaker, подобной этой).
Механика матричных моделей населения
Давайте взглянем на базовую стадийно-структурированную популяцию — в частности, на эту — мы использовали эту модель для запуска примера «дополнения» в лекции о «возрастно-структурированных популяциях». В InsightMaker это выглядит примерно так:
Давайте преобразуем жизненные показатели в трехэтапную матрицу прогноза. Матрицы проекций — это квадратные матрицы, в которых количество строк и столбцов равно количеству этапов жизни. В данном случае это три! Давайте пока создадим пустую матрицу:
Вы можете прочитать элементы матрицы перехода следующим образом:
«Производство на душу населения (название строки) по (название столбца) составляет (значение элемента)»
Теперь мы можем начать заполнять эту матрицу. Начнем с верхнего левого элемента матрицы. Это представляет собой производство молоди (столбец) на душу населения молодью (строка). Каково значение этого элемента?
Давайте обновим нашу матрицу перехода:
Как насчет второй строки, первого столбца. Это представляет собой производство на душу населения несовершеннолетних (строка) несовершеннолетними в прошлом году (столбец). То есть скорость перехода от ювенильного к полувзрослому. Значение нашей модели равно 0,3.
Давайте обновим нашу матрицу перехода:
Если мы продолжим, мы получим следующую матрицу.Посмотрите, сможете ли вы понять, что эта матрица говорит о переходах из двух и трех жизненных стадий.
Теперь мы можем составить прогноз на 40 лет и сравнить его с моделью InsightMaker. Он должен выглядеть так же!!
Сначала мы должны указать начальную плотность на каждом этапе:
Итак, мы начинаем только с несовершеннолетних…
Теперь давайте составим план!
Похоже ли это на результаты InsightMaker?
Ограничения матричных моделей населения
Матричные модели населения — это прекрасно, но у них есть и некоторые ограничения.
А как насчет зависимости от плотности?
В некотором смысле, вводя новый уровень реализма в наши модели — возрастную структуру — мы игнорировали другой тип реализма, который мы представили в предыдущих лекциях, — зависимость от плотности (как положительную, так и отрицательную)!
Какие показатели жизненной активности зависят от плотности? Все? Немного? Это зависит? Доступны ли данные?
Как включить зависимость от плотности в матричную модель населения?
Как включить динамику хищник-жертва в матричную модель популяции? [признак взрыва мозга]
ОТВЕТ: используйте компьютерное программирование (например, InsightMaker!)
Обзор умножения матриц
(мы будем делать это на доске во время лабораторной!)
Упражнение в классе: сохранение ссоры!
Во-первых, ознакомьтесь с вводной информацией о морских черепахах здесь.
Затем загрузите документ Excel для этого примера здесь. Мы будем работать с примером Excel в классе.
Используя электронную таблицу Excel, изучите четыре сценария управления популяцией головастых черепах:
устройство для защиты от черепах
Ответьте в Top Hat на следующий вопрос
Упражнение в классе: перевод описания истории жизни в матричную модель населения
Переведите следующий абзац в матричную модель населения. Помните, что матричная модель популяции состоит из двух компонентов: начального вектора численности и переходной матрицы.
ПРИМЕЧАНИЕ: этот вопрос также входит в лабораторную работу 4!
Мы предположили, что историю жизни краснохвостого ястреба можно описать с точки зрения трех основных жизненных стадий: вылупление (первый год жизни), молодь (в основном особи на втором году жизни) и взрослая особь ( обычно третий год жизни и далее). Мы предположили, что у взрослых ежегодная смертность составляет в среднем 20%. Смертность несовершеннолетних была установлена на уровне 25% в год. Приблизительно 10% молодых особей ежегодно остаются в ювенильной фазе, а все остальные выжившие переходят во взрослую стадию. Наконец, у вылупившихся детенышей был 22% шанс выжить и превратиться в молодых особей. Мы инициализировали популяцию с 1000 детенышей, 150 молодых и 5 взрослых особей. Взрослые особи являются основной репродуктивной стадией и производят в среднем 3 новых детеныша каждый год. Молодые особи, которым не удается перейти во взрослую стадию, как правило, производят в среднем только 1 нового детеныша каждый год.
В: Как выглядит матрица перехода? [верхний]
В: Как выглядит исходный вектор численности?
В: Находится ли эта популяция в стабильном распределении по стадиям? Как вы можете сказать?
В: Каковы темпы роста этого населения?
Подробнее о матричных моделях населения можно найти в этой книге Хэла Касуэлла.
И, наконец, взгляните на это — это база данных тысяч матриц стадий растений и животных по всему миру:
Читайте также: