В какой системе счисления работает компьютер?
Обновлено: 05.07.2024
Число — это математическое значение, используемое для подсчета и измерения объектов, а также для выполнения арифметических вычислений. Числа имеют различные категории, такие как натуральные числа, целые числа, рациональные и иррациональные числа и так далее. Точно так же существуют различные типы систем счисления, которые имеют разные свойства, такие как двоичная система счисления, восьмеричная система счисления, десятичная система счисления и шестнадцатеричная система счисления.
| 1. | Что такое системы счисления? |
| 2 . | Типы систем счисления |
| 3. | Двоичная система счисления |
| 4. | Восьмеричная система счисления |
| 5. | Десятичная система счисления |
| Шестнадцатеричная система счисления | |
| 7. | Правила преобразования систем счисления |
| 8. | Часто задаваемые вопросы о системах счисления |
Что такое системы счисления?
Система счисления — это система представления чисел. Ее также называют системой счисления, и она определяет набор значений для представления количества. Эти числа используются как цифры, и наиболее распространенными из них являются 0 и 1, которые используются для представления двоичных чисел. Цифры от 0 до 9 используются для представления других типов систем счисления.
Определение систем счисления
Система счисления определяется как представление чисел с помощью последовательного использования цифр или других символов. Значение любой цифры в числе может быть определено цифрой, ее положением в числе и основанием системы счисления. Числа представлены уникальным образом и позволяют нам выполнять арифметические операции, такие как сложение, вычитание и деление.
Типы систем счисления
Мы подробно изучим каждую из этих систем одну за другой.
Двоичная система счисления
Двоичная система счисления использует только две цифры: 0 и 1. Числа в этой системе имеют основание 2. Цифры 0 и 1 называются битами, а 8 битов вместе составляют байт. Данные в компьютерах хранятся в виде битов и байтов. Двоичная система счисления не работает с другими числами, такими как 2,3,4,5 и так далее. Например: 100012, 1111012, 10101012 — некоторые примеры чисел в двоичной системе счисления.
Восьмеричная система счисления
Восьмеричная система счисления использует восемь цифр: 0,1,2,3,4,5,6 и 7 с основанием 8. Преимущество этой системы в том, что в ней меньше цифр по сравнению с некоторыми другими системами, следовательно, было бы меньше вычислительных ошибок. Такие цифры, как 8 и 9, не входят в восьмеричную систему счисления. Как и двоичная, в миникомпьютерах используется восьмеричная система счисления, но с цифрами от 0 до 7. Например: 358, 238, 1418< /sub> — некоторые примеры чисел в восьмеричной системе счисления.
Десятичная система счисления
В десятичной системе счисления используются десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 и 9 с базовым числом 10. Десятичная система счисления — это система, которую мы обычно используем для представления числа в реальной жизни. Если какое-либо число представлено без основания, это означает, что его основание равно 10. Например: 72310, 3210, 425710 некоторые примеры чисел в десятичной системе счисления.
Шестнадцатеричная система счисления
В шестнадцатеричной системе счисления используется шестнадцать цифр/алфавитов: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и A,B,C,D,E,F с базовым числом 16. Здесь под AF шестнадцатеричной системы счисления понимаются соответственно числа 10-15 десятичной системы счисления. Эта система используется в компьютерах для сокращения больших строк двоичной системы.Например: 7B316, 6F16, 4B2A16 — некоторые примеры чисел в шестнадцатеричной системе счисления.
Правила преобразования систем счисления
Число можно преобразовать из одной системы счисления в другую. Подобно тому, как двоичные числа могут быть преобразованы в восьмеричные числа и наоборот, восьмеричные числа могут быть преобразованы в десятичные числа и наоборот и так далее. Давайте рассмотрим шаги, необходимые для преобразования систем счисления.
Преобразование двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную систему счисления
Чтобы преобразовать число из двоичной/восьмеричной/шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему, мы используем следующие шаги. Шаги показаны на примере числа в двоичной системе.
Пример. Преобразуйте 1001112 в десятичную систему.
Решение:
Шаг 1. Определите основание данного числа. Здесь основание 1001112 равно 2.
Шаг 2. Умножьте каждую цифру заданного числа, начиная с самой правой, на показатели степени основания. Показатели должны начинаться с 0 и увеличиваться на 1 каждый раз, когда мы движемся справа налево. Поскольку основание здесь равно 2, мы умножаем цифры данного числа на 2 0 , 2 1 , 2 2 и т. д. справа налево.
Шаг 3. Мы просто упрощаем каждый из вышеперечисленных продуктов и добавляем их.
Здесь сумма представляет собой число, эквивалентное данному числу в десятичной системе счисления. Или мы можем использовать следующие шаги, чтобы упростить этот процесс.
100111 = (1×2 5 ) + (0×2 4 ) + (0×2 3 ) + (1×2 2 ) + (1×2 1 ) + (1×2 0 )
= (1 × 32) + (0 × 16) + (0 × 8) + (1 × 4) + (1 × 2) + (1 × 1)
= 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1
Преобразование десятичной системы счисления в двоичную/восьмеричную/шестнадцатеричную систему счисления
Чтобы преобразовать число из десятичной системы счисления в двоичную/восьмеричную/шестнадцатеричную систему счисления, мы используем следующие шаги. Показаны шаги по преобразованию числа из десятичной системы в восьмеричную.
Пример. Преобразуйте 432010 в восьмеричную систему.
Решение:
Шаг 1. Определите основание нужного числа. Так как нам нужно перевести данное число в восьмеричную систему, основание искомого числа равно 8.
Шаг 2. Разделите данное число на основание требуемого числа и запишите частное и остаток в форме частное-остаток. Повторяем этот процесс (снова деля частное на основание), пока не получим частное меньше основания.
Шаг 3. Заданное число в восьмеричной системе счисления получается простым чтением всех остатков и последнего частного снизу вверх.
Преобразование из одной системы счисления в другую
Чтобы преобразовать число из одной из двоичных/восьмеричных/шестнадцатеричных систем в одну из других систем, мы сначала преобразуем его в десятичную систему, а затем преобразуем в требуемые системы с помощью вышеупомянутых процессов.
Пример. Преобразуйте 10101111002 в шестнадцатеричную систему.
Решение:
Шаг 1. Преобразуйте это число в десятичную систему счисления, как описано выше.
Шаг 2. Преобразуйте указанное выше число (в десятичной системе) в требуемую систему счисления.
Здесь мы должны преобразовать 70010 в шестнадцатеричную систему, используя вышеупомянутый процесс. Следует отметить, что в шестнадцатеричной системе числа 11 и 12 записываются как B и C соответственно.
Из уравнений (1) и (2) 10101111002 = 2BC16.
Связанные темы:
Ниже перечислены несколько рекомендуемых тем, связанных с концепцией систем счисления:
Примеры систем счисления
Пример 1. Преобразование 30010 в двоичную систему с основанием 2.
Решение: 30010 в десятичной системе.Делим 300 на 2 и записываем частное и остаток. Мы будем повторять этот процесс для каждого частного, пока не получим частное меньше 2.
Эквивалентное число в двоичной системе получается путем чтения всех остатков и только последнего частного снизу вверх, как показано выше.
Пример 2. Преобразование 5BC16 в десятичную систему.
Решение: 5BC16 в шестнадцатеричной системе. Мы знаем, что B=11 и C=12 в шестнадцатеричной системе счисления. Таким образом, мы получаем эквивалентное число в десятичной системе, используя следующий процесс:
Пример 3. Преобразование 1448 в шестнадцатеричную систему.
Решение. Основание числа 1448 равно 8. Сначала мы преобразуем это число в десятичную систему следующим образом:
Таким образом, 1448 = 10010 → (1). Теперь мы преобразуем это в шестнадцатеричную систему следующим образом:
Из уравнений (1) и (2) мы можем сделать вывод, что: 1448 = 6416.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Практические вопросы по системам счисления
Часто задаваемые вопросы о системах счисления
Что такое системы счисления с примерами?
Какие существуют 4 типа систем счисления?
Существует четыре основных типа систем счисления:
- Двоичная система счисления (основание – 2)
- Восьмеричная система счисления (основание – 8)
- Десятичная система счисления (основание – 10)
- Шестнадцатеричная система счисления (основание – 16)
Каковы правила преобразования систем счисления?
Чтобы преобразовать число из двоичной/восьмеричной/шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления, мы используем следующие шаги:
- Умножьте каждую цифру данного числа, начиная с самой правой цифры, на показатели степени основания.
- Показатели должны начинаться с 0 и увеличиваться на 1 при каждом движении справа налево.
- Упростите каждый из вышеперечисленных продуктов и добавьте их.
Чтобы преобразовать число из десятичной системы в двоичную/восьмеричную/шестнадцатеричную систему, мы используем следующие шаги:
- Поделите данное число на основание нужного числа и запишите частное и остаток в форме «частное-остаток».
- Повторяйте этот процесс (снова деля частное на основание), пока частное не станет меньше основания.
- Заданное число в десятичной системе счисления получается простым чтением всех остатков и последнего частного снизу вверх.
Чтобы преобразовать число из одной из двоичных/восьмеричных/шестнадцатеричных систем в одну из других систем:
- Сначала мы преобразуем его в десятичную систему.
- Затем конвертируем в нужную систему.
Почему используется каждая система счисления?
У каждой системы счисления разные цели, например:
- Двоичная система счисления используется для хранения данных в компьютерах.
- Преимущество восьмеричной системы счисления заключается в том, что в ней меньше цифр по сравнению с некоторыми другими системами счисления, следовательно, будет меньше вычислительных ошибок.
- Десятичная система счисления — это система, которую мы используем в повседневной жизни.
- Шестнадцатеричная система счисления используется в компьютерах для сокращения больших строк двоичной системы счисления.
В чем важность систем счисления?
Системы счисления помогают представлять числа в небольшом наборе символов. Двоичные числа в основном используются в компьютерах, которые используют такие цифры, как 0 и 1, для вычисления простых задач. Системы счисления также помогают преобразовать одну систему счисления в другую.
Когда мы печатаем какие-то буквы или слова, компьютер переводит их в числа, поскольку компьютеры понимают только числа. Компьютер может понять позиционную систему счисления, в которой есть только несколько символов, называемых цифрами, и эти символы представляют разные значения в зависимости от позиции, которую они занимают в числе.
Значение каждой цифры в числе можно определить с помощью -
Положение цифры в числе
Основание системы счисления (где основание определяется как общее количество цифр, доступных в системе счисления)
Десятичная система счисления
Системой счисления, которую мы используем в повседневной жизни, является десятичная система счисления. Десятичная система счисления имеет основание 10, так как использует 10 цифр от 0 до 9. В десятичной системе счисления последовательные позиции слева от десятичной точки представляют единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д.
Каждая позиция представляет определенную степень основания (10). Например, десятичное число 1234 состоит из цифры 4 в позиции единиц, 3 в позиции десятков, 2 в позиции сотен и 1 в позиции тысяч. Его значение можно записать как
Как программист или ИТ-специалист, вы должны понимать следующие системы счисления, которые часто используются в компьютерах.
Двоичная система счисления
Основание 2. Используемые цифры: 0, 1
Восьмеричная система счисления
Основание 8. Используемые цифры: от 0 до 7
Шестнадцатеричная система счисления
Основание 16. Используемые цифры: от 0 до 9, Используемые буквы: A-F
Двоичная система счисления
Характеристики двоичной системы счисления следующие:
Использует две цифры, 0 и 1
Также называется системой счисления с основанием 2
Каждая позиция в двоичном числе представляет собой нулевую степень основания (2). Пример 2 0
Последняя позиция в двоичном числе представляет собой степень x основания (2). Пример 2 x где x представляет последнюю позицию - 1.
Пример
Двоичный номер: 101012
Вычисление десятичного эквивалента —
| Шаг | Двоичный номер | Десятичное число |
|---|---|---|
| Шаг 1 | 101012 | ((1 x 2 4 ) + (0 x 2 3 ) + (1 x 2 2 ) + (0 x 2 1 ) + ( 1 x 2 0 ))10 |
| Шаг 2 | 101012 | (16 + 0 + 4 + 0 + 1)10 |
| Шаг 3 | 101012 | 2110 |
Примечание. 101012 обычно записывается как 10101.
Восьмеричная система счисления
Характеристики восьмеричной системы счисления следующие:
Использует восемь цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7
Также называется системой счисления с основанием 8
Каждая позиция в восьмеричном числе представляет собой нулевую степень основания (8). Пример 8 0
Последняя позиция в восьмеричном числе представляет собой степень x основания (8). Пример 8 x где x представляет последнюю позицию - 1
Пример
Восьмеричное число: 125708
Вычисление десятичного эквивалента —
| Шаг | Восьмеричное число | Десятичное число |
|---|---|---|
| Шаг 1 | 125708 | ((1 x 8 4 ) + (2 x 8 3 ) + (5 x 8 2 ) + (7 x 8 1 ) + ( 0 x 8 0 ))10 |
| Шаг 2 | 125708 | (4096 + 1024 + 320 + 56 + 0)10 |
| Шаг 3 | 125708 | 549610 |
Примечание. 125708 обычно записывается как 12570.
Шестнадцатеричная система счисления
Характеристики шестнадцатеричной системы счисления следующие —
Использует 10 цифр и 6 букв, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Буквы обозначают числа, начинающиеся с 10. A = 10. B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15
Также называется системой счисления с основанием 16
Каждая позиция в шестнадцатеричном числе представляет собой нулевую степень основания (16). Пример: 16 0
Последняя позиция в шестнадцатеричном числе представляет степень x основания (16). Пример 16 x где x представляет последнюю позицию - 1
Люди используют десятичную (по основанию 10) и двенадцатеричную (по основанию 12) системы счисления для счета и измерения (вероятно, потому, что у нас 10 пальцев и два больших пальца ноги). В компьютерах используется двоичная (с основанием 2) система счисления, поскольку они состоят из двоичных цифровых компонентов (известных как транзисторы), работающих в двух состояниях — включенном и выключенном. В вычислениях мы также используем шестнадцатеричную (по основанию 16) или восьмеричную (по основанию 8) системы счисления в качестве компактной формы для представления двоичных чисел.
Десятичная система счисления (основание 10):
Десятичная система счисления состоит из десяти символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, называемых цифрами. Это позиционная нотация, например,
Мы будем обозначать десятичное число с необязательным суффиксом D, если возникает двусмысленность.
Двоичная система счисления (основание 2):
Двоичная система счисления имеет два символа: 0 и 1, называемые битами. Это также позиционная нотация, например,
Мы будем обозначать двоичное число с суффиксом B . Некоторые языки программирования обозначают двоичные числа префиксом 0b (например, 0b1001000 ) или префиксом b битами в кавычках (например, b'10001111' ).
Шестнадцатеричная система счисления (основание 16):
В шестнадцатеричной системе счисления используется 16 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F, которые называются шестнадцатеричными цифрами< /эм>. Это позиционная нотация, например,
Мы будем обозначать шестнадцатеричное число с суффиксом H . Некоторые компьютерные языки обозначают шестнадцатеричные числа с префиксом 0x (например, 0x1A3C5F ) или префиксом x с шестнадцатеричной цифрой в кавычках (например, x'C3A4D98B' ).
Каждая шестнадцатеричная цифра также называется шестнадцатеричной цифрой. В большинстве языков допустимы символы от «a» до «f» в нижнем регистре, а также от «A» до «F» в верхнем регистре.
Компьютеры используют двоичную систему в своих внутренних операциях, так как она построена из двоичных цифровых электронных компонентов. Однако запись или чтение длинной последовательности двоичных битов обременительны и подвержены ошибкам. Шестнадцатеричная система используется как компактная форма или сокращение для двоичных битов. Каждая шестнадцатеричная цифра эквивалентна 4 двоичным битам, т. е. сокращению для 4 битов, следующим образом:
| 0H (0000B) (0D) | 1H (0001B) (1D) | 2H (0010B) (2D) | 3H (0011B) (3D) |
| 4H (0100B) (4D) | 5H (0101B) (5D)< /td> | 6H (0110B) (6D) | 7H (0111B) (7D) |
| 8H (1000B) (8D) | 9H (1001B) (9D) | AH (1010B) (10D) | BH (1011B) (11D) |
| DH (1101B) (13D) | EH (1110B) (14D) | FH (1111B) (15D) |
Преобразование систем счисления
Преобразование из шестнадцатеричной системы в двоичную:
Замените каждую шестнадцатеричную цифру 4 эквивалентными битами, например,
Преобразование из двоичного в шестнадцатеричный:
Начиная справа (наименее значащий бит), замените каждую группу из 4 бит эквивалентной шестнадцатеричной цифрой, например,
Важно отметить, что шестнадцатеричное число обеспечивает компактную форму или сокращение для представления двоичных битов.
Преобразование из базы r в десятичную (база 10):
Дано n-значное основание r числа: dn-1 dn-2 dn-3 . d3 d2 d1 d0 (основание r), десятичный эквивалент задается следующим образом:
Преобразование из десятичного числа (с основанием 10) в основание r:
Использовать повторяющееся деление/остаток. Например,
Подсказка. Вы можете использовать Калькулятор Windows для преобразования чисел, выбрав научный режим (запустите «Калькулятор» ⇒ Выберите меню «Вид» ⇒ Выберите «Научный» режим).
Двоичная система счисления, также называемая системой счисления с основанием 2, – это способ представления чисел, в котором для счета используются комбинации только двух цифр: ноль (0) и единица (1). Компьютеры используют двоичную систему счисления для обработки и хранения всех своих данных, включая числа, слова, видео, графику и музыку.
Термин "бит", наименьшая единица цифровой технологии, означает "ДВОИЧНАЯ ЦИФРА". Байт — это группа из восьми битов. Килобайт – это 1 024 байта или 8 192 бита.
Используя двоичные числа, 1 + 1 = 10, потому что "2" не существует в этой системе. Другая система счисления, обычно используемая десятичная система счисления или система счисления с основанием 10, считает с использованием 10 цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), поэтому 1 + 1 = 2 и 7. + 7 = 14. Другой системой счисления, используемой программистами, является шестнадцатеричная система с основанием 16, в которой используется 16 символов (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B, C, D, E, F), поэтому 1 + 1 = 2 и 7 + 7 = E. Системы счисления с основанием 10 и 16 более компактны, чем двоичная система. Программисты используют шестнадцатеричную систему счисления как удобный и более компактный способ представления двоичных чисел, потому что ее очень легко преобразовать из двоичной в шестнадцатеричную и наоборот. Преобразование из двоичного в десятичное и из десятичного в двоичное сложнее.
Преимуществом двоичной системы является ее простота. Вычислительное устройство может быть создано из всего, что имеет ряд переключателей, каждый из которых может переключаться между положением «включено» и положением «выключено». Эти переключатели могут быть электронными, биологическими или механическими, если их можно перемещать по команде из одного положения в другое. Большинство компьютеров имеют электронные переключатели.
Когда переключатель находится в положении "включено", он соответствует единице, а когда переключатель находится в положении "выключено", он представляет собой нулевое значение. Цифровые устройства выполняют математические операции, включая и выключая двоичные переключатели. Чем быстрее компьютер может включать и выключать переключатели, тем быстрее он может выполнять свои вычисления.
| Двоичный | Десятичный | Шестнадцатеричный |
| Число | Число | Число |
| Система | < td rowspan="1" colspan="1">СистемаСистема | |
| 0 | 0< /td> | |
| 1 | 1 | 1 |
| 10 | 2 | 2 |
| 11 | 3 | 3 |
| 100 | 4 | 4 |
| 101 | 5 | 5 |
| 110 | 6 | 6 |
| 111 | 7 | 7 |
| 1000 | 8 | 8 |
| 1001 | 9 | 9 |
| 1010 | 10 | A | 1011 | 11 | B |
| 1100 | 12 | < td rowspan="1" colspan="1">C|
| 1101 | 13 | D |
| 1110 | 14 | E |
| 1111 | 15 | F |
| 10000 | 16 | 10 |
Позиционное обозначение
Каждая цифра в двоичном числе принимает значение, которое зависит от ее положения в числе. Это называется позиционной записью. Эта концепция применима и к десятичным числам.
Например, десятичное число 123 представляет собой десятичное число 100 + 20 + 3. Число один представляет собой сотни, число два представляет десятки, а число три представляет единицы. Математическая формула для получения числа 123 может быть создана путем умножения числа в столбце сотен (1) на 100 или 10 2 ; умножение числа в столбце десятков (2) на 10 или 10 1 ; умножение числа в столбце единиц измерения (3) на 1 или 10 0 ; а затем добавить продукты вместе. Формула: 1 × 10 2 + 2 × 10 1 + 3 × 10 0 = 123.
Это показывает, что каждое значение умножается на основание (10), возведенное в возрастающую степень. Значение степени начинается с нуля и увеличивается на единицу в каждой новой позиции формулы.
Эта концепция позиционной записи также применима к двоичным числам с той разницей, что основание равно 2. Например, чтобы найти десятичное значение двоичного числа 1101, формула имеет вид 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 13.
Двоичные операции
С двоичными числами можно работать с помощью тех же знакомых операций, которые используются для вычисления десятичных чисел, но с использованием только нулей и единиц. Чтобы сложить два числа, нужно запомнить всего четыре правила:
Поэтому, чтобы решить следующую задачу на сложение, начните с крайнего правого столбца и добавьте 1 + 1 = 10; запишите 0 и перенесите 1. Работая с каждым столбцом слева, продолжайте добавлять, пока проблема не будет решена.
Чтобы преобразовать двоичное число в десятичное, необходимо умножить каждую цифру на степень двойки. Затем продукты складываются. Например, чтобы преобразовать двоичное число 11010 в десятичное, формула будет выглядеть следующим образом:
Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, разделите двоичное число на группы по четыре, начиная справа, а затем переведите каждую группу в ее шестнадцатеричный эквивалент. Нули могут быть добавлены слева от двоичного числа, чтобы завершить группу из четырех. Например, чтобы преобразовать число 11010 в шестнадцатеричное, формула будет выглядеть следующим образом:
Цифровые данные
Биты — это фундаментальный элемент цифровых вычислений. Термин «оцифровать» означает преобразование аналогового сигнала — диапазона напряжений — в цифровой сигнал или серию чисел, представляющих напряжения.Музыкальное произведение можно оцифровать, взяв очень частые его сэмплы, называемые сэмплированием, и переведя их в дискретные числа, которые затем переводятся в нули и единицы. Если сэмплы берутся очень часто, музыка при воспроизведении звучит как непрерывный тон.
см. также Ранние компьютеры; Память.
Энн МакИвер МакХоуз
Библиография
Блиссмер, Роберт Х. Представляем компьютерные концепции, системы и приложения. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., 1989.
Диллиган, Роберт Дж. Вычисления в эпоху Интернета: введение в интерактивный Интернет. Нью-Йорк: Plenum Press, 1998.
Уайт, Рон. How Computers Work: Millennium Edition. Indianapolis: Que Corporation, 1999.
Читайте также: