Связано ли появление алгебры логики с развитием персонального компьютера
Обновлено: 06.07.2024
Булеву алгебру часто называют алгеброй логики. Английский математик Джордж Буль (1815–1864), которому принадлежит большая часть ее истоков, был первым, кто применил алгебраические методы к логической методологии. Он показал, что логические предложения и их связки могут быть выражены на языке теории множеств. Таким образом, булева алгебра является также алгеброй множеств. Алгебра — это раздел математики, изучающий соотношения величин.
Начиная с элементов определенного набора (называемого универсальным набором), вместе с одной или несколькими бинарными операциями, определенными для этого набора, получаются процедуры для манипулирования элементами набора с использованием определенных операций и комбинаций этих операций. . И язык, и правила манипулирования меняются в зависимости от свойств элементов универсального множества. Например, алгебра действительных чисел отличается от алгебры комплексных чисел, потому что действительные числа и комплексные числа определяются по-разному, что приводит к различным определениям бинарных операций сложения и умножения, а также к различным правилам манипулирования двумя типами чисел. числа. Булева алгебра состоит из правил манипулирования подмножествами любого универсального множества, независимо от конкретных свойств, связанных с отдельными элементами этого множества. Вместо этого это зависит от свойств множеств. Универсальным набором может быть любой набор, включая набор действительных чисел или набор комплексных чисел, потому что в булевой алгебре интерес представляют не отдельные элементы универсального набора, а все возможные подмножества универсального набора.
Свойства наборов
Набор – это набор объектов, называемых членами или элементами. Членами множества могут быть физические объекты, такие как люди, звезды или розы, или они могут быть абстракциями, такими как числа или даже другие множества. Множество называется универсальным множеством (обычно называемым I), если оно содержит все рассматриваемые элементы. Множество S, не равное I, называется правильным подмножеством I, если каждый элемент S содержится в I. Это записывается и читается как «S содержится в I» (см. рис. 1)
Если S равно I, то S называется неправильным подмножеством I, то есть I является неправильным подмножеством самого себя (обратите внимание, что два множества равны тогда и только тогда, когда они оба содержат одни и те же элементы). Специальный символ присваивается набору без элементов, называемому пустым набором или нулевым набором. Нулевой набор является подмножеством каждого набора.
При работе с множествами есть три важные операции. Две из этих операций являются бинарными (то есть они включают объединение двух наборов за раз), а третья включает только один набор за раз. Двумя бинарными операциями являются объединение и пересечение. Третья операция – комплементарная. Объединение двух множеств S и T — это совокупность тех членов, которые принадлежат либо S, либо T, либо обоим. (см. рис. 2)
Пересечение множеств S и T — это совокупность элементов, принадлежащих как S, так и T. (см. рис. 3)
Дополнением подмножества S является та часть I, которая не содержится в S, и обозначается S’. (см. рис. 4)
Свойства булевой алгебры
Свойства булевой алгебры можно свести к четырем основным правилам.
(1) Обе бинарные операции обладают свойством коммутативности, то есть порядок не имеет значения.
S ∩ T = T ∩ S и S ∪ T = T ∪ S.
(2) Каждая бинарная операция имеет связанный с ней элемент идентификации. Универсальный набор — это элемент идентичности для операции пересечения, а нулевой набор — это элемент идентичности для операции объединения.
S ∩ I = S и S ∪ Ø = S.
(3) каждая операция распределяется по отношению к другой.
S ∪ (T ∩ V) = (S ∪ T) ∩ (S ∪ V) и S ∩ (T ∪ V) = (S ∩ T) U (S ∩ V).
Это отличается от алгебры действительных чисел, для которой умножение является дистрибутивным по отношению к сложению, a(b + c) = ab + ac, но сложение не является дистрибутивным по отношению к умножению, a + (bc) не равно (a + b )(а + в).
(4) с каждым элементом связан второй элемент, так что объединение или пересечение двух элементов приводит к элементу идентичности другой операции.
A ∪ ′ = I и A ∩ ′ = Ø .
Это также отличается от алгебры действительных чисел. С каждым действительным числом связаны два других, так что его сумма с одним из них является элементом идентичности для сложения, а его произведение на другое является элементом идентичности для умножения. То есть a + (-a) = 0 и a(1/a) = 1.
Приложения
Полезность булевой алгебры заключается в том, что ее правила применимы к логическим утверждениям. Логическое утверждение или суждение может быть либо истинным, либо ложным, как и уравнение с вещественным числом
числа могут быть истинными или ложными в зависимости от значения переменной.Однако в булевой алгебре переменные не представляют значения, которые делают утверждение истинным, вместо этого они представляют истинность или ложность утверждения. То есть логическая переменная может иметь только одно из двух значений. В контексте символической логики эти значения являются истинными и ложными.
Булевая алгебра оказалась незаменимой в области вычислительной техники. Взяв двузначные переменные булевой алгебры для представления электронных состояний включения и выключения (или двоичные цифры 0 и 1), булеву алгебру можно использовать для проектирования цифровых вычислительных схем. Таким образом, это основной язык дизайна всех современных компьютеров и других цифровых устройств.
КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ
Бинарная операция. Бинарная операция – это метод объединения элементов набора по два за раз таким образом, что их комбинация также является элементом набора.
Дополнение — дополнение множества S, обозначаемое как S’, — это множество, содержащее те элементы универсального множества, которые не содержатся в S.
Элемент — любой элемент набора. Объект в наборе.
Пересечение — пересечение двух наборов само по себе является набором, состоящим из всех элементов, общих для обоих наборов.
Набор. Набор – это набор объектов, называемых членами или элементами набора. В математике членами множества часто являются числа.
Теория множеств. Теория множеств — это изучение свойств множеств и подмножеств, особенно тех свойств, которые не зависят от конкретных элементов множества.
Подмножество. Набор S называется подмножеством другого набора I, если каждый элемент S содержится в I.
Объединение — объединение двух множеств — это множество, содержащее все элементы, найденные в одном или другом из двух множеств.
Универсальный набор. Универсальный набор — это набор, содержащий все рассматриваемые элементы.
Ресурсы
КНИГИ
Марковиц, Алан Б. Введение в логическое проектирование. Нью-Йорк: McGraw-Hill, 2006 г.
Процитировать эту статью
Выберите стиль ниже и скопируйте текст для своей библиографии.
Стили цитирования
В инструменте "Процитировать эту статью" выберите стиль, чтобы увидеть, как вся доступная информация выглядит в формате, соответствующем этому стилю. Затем скопируйте и вставьте текст в свою библиографию или список цитируемых работ.
Ассоциация современного языка
Чикагское руководство по стилю
Американская психологическая ассоциация
Примечания:
В 1847 году Джордж Буль (1815 – 1864), английский математик, опубликовал одну из работ, положивших начало символической логике. Его сочетание идей классической логики и алгебры привело к тому, что называется булевой алгеброй.
Используя переменные и символы, Буль разработал язык для описания логических утверждений и манипулирования ими, а также для определения того, истинны они или нет. Переменные обозначают утверждения, которые либо истинны, либо ложны. Символы +, * и − обозначают и, или и не и эквивалентны символам [.logicaland], [.logicalor] и — используются в таблицах истинности в логике. Хотя таблицы истинности используют T и F (для истинности и ложности соответственно) для обозначения состояния предложения, в булевой алгебре используются 1 и 0.
Взаимосвязь между булевой алгеброй, алгеброй множеств, логикой и бинарной арифметикой сделала булеву алгебру центральной ролью в разработке электронных цифровых компьютеров. Помимо многочисленных применений в разработке компьютеров, он составляет основу теории информации.
Таблицы правды
Булевая алгебра основана на предложениях, которые представляют собой недвусмысленные предложения, которые могут быть как истинными, так и ложными. Эти предложения можно комбинировать различными способами, используя связки и и или, или можно отрицать их, ставя перед ними не. Результаты этих операций над предложениями диктуются правилами булевой алгебры. Например, если кто-то говорит: «Я куплю зеленые варежки», то на самом деле он говорит, что купит варежки, и эти варежки будут зелеными. Поэтому свойства «рукавицы» и «зелени» должны присутствовать во всех ее «покрывающих руки» покупках. Это исключит перчатки и все незеленые варежки. Как это работает с использованием таблиц истинности? Пусть A обозначает «рукавицы», B обозначает «зеленый». На рис. 1(а) показано, как утверждение «рукавицы и зелень» представляется с помощью таблиц истинности, а на рис. 1(б) то же самое утверждение показано с помощью булевой алгебры.
Таблицы указывают на то, что если предмет не обладает ни качеством рукавицы, ни качеством быть зеленым, то он будет выброшен. Будут выбраны только те, которые удовлетворяют обоим требованиям.
С другой стороны, если кто-то говорит: «Я куплю перчатки или варежки», то на самом деле он говорит, что купит варежки, или перчатки, или какое-то их сочетание. Это означает, что у него будет большой ассортимент одежды, закрывающей руки. Пусть А обозначает «рукавицы», а В — «перчатки».На рис. 2(а) показано, как утверждение «рукавицы или перчатки» представляется с помощью таблиц истинности, а на рис. 2(б) то же утверждение показано с помощью булевой алгебры.
Таблицы показывают, что элемент будет выбран, если он обладает обоими качествами рукавицы и перчатки или обладает только одним качеством, либо перчаткой, либо рукавицей. Будут отбракованы только те, которые не удовлетворяют ни одному из качеств — например, все красные носки.
Можно также сказать: «Я куплю что-нибудь, чтобы прикрыть руки, но не варежки». Пусть A представляет «рукавицы». На рис. 3(а) показано, как утверждение «не варежки» представляется с помощью таблиц истинности, а на рис. 3(б) то же самое утверждение показано с помощью булевой алгебры.
В таблицах указано, что если предмет является варежкой, то его отрицание — A представляет не варежку — например, перчатку или носок.
Компьютерный дизайн
Булева алгебра может применяться для проектирования и упрощения сложных схем, присутствующих в компьютерах, поскольку компьютерные схемы являются устройствами с двумя состояниями: они могут быть либо выключены, либо включены. Это соответствует общему представлению булевой алгебры с двумя элементами, 0 и 1. Чтобы показать, как это работает, взгляните на две простые схемы, «и» и «или», которые соответствуют первым двум наборам представленных таблиц. ранее. Эти простые схемы состоят из источника питания — батареи, соединенной проводом с пунктом назначения — и лампы с двумя переключателями, которые контролируют поток электричества. Положение переключателя либо позволяет электричеству течь от источника питания к месту назначения, либо останавливает его. Например, если переключатель поднят или разомкнут, то электричество не течет, и это условие представлено 0. Однако, если переключатель опущен или замкнут, электричество будет течь, и это представлено 1.
На рисунке 4 показана схема последовательной цепи с двумя переключателями, в которой электричество будет течь от источника к получателю только в том случае, если оба переключателя замкнуты. На этой диаграмме представлены условия и булевой алгебры.
Схема, в которой электричество течет всякий раз, когда хотя бы один из переключателей замкнут, называется параллельной цепью. Это соответствует условию или булевой алгебры. На рис. 5 показана схема параллельной цепи с двумя переключателями.
Чтобы представить условие не, нужно помнить, что в этой системе переключатель имеет только два возможных положения: открыто или закрыто. Его дополнением является переключатель, который будет иметь противоположное положение. Например, если переключатель А разомкнут, его дополнение будет замкнуто, и наоборот. Разработчики логики могут использовать эти схемы для планирования сложных компьютерных схем, которые будут выполнять необходимые функции для конкретной машины.
Теория информации
Булева алгебра используется в теории информации, поскольку почти все поисковые системы позволяют вводить запросы в форме логических выражений. Оператор and используется для сужения запроса, тогда как or используется для его расширения. Оператор not используется для исключения определенных слов из запроса. Например, если кто-то ищет информацию о «конфиденциальности в компьютерной среде», он может сформулировать свой запрос как «компьютерная и конфиденциальность» или «компьютерная или конфиденциальность». или даже «компьютер и конфиденциальность, не мейнфреймы». Количество информации, полученной от каждого запроса, будет разным.
Первый запрос извлечет меньше документов, поскольку будут выбраны только те, которые содержат оба термина. Второй извлечет много документов, потому что он выберет те, которые содержат «компьютер», те, которые содержат «конфиденциальность», а также те, которые содержат оба термина. Последний запрос извлечет документы, содержащие как «конфиденциальность», так и «компьютер», а все, что содержит термин «мейнфрейм», будет отброшено.
При использовании поисковых систем необходимо понимать, что каждая из них будет обращаться к своей базе данных по-разному. Обычно один и тот же поиск, выполненный более чем в одной базе данных, не дает одинаковых результатов. Чтобы выполнить тщательный поиск, необходимо ознакомиться с несколькими различными поисковыми системами и понять их основные функции, такие как логическая логика и усечение. Кроме того, необходимо часто проверять документацию поисковой системы, поскольку она может часто меняться.
см. также Алгоритмы; Двоичная система счисления; Буль, Джордж; Системы поддержки принятия решений; Цифровой логический дизайн.
Ида М. Флинн
Библиография
Маккалоу, Роберт Н. Математика для обработки данных, 2-е изд. Энглвуд, Колорадо: Morton Publishing Co., 2001.
Ворринг, Рональд Х. Легкая логика. Саммит, Пенсильвания: TAB Books, Inc., 1985 г.
Уайтситт, Дж. Элдон. Булевая алгебра и ее приложения. Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., 1995 г.
Несмотря на то, что были приложены все усилия для соблюдения правил стиля цитирования, могут быть некоторые расхождения. Если у вас есть какие-либо вопросы, обратитесь к соответствующему руководству по стилю или другим источникам.
Наши редакторы рассмотрят то, что вы отправили, и решат, нужно ли пересматривать статью.
Родился: 2 ноября 1815 г., Линкольн, Англия. (Показать еще) Дата смерти: 8 декабря 1864 г. (49 лет) Ирландия. (Показать больше) Предметы изучения: формальная система булевой алгебры. (Показать больше)
Посмотрите посвящение математику Джорджу Булю, посвященное двухсотлетию со дня его рождения, из Университетского колледжа Корка, Ирландия
День уважения математику Джорджу Булю к двухсотлетию со дня его рождения из Университетского колледжа Корка (бывший Королевский колледж), Корк, Ирландия.
Джордж Буль (родился 2 ноября 1815 г., Линкольн, Линкольншир, Англия — умер 8 декабря 1864 г., Баллинтемпл, графство Корк, Ирландия), английский математик, который помог создать современную символическую логику и чья алгебра логики, теперь называемая булевой алгебра является основой проектирования цифровых компьютерных схем.
Первые уроки математики Буль получил от своего отца, торговца, который также научил его делать оптические приборы. Однако, помимо помощи отца и нескольких лет в местных школах, Буль был математиком-самоучкой. Когда бизнес его отца пришел в упадок, Джорджу пришлось работать, чтобы прокормить семью. С 16 лет он преподавал в деревенских школах в Западном райдинге Йоркшира, а в 20 лет открыл собственную школу в Линкольне. В свободное время он читал математические журналы в Институте механики Линкольна. Там он также прочитал Principia Исаака Ньютона, Traité de mécanique céleste Пьера-Симона Лапласа и аналитическую механику Жозефа-Луи Лагранжа и начал решать сложные задачи. задачи по алгебре.
< бр />
A-B-C, 1-2-3… Если вы считаете, что подсчет чисел похож на чтение алфавита, проверьте, насколько свободно вы владеете языком математики, с помощью этого теста.
Буль отправил поток оригинальных статей в новый Cambridge Mathematical Journal, начиная с 1841 года с его «Исследований по теории аналитических преобразований». Эти статьи были посвящены дифференциальным уравнениям и алгебраической проблеме линейного преобразования с упором на концепцию инвариантности. В 1844 г. в важной статье в Philosophical Transactions of the Royal Society «Об общем методе анализа», за которую он был награжден первой золотой медалью Королевского общества по математике, он обсуждал, как методы алгебру и исчисление можно совместить. Вскоре Буль увидел, что его алгебра может применяться и в логике.
Развивая новые идеи о логическом методе и будучи уверенным в символических рассуждениях, которые он вывел из своих математических исследований, он опубликовал в 1847 году брошюру Математический анализ логики, представляющий собой эссе по исчислению дедуктивных рассуждений, в которой он убедительно доказывал, что логика должна быть связана с математикой, а не с философией. Он завоевал восхищение английского логика Августа де Моргана, опубликовавшего в том же году Формальную логику. На основании своих публикаций Буль в 1849 году был назначен профессором математики в Королевском колледже графства Корк (ныне Университетский колледж Корка), хотя у него не было университетской степени. В 1854 году он опубликовал Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей, которое он считал зрелым изложением своих идей. В следующем году он женился на Мэри Эверест, племяннице сэра Джорджа Эвереста, в честь которого названа гора. У Булей было пять дочерей.
Один из первых англичан, написавших о логике, Буль указал на аналогию между алгебраическими символами и теми, которые могут представлять логические формы и силлогизмы, показав, как символы количества можно отделить от символов операции. С Буля в 1847 и 1854 годах началась алгебра логики, или то, что сейчас называется булевой алгеброй. Оригинальный и замечательный общий символический метод логического вывода Буля, полностью изложенный в Законах мышления (1854 г.), позволяет человеку, учитывая любые предложения, включающие любое количество терминов, делать выводы, которые логически содержатся в посылках. . Заумные рассуждения Буля привели к приложениям, о которых он и не мечтал, — например, телефонная коммутация и электронные компьютеры используют двоичные числа и логические элементы, построенные и работающие на основе булевой логики. Он также попытался использовать общий метод вероятностей, который позволил бы из заданных вероятностей любой системы событий определить последующую вероятность любого другого события, логически связанного с данными событиями.
В 1857 году Буля избрали членом Королевского общества. Влиятельный Трактат о дифференциальных уравнениях появился в 1859 году, а в следующем году за ним последовало его продолжение, Трактат о исчислении конечных разностей.Эти работы, которые использовались в качестве учебников в течение многих лет, представляют собой развитие более важных открытий Буля.
Буль заразился пневмонией, пройдя три мили от своего дома до Королевского колледжа во время ливня 24 ноября 1864 года. Он умер 8 декабря.
В 1940-х и 1950-х годах под электроникой подразумевались электронные лампы — большие, горячие и энергоемкие. Одну лампу с двумя триодами можно сконфигурировать как один триггер, хранящий один бит данных.
Как «думают» цифровые компьютеры?
Все цифровые компьютеры основаны на двоичной системе единиц и нулей, а также на правилах логики, изложенных в 1850-х годах английским математиком Джорджем Булем.
Компьютер может представлять двоичные цифры (биты) ноль и единицу механически с помощью положения колеса или рычага или электронно с помощью напряжения или тока. Основная математика остается прежней. Битовые последовательности могут представлять числа или буквы.
Джордж Буль (1815–1864)
Английский математик Джордж Буль заложил основы логической системы, которая теперь носит его имя: булевой логики. Его система логических операций, основанная на простых принципах, является основой современных компьютеров.
Булевая логика
Всего три операции (определение И, ИЛИ и НЕ) могут выполнять все логические функции. Так рассуждал математик-самоучка Джордж Буль в своей работе 1847 года Математический анализ логики. В 1854 году, будучи профессором математики в Квинс-колледже в Ирландии, Буль расширил свою концепцию в Исследовании законов мышления.
В течение десятилетий идеи Буля не имели практического применения. Его работа в значительной степени игнорировалась, пока Клод Шеннон не применил ее к конструкции телефонного коммутатора в 1930-х годах. Сегодня это называется булевой алгеброй, основой цифровой логики.
Задействуем логическую логику
Клод Шеннон познакомился с идеями Джорджа Буля на уроках философии в колледже в 1930-х годах. Он признал ее ценность для решения реальных проблем.
В магистерской диссертации Шеннона 1937 года в Массачусетском технологическом институте Символический анализ релейных и коммутационных цепей применялась булева алгебра для проектирования логических схем с использованием электромеханических реле. Шеннона также помнят за основополагающую статью 1948 года по теории информации Математическая теория коммуникации.
Клод Шеннон не был первым, кто применил концепции Буля. Виктор Шестаков предлагал аналогичные идеи в 1935 году, но публиковал их только в 1941 году, и то только на русском языке.
Клод Шеннон (1916–2001)
Будучи аспирантом Массачусетского технологического института, Клод Шеннон написал магистерскую диссертацию по булевой логике в схемах компьютеров на основе ретрансляции, что стало огромным шагом на пути к современным цифровым компьютерам.
Математическая теория коммуникации
Написанная в соавторстве с Уорреном Уивером, эта книга 1963 года (основанная на статье 1948 года) расширила основы современных вычислений с использованием булевой логики, а также передачи информации по каналам связи.
Из чего состоит компьютерная схема?
Компьютерные схемы состоят из простых элементов, называемых вентилями, состоящих из механических или электронных переключателей. Они работают в соответствии с булевой алгеброй для определения значения выходного сигнала (единицы или нуля) или для сохранения значения в «триггере» — запоминающем устройстве, состоящем из нескольких логических элементов.
Три основных типа логических элементов: И, ИЛИ и НЕ. Но другие, такие как НЕ-И (НЕ-И), могут сами по себе формировать любую компьютерную схему, в том числе для арифметики, памяти и выполнения инструкций. Современные компьютеры имеют эквивалент сотен миллионов вентилей NAND.
Практически в один и тот же день в 1847 году выдающимися британскими математиками были опубликованы две крупные новые работы по логике: Формальная логика [3] Августа Де Моргана (1806–1871) и The Математический анализ логики [1] Джорджа Буля (1815–1864). Оба автора стремились расширить границы традиционной логики, разработав общий метод представления и обработки логически обоснованных выводов или, как объяснил Де Морган в письме Булю от 1847 г., разработать «механические способы совершения переходов с обозначениями, которые представляют нашу логику». головная работа» [7, с. 25]. В отличие от метода, предложенного Де Морганом, подход Буля предпринял важный шаг, явно приняв для этой цели алгебраические методы. Как позже провозгласил сам Де Морган, «г. Булевское обобщение форм логики, безусловно, самое смелое и оригинальное. . . (цитируется по [4, с. 174]).
Несмотря на явный алгебраический характер, смелый и оригинальный подход Буля привел к очень странной новой системе алгебры. Например, среди законов, которые выполняются в системе, можно найти как стандартный закон дистрибутивности умножения над сложением \(x(y+z)=xy+xz\), так и необычный на вид двойственный закон дистрибутивности сложения над умножением \ (x+yz=(x+y)(x+z).\) В своей зрелой работе по логике An Investigation of the Laws of Thought [2], опубликованной в 1854 г., Буль продолжил исследование способы, которыми законы этой алгебраической системы напоминают и отличаются от законов стандартной алгебры, а также причины, по которым она удовлетворяет этим различным законам. По иронии судьбы, Laws of Thought изначально не был хорошо принят; Буль и его друг, понесшие расходы на его первоначальную печать, вероятно, не возместили свои затраты. Абстрактная структура булевой алгебры, которая в конечном итоге развилась из работ Буля, стала, однако, не только важной областью изучения математики, но и мощным инструментом проектирования и изучения электронных схем и компьютерной архитектуры.
На основе работ многочисленных людей, которые внесли свой вклад в историю рождения и развития булевой алгебры, мы создали три основных исходных модуля проекта, подходящие для студентов, изучающих вводные или промежуточные курсы дискретной математики:
Все три проекта являются частью более крупной коллекции, опубликованной в Convergence, и весь вводный курс по дискретной математике можно преподавать на основе выбранных проектов из этой коллекции. Дополнительные проекты см. в разделе «Основные исторические источники в классе: дискретная математика и информатика».
Наш проект «Истоки булевой алгебры в логике классов: Джордж Буль, Джон Венн и К. С. Пирс» готов для студентов, а исходный код Latex также доступен для преподавателей, которые могут захотеть изменить проект для студентов. Подробные «Примечания для инструктора», представленные далее, также прилагаются к самому проекту.
.jpg)
Рис. 2. Нижняя треть витража, посвященного Джорджу Булю, в Линкольнском соборе в Линкольне, Англия, где родился Буль (Источник: Wikimedia Commons)
Примечания для инструктора
Проект «Истоки булевой алгебры в логике классов: Джордж Буль, Джон Венн и К. С. Пирс» предназначен для вводного или промежуточного курса дискретной или конечной математики, который включает изучение элементарной теории множеств. Без явного введения современных обозначений для операций над множествами проект развивает современное понимание этих операций и их основных свойств в контексте ранних попыток разработать символическую алгебру для логики. Хотя проект фокусируется на том, что сейчас можно было бы назвать «введением в теорию множеств», он также закладывает основу для более абстрактного обсуждения булевой алгебры как дискретной аксиоматизированной структуры. Соответственно, этот проект можно также использовать в качестве введения в один или оба сопутствующих проекта, описанных ниже, в любом курсе, который рассматривает булеву алгебру с точки зрения математики или информатики. Помимо определенного уровня математической зрелости, соответствующего типичному опыту исчисления I, для этого проекта не требуется предварительных условий. Сильные учащиеся на уровне, предшествующем математическому анализу, также могут выполнить предыдущие разделы этого проекта.
 |
Начиная с работ Буля об использовании символической алгебры для представления логических классов в его Исследовании законов мысли [2] (раздел 2), этот проект вводит операции логического сложения ( т. е. объединение множеств), логическое умножение (т. е. пересечение множеств) и логическое различие (т. е. различие множеств) и исследует определенные ограничения, наложенные на их использование Булем, которые с тех пор были сняты. Вводятся также основные законы этих операций, разработанные и обоснованные Булем; эти обоснования основывались частично на его определениях операций и частично на аналогии его символов с символами «стандартной алгебры».Затем проект следует усовершенствованиям системы Буля, сделанным Джоном Венном в его Символической логике [8] (раздел 3) и Чарльзом Сандерсом Пирсом в его «Об улучшении логического исчисления Буля» [5]. (Раздел 4), причем уровень абстракции в этих разделах неуклонно растет. Проект завершается (раздел 5) кратким изложением того, как «Алгебра логики» Буля соотносится с элементарной теорией множеств в том виде, в каком она обычно представлена сегодня, и обсуждается, как элементарная теория множеств (если рассматривать ее как алгебраическую структуру) служит конкретным примером булева алгебра. Стандартные (студенческие) обозначения и свойства для операций теории множеств, используемых сегодня, включены и сравниваются со стандартными (студенческими) обозначениями и аксиомами для булевой алгебры в этом разделе. Вопросы, связанные с использованием языка и операциями над наборами, которые вызывают трудности у многих учащихся, но которые игнорируются или не признаются современными авторами учебников, также подробно рассматриваются в трудах Буля и Венна (разделы 3 и 4) и дополнительно исследуются в рамках проекта. вопросы в этих разделах.
 |
Следуя усовершенствованиям, внесенным в символическую алгебру Буля руками Венна и Пирса, этот проект дает учащимся возможность своими глазами увидеть, как протекает процесс разработки и уточнения математической системы, как математики делать и объяснять свой выбор на этом пути, а также то, как стандарты строгости в этом отношении изменились с течением времени. Таким образом, помимо развития свойств теории множеств как конкретного конкретного примера булевой алгебры, проект способен исследовать множество математических тем, в том числе понятие обратной операции, понятие двойственности, вопросы, связанные с математическими обозначения, а также стандарты строгости и доказательства. Следуя одной или нескольким из этих тем в рамках проекта, преподаватели имеют значительную свободу действий в адаптации проекта к своим целям для конкретной группы студентов. Инструктору рекомендуется заранее проработать все упражнения, чтобы определить, какие из них он может пропустить. Например, раздел 4 можно было бы полностью опустить, если бы инструктор решил не исследовать доказательства свойств элементарного множества с более абстрактной точки зрения, которую принял Пирс. Для полного завершения проекта требуется примерно две недели.
Два сопутствующих проекта по булевой алгебре также доступны в качестве продолжения этого вводного проекта, каждый из которых или оба могут также использоваться независимо от проекта Буля-Венна-Пирса. Кроме того, любой из двух сопутствующих проектов можно использовать в качестве предварительного или дополняющего другого сопутствующего проекта.
Сопутствующий проект «Применение булевой алгебры к проектированию схем: Клод Шеннон», основанный на новаторской статье Шеннона «Символический анализ реле и коммутационных цепей» [6], начинается с краткого обзора двух основных исторических предшественников теории Шеннона. работа: оригинальная работа Буля по логике и работа Хантингтона по аксиоматизации. Затем проект разрабатывает стандартные свойства булевой алгебры в конкретном контексте схем и дает учащимся практику использования этих свойств для упрощения логических выражений. Двузначная булева алгебра на \(К = \\) снова играет центральную роль в этой работе. Проект завершается исследованием концепции «дизъюнктивной нормальной формы» для логических выражений, опять же в контексте схем.
Реализация со студентами любого из этих проектов может быть достигнута путем индивидуальной работы, работы в малых группах и/или обсуждения в классе; рекомендуется сочетание этих учебных стратегий, чтобы воспользоваться разнообразием вопросов, включенных в проект.
Загрузите редактируемый исходный файл Latex для этого проекта.
Библиография
[1] Буль Г., Математический анализ логики, MacMillan, Barclay & MacMillan, Cambridge, 1847. Перепечатка Open Court, La Salle, 1952.
[2] Буль, Г., Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей, Уолтон и Маберли, Лондон, 1854 г. Перепечатка Dover Publications, New Йорк, 1958 г.
[3] Де Морган, А., Формальная логика: или исчисление вывода, необходимое и вероятное, Тейлор и Уолтон, Лондон, 1847 г.
[4] Меррилл Д., Август Де Морган и логика отношений, Kluwer, Dordrecht, 1990.
[5] Пирс, К. С., Об улучшении логического исчисления Буля, Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences, 7 (1867), 250-261. Перепечатано в Собрание статей Чарльза Сандерса Пирса, том III: Точная логика, К. Хартсхорн и П. Вайс (редакторы), Oxford University Press, Лондон, 1967, стр. 3–15.
[6] Шеннон, К.Э., Символический анализ реле и коммутационных цепей, Транзакции Американского института инженеров-электриков, 57 (1938), 713-723. Перепечатано в Claude Elwood Shannon: Collected Papers, NJA Sloane and AD Wyner (редакторы), IEEE Press, New York, 1993, 471–495.
[7] Smith, G.C., The Boole-DeMorgan Correspondence, 1842-1864, Clarendon Press, Oxford, 1982.
[8] Венн Дж., Символическая логика, MacMillan, Лондон, 1894 г. Переиздание, Челси, Бронкс, 1971 г.
Благодарность
Разработка учебных материалов по дискретной математике была частично поддержана Национальным научным фондом в рамках программы усовершенствования курсов, учебных планов и лабораторий в рамках грантов DUE-0717752 и DUE-0715392, за что авторы очень признательны. Любые мнения, выводы и заключения или рекомендации, выраженные в этом материале, принадлежат авторам и не обязательно отражают точку зрения Национального научного фонда.
Джанет Хайне Барнетт (Университет штата Колорадо, Пуэбло), «Истоки булевой алгебры в логике классов: Джордж Буль, Джон Венн и К.С. Пирс», Конвергенция (июль 2013 г.), DOI: 10.4169/loci003997
Джордж Буль был математиком, философом, логиком и автором книги «Законы мышления» среди других книг.
Кем был Джордж Буль?
Джордж Буль был математиком-самоучкой, философом и логиком. Большую часть своей профессиональной жизни он проработал профессором математики в Королевском колледже Корка в Ирландии. Буль работал в области дифференциальных уравнений и алгебраической логики.
Краткие факты
- Золотой приз по математике и медаль Кита
- Математика
- Логика
- Философия
Наиболее известен своей книгой Законы мышления, опубликованной в 1854 году. Законы мышления содержат информацию о булевой алгебре . Булева логика, как известно, заложила основу века информации.
Ранние годы
Джордж Буль родился в Линкольне, графство Линкольншир, Англия. Его родителями были Джон Буль старший и Мэри Энн Джойс. У Буля было начальное школьное образование, а позже его отец обучал его на дому из-за упадка их бизнеса. У него небольшое формальное и академическое образование, и он самостоятельно выучил современные языки.
В 16 лет Буль стал младшим учителем в Донкастерской школе Хейэма. Именно тогда Буль стал финансово поддерживать своих родителей, младших братьев и сестер.
Буль также участвовал в Институте механики Линкольна, который был основан в 1933 году. Именно тогда Эдвард Бромхед помогал Джорджу Булю с математикой. Затем преподобный Джордж Стивенс Диксон из церкви Св. Свитина, Линкольн передал Булю текст исчисления Сильвестра Франсуа Лакруа. К сожалению, у Буля не было подходящего учителя, и ему потребовалось много лет, чтобы освоить математический анализ.
В 19 лет Джордж Буль основал в Линкольне собственную школу Free School Lane. Четыре года спустя, после смерти Роберта Холла, Буль возглавил Академию Холла в Уоддингтоне. В 1840 году он вернулся в Линкольн, где руководил школой-интернатом.
Буль был членом Топографического общества Линкольна и членом комитета. Буль стал влиятельной местной фигурой и восхищался Джоном Кеем, английским церковным деятелем. Позже он присоединился к местной кампании за досрочное закрытие. Он был создан для контроля рабочего времени в розничных магазинах и прекращения воскресной торговли. Начиная с 1838 года, Буль общается с сочувствующими британскими академическими математиками и читает более широко. Также Буль изучал алгебру в виде символьных методов и начал публиковать исследовательские работы.
Карьера
Профессор в Корке
В 1849 году статус Буля как математика был признан, когда он был назначен первым профессором математики в Королевском колледже Корка в Ирландии.
Чем известен Джордж Буль?
Джордж Буль считается одним из основоположников информатики и известен своей концепцией: булевой логикой. Булева логика — это логическая теория, которая лежит в основе современных цифровых компьютеров и других цифровых устройств.
Джордж Буль: брак, развод, дети и личная жизнь
Брак
В 1855 году Буль женился на Мэри Эверест, которая позднее написала несколько образовательных работ, посвященных принципам Буля. Они познакомились в 1850 году, когда она гостила у своего дяди, Джона Райалла, профессора греческого языка в Королевском колледже Корка в Ирландии.
Дети
У Мэри и Джорджа было 5 дочерей: Мэри, Маргарет, Алисия, Люси и Этель.
Трагедия
В ноябре 1864 года Буль прошел три мили от своего дома до университета под проливным дождем, а затем читал лекции в мокрой одежде. Сразу же Буль заболел, и у него развилась пневмония. Мэри, его жена, считала, что ей нужно завернуть его в мокрые одеяла, чтобы вылечить. Его состояние ухудшилось, и Буль умер 8 декабря 1864 года из-за вызванного лихорадкой плеврального выпота. Буль был похоронен на кладбище Ирландской церкви Святого Михаила, Черч-роуд, Блэкрок. В соседней церкви установлена памятная доска.
Джордж Буль был первым профессором математики в Королевском колледже Корка в Ирландии.
Джордж Буль: награды и достижения
Золотая премия Королевского общества по математике
Джордж Буль получил первую золотую премию по математике, присужденную Королевским обществом в 1844 году, за статью «Об общем методе анализа».
Медаль Кита Королевского общества
В 1855 году Эдинбургское королевское общество наградило его медалью Кита.
Два года спустя Буль был избран членом Королевского общества (FRS).
Буль получил почетную степень доктора юридических наук. из Дублинского университета и Оксфордского университета.
Изданные работы и книги Джорджа Буля
Первая статья, опубликованная Булем, называлась «Исследования по теории аналитических преобразований со специальным приложением к редукции общего уравнения второго порядка». Она была напечатана в Cambridge Mathematical Journal в феврале 1840 года. Эта статья привела к дружбе между Булем и редактором журнала Дунканом Фаркуарсоном Грегори.
Буль опубликовал влиятельную статью по ранней теории инвариантов в 1841 году.
В 1844 году он получил медаль Королевского общества за мемуары «Об общем методе анализа». Это был вклад в теорию линейных дифференциальных уравнений, переход от случая постоянных коэффициентов к переменным коэффициентам. Нововведение в операционных методах заключается в признании того, что операции не могут коммутировать друг с другом.
Буль опубликовал «Математический анализ логики» в 1847 году. Это была его первая работа по символической логике.
Дифференциальные уравнения
В 1859 и 1860 годах Буль опубликовал два систематических трактата по математическим предметам. Сначала «Трактат о дифференциальных уравнениях», а затем «Трактат об исчислении конечных разностей».
Идентификация Буля
Буль опубликовал трактат «О сравнении трансцендентных с некоторыми приложениями к теории определенных интегралов» в 1857 году. В трактате он изучал сумму вычетов рациональной функции, где доказал то, что мы сейчас называем: Тождество – для любых действительных чисел. Существуют обобщения этого тождества, которые играют важную роль в теории преобразования Гильберта.
Символическая логика
В 1847 году Буль опубликовал брошюру под названием «Математический анализ логики», позже он хотел, чтобы «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей», рассматривалось как зрелое изложение его Просмотры. Считалось, что Буль не согласен с логикой Аристотеля; однако Буль намеревался только систематизировать его. Он хотел дать ему основу и расширить диапазон его применимости. Буль впервые увлекся логикой во время дебатов по количественной оценке между сэром Уильямом Гамильтоном и Августом Де Морганом.
Эти дебаты привели к тому, что Буль основал то, что сначала было известно как традиция «алгебры логики». Буль внес много нововведений в свой принцип целостной референции, и позже он был принят Готлобом Фреге и другими логиками, которые верили в стандартную логику первого порядка.
В 2003 г. была опубликована статья, в которой проводится сравнение и критическая оценка между аристотелевской логикой и булевой логикой – она раскрывает центральное место целостной референции в философии логики Буля.
Теория вероятностей
Вторая часть «Законов мышления» включала попытку открыть общий метод в вероятностях. «Цель Буля была алгоритмической: из заданных вероятностей любой системы событий определить последующую вероятность любых других даже логически связанных с этими событиями».
Бюст Джорджа Буля находится в Королевском колледже в Корке, Ирландия.
Цитаты Джорджа Буля
«Из многих форм ложной культуры преждевременный разговор с абстракциями, пожалуй, с наибольшей вероятностью окажется фатальным для роста мужской силы интеллекта».
«Суть математики не в том, чтобы разбираться в идеях числа и количества. Другой вопрос, желательно ли в качестве общей привычки применять символические процессы к моральным аргументам».
«Суть математики не в том, чтобы разбираться в понятиях числа и количества».
"Общие законы природы по большей части не являются непосредственными объектами восприятия".
"Общепризнанной истиной является то, что язык является инструментом человеческого разума, а не просто средством выражения мысли".
«Какой бы правильной ни казалась математическая теорема, никогда не следует убеждаться в том, что в ней нет ничего несовершенного, пока она не производит впечатление прекрасной».
«Я предполагаю, что немногие из тех, кто обращал хоть какое-то внимание на историю математического анализа, будут сомневаться в том, что он развивался в определенном порядке или что этот порядок был в значительной степени необходим — поскольку он определен, либо шагами логической дедукции, либо последовательным введением новых идей и концепций, когда настало время их эволюции».
«Вероятность — это ожидание, основанное на частичном знании. Полное знание всех обстоятельств, влияющих на возникновение события, превратило бы ожидание в уверенность и не оставило бы ни места, ни потребности для теории вероятностей».
«Из этого следует, что слово «вероятность» в его математическом понимании относится к состоянию наших знаний об обстоятельствах, при которых событие может произойти или не произойти. В зависимости от степени имеющейся у нас информации об обстоятельствах события, причина, по которой мы должны думать, что оно произойдет, или, если использовать один термин, зависит от нашего ожидания этого события. Вероятность — это ожидание, основанное на частичном знании».
«Раскрыть тайные законы и отношения тех высоких мыслительных способностей, с помощью которых достигается или созревает все, что выходит за рамки простого чувственного познания мира и нас самих, — это цель, которая не нуждается в том, чтобы предавать ее рациональному ум.”
«Теперь я собираюсь серьезно заняться подготовкой для печати отчета о моей теории логики и вероятностей, который в его нынешнем состоянии я считаю наиболее ценным, если не единственным ценным вкладом, который я сделал или я, вероятно, сделаю для Науки и то, благодаря чему я хотел бы, чтобы меня вообще помнили в будущем ».
«Я полностью уверен, что не может быть установлен ни один общий метод решения вопросов теории вероятностей, который не признавал бы в явном виде не только специальные числовые основы науки, но и те универсальные законы мышления, которые являются основой всех рассуждений, и которые, какими бы они ни были по своей сути, являются по крайней мере математическими по своей форме».
Джордж Буль. Полная биография, история и часто задаваемые вопросы об изобретениях (часто задаваемые вопросы)
Что открыл Джордж Буль?
Джордж Буль считается одним из основоположников информатики. Он изобрел Булеву логику — логическую теорию, основанную на трех простых словах, известных как логические операторы: «Или», «И» и «Не».
Джордж Буль также изобрел символическую логику, теперь известную как булева алгебра, которая является ветвью алгебры, где значения либо истинны, либо ложны, обычно обозначаются 1 и 0.
Инвестировал ли Джордж Буль в символическую логику?
Когда Буль изобрел символическую логику, которая теперь называется булевой алгеброй . Цель Буля состояла в том, чтобы найти набор математических аксиом, которые могли бы воспроизвести классические результаты логики.
Какую форму логики ввел Джордж Буль в XIX веке?
Джордж Буль представил символическую логику, теперь известную как булева алгебра, в 19 веке.
Его работы пересматривали разные писатели. Булева алгебра лежит в основе проектирования схем цифровых компьютеров.
Когда родился Джордж Буль?
Джордж Буль родился в Линкольне, графство Линкольншир, Англия, 2 ноября 1815 года.
Где работал Джордж Буль?
В 1849 году Буль был назначен первым профессором математики в Королевском колледже Корка в Ирландии.
Читайте также: