Как написать логарифм в Word
Обновлено: 21.11.2024
В этом разделе вы узнаете о различных свойствах и приложениях, связанных с логарифмами. Вот разделы этого урока:
<УЛ>Двойка называется основанием. «x» называется степенью или показателем степени. Восьмерка — это ответ, который получается после возведения двойки в некую неизвестную степень.
Мы можем переписать это как логарифм, вот так.
Это означает, что логарифм является вариантом экспоненциального уравнения. Это другой способ выразить задачу, связанную с показателями.
Чтобы понять свойства логарифмов, нужно сначала понять свойства показателей степени. Логарифмы - это измененные задачи на показатель степени; поэтому понимание одного помогает понять другое.
Выше мы можем видеть, что при умножении с одинаковыми основаниями мы добавляем показатели степени.
Это указывает на то, что при делении на одинаковые основания мы вычитаем показатели степени.
Если вы хотите ознакомиться с подробным уроком по экспонентам, см. наш урок под названием «Степенные правила экспонент».
Не забывайте о свойствах показателей из предыдущего раздела. Понимание их поможет понять логарифмы и их свойства.
Предположим, что нам дали это логарифмическое выражение.
Вместо этого мы можем написать это выражение следующим образом.
Это возможно, потому что логарифмы являются показателями степени, а свойство иметь дело с "а" умножить на "b" умножить на "с" позволяет нам использовать первое правило показателей. Умножение и сложение связаны.
Аналогичным образом рассмотрим это логарифмическое выражение.
Это можно написать так.
Это так, потому что деление и вычитание связаны, так же как умножение и сложение связаны для показателей степени. См. свойство два для свойств экспонент.
Вот свойства логарифмов.
Эти два свойства были объяснены выше. Однако, чтобы перейти к новому свойству, давайте взглянем на это выражение.
Мы можем расширить выражение, x-cubed.
Используя первое свойство, мы получаем эту прогрессию.
Используя алгебраические навыки, мы можем комбинировать логарифмические выражения, добавляя коэффициенты, которые все равны единице, вот так.
Короче говоря, это означает, что мы можем сделать коэффициенты степени, как показано ниже.
Мы видим, что показатель степени говорит нам, сколько членов будет; так, если бы мощность была 'n'.
<р>. потому что будет «n» количество терминов. Это наше третье свойство логарифмов.
Есть упражнения, в которых учащимся предлагается расширить или сократить задачи, содержащие логарифмические выражения. Мы рассмотрим некоторые из них и воспользуемся для этого свойствами логарифмов.
Раскройте это выражение.
Теперь мы можем использовать третье свойство журналов для экспоненты.
Это окончательный ответ, потому что никакие другие свойства использовать нельзя.
Сократите это выражение.
Мы собираемся использовать третье свойство журналов, чтобы переместить коэффициенты в силовые позиции.
Давайте воспользуемся вторым свойством первых двух членов — вычитание преобразуется в деление.
Далее мы будем использовать первое свойство. Сложение преобразуется в умножение.
Мы решили эту проблему.
Бывают ситуации, когда ученым, например биологам, инженерам-сантехникам и физикам, необходимо решить задачи, содержащие переменные показатели степени. Для решения этих задач лучше всего использовать логарифмы.
Например, мы должны изучить эту проблему.
Мы возьмем логарифм по основанию 10 от обеих сторон.
Когда мы используем логарифм по основанию 10, нам не нужно записывать основание. Вместо этого мы напишем его без основания, потому что основание 10 предполагается, если оно не написано.
Мы можем использовать третье свойство, чтобы поставить показатель степени перед логарифмом, поэтому мы используем логарифмы для этой задачи.
Возможность переместить экспоненту вперед на место коэффициента позволяет нам решить проблему. Теперь мы можем использовать простую алгебру. Мы можем разделить обе части уравнения на логарифм 3, вот так.
На этом этапе мы можем использовать калькулятор, если нас интересует десятичная аппроксимация. Это дает нам это значение с помощью калькулятора TI-83+.
Если мы округлим это число до сотых, "1" в тысячном разряде говорит нам просто округлить до меньших.
Для этой проблемы будут показаны только шаги.
Чтобы продемонстрировать необходимость понимания логарифмов, мы исследуем две реальные проблемы: одну с ростом бактерий, а другую с радиоактивным распадом.
Проблема 1: рост бактерий
Определенный штамм кишечной палочки (обнаруженный в фекалиях) имеет скорость удвоения в течение 30 минут. Если есть 100 бактерий кишечной палочки, которым разрешено расти в идеальных условиях, сколько времени потребуется, чтобы достичь 1 миллиона бактерий?
В таблице показана скорость роста бактерий. Вместо минут время увеличивается с шагом в полчаса.
Видно, что клетки удваиваются не каждый час, а каждые полчаса. Чтобы отразить эту скорость удвоения, нам нужно поставить «2» рядом с нашей переменной «t», потому что она удваивается дважды в час и имеет основание, равное двум, из-за удвоения бактерий. Это формула, которая фиксирует отношения выше.
Теперь мы будем использовать его для расчета времени, когда количество бактерий равно 1 миллиону. Это уравнение мы должны использовать для решения задачи.
Чтобы начать решать уравнение, мы разделим обе его части на 100.
Мы получили этот результат.
мы должны взять бревно с обеих сторон.
Мы собираемся использовать свойство степени логарифмов, которое позволяет нам брать показатели степени и записывать их в виде коэффициентов.
Чтобы найти "t", мы должны разделить обе части на логарифм 2.
Похоже, нам также нужно разделить обе части уравнения на «2».
Это дает подключение правой стороны к TI-nspire CX.
Если мы округлим его до сотых долей часа, мы получим окончательное решение.
Небольшой подсчет, включающий 0,64 часа, показал бы нам, что мы достигнем 1 000 000 бактерий за 6 часов, 38 минут и 24 секунды, если бактерии будут вести себя идеально экспоненциально на протяжении всего времени.
Используйте приведенный ниже тест, чтобы определить, верны ли ваши знания о росте бактерий.
Общая формула роста бактерий.
<р>. где P-значение — это начальная клеточная популяция, A-значение — это конечная клеточная популяция, t-значение — это время, а d-значение — это удвоенная скорость распространения бактерий в оптимальной среде.Радиоактивные изотопы со временем разлагаются. Пока они деградируют, они выделяют энергию. Часть этой энергии может быть очень опасной для живых организмов. Некоторые из более низких уровней энергии могут использоваться медицинскими работниками для помощи людям, страдающим раком.
Изотоп плутоний-239 используется для производства ядерных бомб и входит в состав ядерных отходов. Его период полураспада составляет 24 000 лет. Это означает, что требуется 24 000, чтобы потерять половину своей энергии. Мы собираемся использовать этот изотоп для решения следующей задачи.
…16 граммов плутония-239 были произведены иностранным государством для создания ядерной бомбы. Сколько времени потребуется, чтобы плутоний разложился до 0,05 грамма?
Чтобы лучше понять, как со временем ухудшается энергия. Давайте рассмотрим таблицу, описывающую этот медленный процесс.
Формула, которая инкапсулирует эту таблицу данных, такова.
Мы хотим знать, когда материал упадет до 0,05 грамма. Это означает, что мы должны использовать это значение для M.
Чтобы решить это уравнение, нам нужно разделить обе его части на 16.
Это дает нам следующее уравнение.
Переменная является частью показателя степени. Чтобы переместить переменную из этой позиции, мы будем использовать третье свойство логарифма. Сначала нам нужно взять бревно с обеих сторон.
Теперь мы переместим показатель степени перед журналом, используя третье свойство.
Теперь мы разделим обе части на логарифм 1/2. Ради упрощения этого уравнения мы можем заменить 1/2 на 0,5.
Это значительно приближает нас к нашей конечной цели.
Следующий шаг заключается в умножении обеих сторон на 24 000.
Это то, что нужно поместить в калькулятор.
Подставив его в калькулятор, мы получим это значение.
Округляя до сотых, мы получаем это значение.
Понятно, что почти 200 000 лет — это большой срок. Некоторые изотопы в ядерных материалах сохраняются очень-очень долго.
Общая формула для борьбы с радиоактивным распадом.
<р>. где P-значение — это начальная масса, A-значение — это конечная масса, h-значение — это период полураспада данного радиоактивного вещества, а t-значение — это время. Воспользуйтесь обучающим видео и интерактивным тестом ниже, чтобы узнать и проверить свои знания о радиоактивном распаде.Есть проблемы с популяцией животных, для решения которых используется специальная формула. Эта формула, содержащая константу 'e', обычно используется для всех видов задач с населением.
P-значение — это начальная популяция. «е» — константа. Как и число Пи, оно продолжается вечно без какой-либо закономерности. Он примерно равен 2,72.Значение r — это ставка, записанная в виде десятичного числа, хотя люди говорят о ставках в процентах. Значение t означает время. Наконец, значение A означает конечную численность населения по прошествии t единиц времени.
В приведенном ниже видео показано, как использовать формулу для решения задач с двумя словами.
В своей простейшей форме логарифм отвечает на вопрос:
Сколько из одного числа нужно умножить, чтобы получить другое число?
Пример. Сколько 2 нужно умножить, чтобы получить 8?
Ответ: 2 × 2 × 2 = 8, поэтому нам нужно было умножить 3 из 2, чтобы получить 8
Значит, логарифм равен 3
Как это написать
Мы пишем «количество двоек, которые нужно умножить, чтобы получить 8, равно 3» следующим образом:
Значит, это одно и то же:
Число, которое мы умножаем, называется основанием, поэтому мы можем сказать:
- "логарифм 8 по основанию 2 равен 3"
- или "логарифмическая база 2 из 8 равна 3"
- или "логарифм по основанию 2 числа 8 равен 3"
Обратите внимание, что мы имеем дело с тремя числами:
- основание: число, которое мы умножаем ("2" в приведенном выше примере)
- как часто использовать его при умножении (3 раза, что является логарифмом)
- Число, которое мы хотим получить ("8")
Больше примеров
Пример: что такое log5(625) . ?
Мы спрашиваем: «Сколько пятерок нужно перемножить, чтобы получить 625?»
5 × 5 × 5 × 5 = 625, поэтому нам нужно 4 из 5
Пример: что такое log2(64) . ?
Мы спрашиваем: "Сколько двоек нужно перемножить, чтобы получить 64?"
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64, поэтому нам нужно 6 из 2-ок
Экспоненты
Экспоненты и логарифмы связаны, давайте выясним, как .
Показатель степени говорит, сколько раз нужно использовать число при умножении.
В этом примере: 2 3 = 2 × 2 × 2 = 8
(2 используется 3 раза при умножении, чтобы получить 8)
Итак, логарифм отвечает на такой вопрос:
Логарифм говорит нам, каков показатель степени!
В этом примере "база" равна 2, а "показатель степени" равен 3:
Итак, логарифм отвечает на вопрос:
Какой показатель степени нам нужен
(чтобы одно число стало другим числом) ?
Общий случай:
Пример: что такое log10(100) . ?
Поэтому для преобразования 10 в 100 требуется показатель степени 2, и:
Пример: что такое log3(81) . ?
Поэтому для преобразования 3 в 81 требуется показатель степени 4, и:
Десятичные логарифмы по основанию 10
Иногда логарифм записывается без основания, например так:
Это обычно означает, что основание действительно равно 10 .
Это называется "десятичный логарифм". Инженеры любят его использовать.
На калькуляторе это кнопка "Журнал".
Сколько раз нам нужно использовать 10 при умножении, чтобы получить желаемое число.
Пример: log(1000) = log10(1000) = 3
Натуральные логарифмы: основание "e"
Другое часто используемое основание — e (число Эйлера), равное примерно 2,71828.
Это называется "натуральный логарифм". Математики часто используют его.
На калькуляторе это кнопка "ln".
Это то, сколько раз нам нужно использовать "e" при умножении, чтобы получить желаемое число.
Пример: ln(7,389) = loge( 7,389 ) ≈ 2
Потому что 2,71828 2 ≈ 7,389
Но иногда возникает путаница. !
Математики используют "log" (вместо "ln") для обозначения натурального логарифма. Это может привести к путанице:
Итак, будьте осторожны, когда читаете "лог", чтобы знать, какую базу они имеют в виду!
Логарифмы могут иметь десятичные дроби
Во всех наших примерах использовались логарифмы целых чисел (например, 2 или 3), но логарифмы могут иметь десятичные значения, такие как 2,5 или 6,081 и т. д.
Пример: что такое log10(26) . ?
Возьмите калькулятор, введите 26 и нажмите log
Ответ: 1,41497.
Логарифм говорит, что 10 1,41497. = 26
(10 с показателем степени 1,41497. равно 26)
Вот как это выглядит на графике:
Посмотрите, какая красивая и гладкая линия.
Отрицательные логарифмы
| – | Отрицательно? Но логарифмы имеют дело с умножением. Что является противоположностью умножения? Разделение! |
Отрицательный логарифм означает, сколько раз разделить на число.
У нас может быть только одно деление:
Пример: что такое log8(0,125) . ?
Ну, 1 ÷ 8 = 0,125,
Или много делений:
Пример: что такое log5(0,008) . ?
1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 5 −3,
Все это имеет смысл
Умножение и деление являются частью одного и того же простого шаблона.
В качестве примера рассмотрим некоторые логарифмы по основанию 10:
| Число | Сколько десятков | Логарифм по основанию 10 | |
|---|---|---|---|
| .. etc.. | |||
| 1000 | 1 × 10 × 10 × 10 | log10(1000) | = 3< /td> |
| 100 | 1 × 10 × 10 | log10(100) | = 2 |
| 10 | 1 × 10 | log10(10) | = 1 |
| 1 | 1 | log10(1) | = 0 |
| 1 ÷ 10 | log10(0,1) | = −1 | |
| 0,01 | 1 ÷ 10 ÷ 10 | log10 (0,01) | = −2 |
| 0,001 | 1 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 | log10(0,001) | = −3 |
| .. и т. д.. | |||
Посмотрев на эту таблицу, вы увидите, что положительные, нулевые или отрицательные логарифмы на самом деле являются частью одного и того же (довольно простого) шаблона.
Слово
«Логарифм» — это слово, придуманное шотландским математиком Джоном Нейпиром (1550–1617) от греческого слова logos, означающего «пропорция, отношение или слово», и арифмос означает "число", . что вместе составляет "число-отношение" !
Логарифмические задачи (страница 1 из 3)
По моему опыту, логарифмические текстовые задачи обычно включают в себя оценку данного логарифмического уравнения в данной точке и решение для данной переменной; они довольно просты. С другой стороны, экспоненциальные задачи со словами, как правило, гораздо сложнее, требуя, среди прочего, чтобы учащийся сначала сгенерировал показательное уравнение, а затем, возможно, также нашел значение одной из переменных, прежде чем начать отвечать на фактический вопрос. Поскольку проблемы с журналами обычно проще, я начну с них.
-
Химики определяют кислотность или щелочность вещества по формуле
" pH = �log[H + ]", где [H + ] - концентрация ионов водорода, измеренная в молях на литр. Растворы со значением рН менее 7 являются кислыми; растворы со значением рН более 7 являются основными; растворы с рН 7 (например, чистая вода) нейтральны.
а) Предположим, что вы проверили яблочный сок и обнаружили, что концентрация ионов водорода составляет [H + ] = 0,0003. Найдите значение pH и определите, является ли сок щелочным или кислым.
б) Вы тестируете немного аммиака и определяете концентрацию ионов водорода [H + ] = 1,3 х 10 х9. Найдите значение pH и определите, является ли аммиак щелочным или кислым.
В каждом случае мне нужно оценить функцию pH при заданном значении [H + ].
a) В случае яблочного сока концентрация ионов водорода составляет [H + ] = 0,0003, поэтому:
pH = �log[H + ] = �log[0,0003] = 3,52287874528.
<р>. что меньше 7 , так что это кислая реакция.b) В случае аммиака концентрация ионов водорода составляет [H + ] = 1,3 х 10 х9, поэтому:
pH = �log[H + ] = �log[1,3 � 10 �9 ] = 8,88605664769.
<р>. что больше 7 , так что это основное. Сок является кислым с pH около 3,5,
а аммиак является щелочным с pH около 8,9.
-
«Громкость» измеряется в децибелах. Формула громкости звука имеет вид «дБ = 10log[ I � I0 ]», где I0 – интенсивность «порогового звука» или звука, который едва можно воспринять. Другие звуки определяются с точки зрения того, во сколько раз они интенсивнее порогового звука. Например, кошачье мурлыканье примерно в 316 раз мощнее порогового звука, а уровень шума в децибелах:
Db = 10log[ I � I0 ]
= 10log[ (316 I0< /sub> ) � I0 ]
= 10log[ 316 ]
= 24,9968708262. ,
Принимая во внимание, что длительное воздействие звуков силой выше 85 децибел может привести к повреждению или потере слуха, а также принимая во внимание, что выстрел из винтовки с кольцевым воспламенением калибра .22 имеет интенсивность около I = (2,5·10 13 )I0 , нужно ли соблюдать правила и надевать наушники при отдыхе на стрельбище?
Мне нужно оценить уравнение в децибелах при I = (2,5·10 13 )I0 :
Db = 10log [ I � I0 ]
= 10log [ (2,5 � 10 13 )I< sub>0 � I0 ]
= 10log[2,5 � 10 13 ]
= 133,979400087.
Другими словами, моя винтовка создает шум около 134 децибел. Поскольку это намного выше уровня, при котором я могу повредить слух,
Я должен соблюдать правила и носить наушники.
У вас дома установлен сейсмограф, и вы видите, что пока вас не было дома, произошло событие с интенсивностью I = 989I0 . Учитывая, что проезжающий мимо тяжелый грузовик может вызвать микроземлетрясение с баллом по шкале Рихтера 3 или 3,5 балла, а «умеренные» землетрясения имеют балл по шкале Рихтера 4 балла или более, какое вероятное событие произошло, когда вас не было дома?
Чтобы определить вероятное событие, мне нужно преобразовать интенсивность в рейтинг Рихтера, оценив функцию Рихтера при I = 989I0 :
R = log [ I � I0 ]
= log [ 989I0 � I0 > ]
= log[989]
= 2,9951962916.
Оценка по шкале Рихтера около 3 – недостаточно высокая оценка для того, чтобы землетрясение было умеренным;
Событие, вероятно, было связано с тем, что большой грузовик слишком быстро проехал лежачие полицейские в моем районе.
Вам нужно будет выбрать имя пользователя для сайта, что займет всего пару минут. После этого вы можете опубликовать свой вопрос, и наши участники помогут вам.
Похожие темы
| Журналы и антилоги | 1 | 18 мая 2005 г. |
| exponentials | 2 | 16 апреля 2006 г. |
| как в excel рассчитать антилог | 1 | 1 апреля 2005 г. |
| Excel Log Диаграмма журнала в Excel | 0 | 3 апреля 2015 г. |
| антилог | 1 | 16 сентября 2003 г. |
| Как получить корень числа n-й степени? | 2 | 14 декабря 2004 г. |
| Логарифмические линии тренда | 1 | 16 апреля 2009 г. |
| Как получить корень числа n-й степени? | 2 | 16 декабря 2004 г. |
PC Review – это веб-сайт, посвященный обзорам компьютерной техники, с полезными форумами технической поддержки, на которых работают специалисты по ПК. Если у вас возникли проблемы с компьютером, обратитесь за советом на наш форум.
Читайте также: