С помощью каких компьютерных математических моделей можно реализовать

Обновлено: 02.07.2024

Математическая модель – это абстрактная модель, использующая математический язык для описания поведения системы.

Математические модели используются, в частности, в естественных науках и инженерных дисциплинах (таких как физика, биология и электротехника), а также в социальных науках (таких как экономика, социология и политология); физики, инженеры, программисты и экономисты чаще всего используют математические модели.

Эйхофф (1974) определил математическую модель как "представление существенных аспектов существующей системы (или системы, которая должна быть построена), которая представляет знания об этой системе в пригодной для использования форме".

Математические модели могут принимать различные формы, включая, помимо прочего, динамические системы, статистические модели, дифференциальные уравнения или теоретико-игровые модели.

Эти и другие типы моделей могут пересекаться, при этом данная модель включает множество абстрактных структур.

Существует шесть основных групп переменных: переменные решения, входные переменные, переменные состояния, экзогенные переменные, случайные переменные и выходные переменные.

Поскольку переменных каждого типа может быть много, переменные обычно представляются векторами.

Задачи математического моделирования часто подразделяют на модели черного ящика или белого ящика в зависимости от того, сколько априорной информации доступно о системе.

Модель черного ящика — это система, о которой нет априорной информации.

Модель белого ящика (также называемая "стеклянным ящиком" или "прозрачным ящиком") – это система, в которой доступна вся необходимая информация.

Практически все системы находятся где-то между моделями черного и белого ящиков, поэтому эта концепция работает только как интуитивно понятное руководство для подхода.

Обычно предпочтительно использовать как можно больше априорной информации, чтобы сделать модель более точной.

Примечание. Приведенный выше текст взят из статьи Википедии «Математическая модель», выпущенной под лицензией GNU Free Documentation License.

Вычислительное моделирование — это использование компьютеров для моделирования и изучения сложных систем с использованием математики, физики и информатики. Вычислительная модель содержит множество переменных, характеризующих изучаемую систему. Моделирование выполняется путем корректировки переменных по отдельности или в комбинации и наблюдения за результатами. Компьютерное моделирование позволяет ученым проводить тысячи смоделированных экспериментов с помощью компьютера. Тысячи компьютерных экспериментов определяют несколько лабораторных экспериментов, которые с наибольшей вероятностью решат изучаемую проблему.

Современные вычислительные модели позволяют изучать биологическую систему на нескольких уровнях. Модели развития болезни включают молекулярные процессы, межклеточные взаимодействия и то, как эти изменения влияют на ткани и органы. Изучение систем на нескольких уровнях известно как многомасштабное моделирование (МСМ).

Вычислительные модели используются для моделирования и изучения сложных биологических систем. Изображение предоставлено ISB

Модели прогнозирования погоды делают прогнозы на основе многочисленных атмосферных факторов. Точные прогнозы погоды могут защитить жизнь и имущество, а также помочь коммунальным предприятиям планировать увеличение мощности, которое происходит при экстремальных климатических изменениях.

В авиасимуляторах используются сложные уравнения, которые управляют полетом самолета и реагируют на такие факторы, как турбулентность, плотность воздуха и осадки. Симуляторы используются для обучения пилотов, проектирования самолетов и изучения того, как самолеты меняются при изменении условий.

Моделирование землетрясений направлено на спасение жизней, зданий и инфраструктуры. Вычислительные модели предсказывают, как состав и движение конструкций взаимодействуют с подстилающими поверхностями, чтобы повлиять на то, что происходит во время землетрясения.

Отслеживание инфекционных заболеваний. Вычислительные модели используются для отслеживания инфекционных заболеваний среди населения, определения наиболее эффективных вмешательств, а также мониторинга и корректировки вмешательств для уменьшения распространения болезни. Выявление и внедрение мер, направленных на сдерживание распространения болезни, имеют решающее значение для спасения жизней и снижения нагрузки на систему здравоохранения во время пандемий инфекционных заболеваний.

Клиническая поддержка принятия решений. Вычислительные модели интеллектуально собирают, фильтруют, анализируют и представляют информацию о здоровье, чтобы предоставить врачам рекомендации по лечению заболеваний на основе подробных характеристик каждого пациента.Системы помогают обеспечить информированный и последовательный уход за пациентом при его переводе в соответствующие больничные учреждения и отделения и сдаче различных анализов в ходе курса лечения.

Прогнозирование побочных эффектов лекарств. Исследователи используют компьютерное моделирование, чтобы помочь разработать лекарства, которые будут наиболее безопасными для пациентов и с наименьшей вероятностью будут иметь побочные эффекты. Такой подход может сократить много лет, необходимых для разработки безопасного и эффективного лекарства.

Моделирование распространения инфекционных заболеваний для определения эффективных вмешательств. Точное моделирование инфекционных заболеваний опирается на многочисленные большие наборы данных. Например, оценка эффективности социального дистанцирования в отношении распространения гриппоподобных заболеваний должна включать информацию о дружбе и взаимодействии людей, а также стандартные биометрические и демографические данные. Исследователи, финансируемые NIBIB, разрабатывают новые вычислительные инструменты, которые могут включать новые доступные наборы данных в модели, предназначенные для определения наилучших направлений действий и наиболее эффективных вмешательств во время пандемического распространения инфекционных заболеваний и других чрезвычайных ситуаций в области общественного здравоохранения.

Многомасштабное моделирование (MSM) — это сложный тип вычислительного моделирования, который включает в себя несколько уровней биологической системы. Изображение предоставлено ISB.

Отслеживание эволюции вируса во время распространения инфекционного заболевания. РНК-вирусы, такие как ВИЧ, гепатит В и коронавирус, постоянно мутируют, вырабатывая лекарственную устойчивость, избегая иммунного ответа и вызывая новые инфекции. Образцы секвенированных патогенов от тысяч инфицированных можно использовать для идентификации миллионов эволюционирующих вариантов вируса. Исследователи, финансируемые NIBIB, создают вычислительные инструменты для включения этих важных данных в анализ инфекционных заболеваний медицинскими работниками. Новые инструменты будут созданы в сотрудничестве с CDC и доступны в Интернете для исследователей и медицинских работников. Этот проект улучшит эпиднадзор и лечение заболеваний во всем мире и позволит разработать более эффективные стратегии искоренения болезней.

Преобразование беспроводных данных о состоянии здоровья в улучшение здоровья и здравоохранения. Устройства для мониторинга здоровья в больницах и носимые датчики, такие как умные часы, генерируют огромные объемы данных о состоянии здоровья в режиме реального времени. Медицинское обслуживание на основе данных обещает быть быстрым, точным и менее дорогим, но непрерывные потоки данных в настоящее время превышают возможности использования информации. Исследователи, финансируемые NIBIB, разрабатывают вычислительные модели, которые преобразуют потоковые данные о здоровье в полезную форму. Новые модели обеспечат физиологический мониторинг в режиме реального времени для принятия клинических решений в Национальной детской больнице. Команда математиков, биомедицинских информатиков и персонала больниц будет создавать общедоступные данные и программное обеспечение. Проект будет использовать рынок беспроводных медицинских услуг стоимостью 11 миллиардов долларов, чтобы значительно улучшить здравоохранение.

Человеческое и машинное обучение для индивидуального управления вспомогательными роботами. Чем серьезнее двигательные нарушения человека, тем сложнее ему управлять вспомогательными механизмами, такими как кресла-коляски с электроприводом и роботизированные руки. Доступные средства контроля, такие как устройства для вдоха и выдоха, не подходят для людей с тяжелым параличом. Исследователи, финансируемые NIBIB, разрабатывают систему, позволяющую людям с тетраплегией управлять роботизированной рукой, одновременно продвигая физические упражнения и поддерживая остаточные двигательные навыки. В технологии используются интерфейсы «тело-машина», которые реагируют на минимальное движение конечностей, головы, языка, плеч и глаз. Первоначально, когда пользователь двигается, машинное обучение усиливает сигнал для выполнения задачи с помощью робота-манипулятора. Помощь сокращается по мере того, как машина передает управление все более опытному пользователю. Этот подход направлен на то, чтобы расширить возможности людей с тяжелым параличом и предоставить интерфейс для безопасного обучения управлению роботами-помощниками.

Поскольку переменных каждого типа может быть много, переменные обычно представляются векторами.

Модель черного ящика — это система, о которой нет априорной информации.

Мы представляем математическую модель, численную схему и компьютерное моделирование формирования трехмерного рисунка сотовой структуры с использованием метода погруженных границ. В нашей модели мы предполагаем, что изначально сотовые ячейки имеют полую полусферу, прикрепленную к полому круглому цилиндру при их рождении, и на всю сторону ячейки действует сила. Чистая сила от отдельных ячеек является ключевым фактором в их преобразовании из полой полусферы, установленной в форме полого круглого цилиндра, в закругленные ромбоэдрические поверхности, закрепленные в форме шестиугольного цилиндра. Численное моделирование предложенного уравнения математической модели дает закругленные ромбоэдрические поверхности, установленные в виде шестиугольного цилиндра, наблюдаемые в пчелиных семьях.

Введение

Хотя хорошо известно, что форма сотовой ячейки шестиугольная, ее трехмерная структура менее известна. Реальные соты состоят из двух слоев конгруэнтных ячеек, каждая из которых имеет шестиугольное отверстие и закрывается тремя ромбическими гранями 1 . На рис. 1а схематически показаны четыре единичных сотовых ячейки.

Трехмерная сотовая структура. (а) Схематическое изображение четырех единичных сотовых ячеек. (б) Шестиугольный цилиндр и (в) трехмерная геометрия сотовой ячейки.

Карихалу и др.. 2 сообщается, что свежие ячейки в естественных сотах медоносных пчел имеют круглую форму, однако быстро трансформируются в округлую шестиугольную структуру по мере построения соты. Гнезда птиц в природе обычно имеют форму полусферы. В этом исследовании предполагается, что образование округлых шестиугольных и ромбических узоров в сотах медоносных пчел является результатом суммарной силы, исходящей от сил, действующих наружу от границ ячеек. Эта работа расширяет предыдущее исследование образования сот, которое рассматривало только два измерения 3 ; мы исследуем структуру с трехмерной точки зрения.

Результаты моделирования

Предложенный метод был реализован с использованием языка C, а визуализация результатов была выполнена с использованием программного обеспечения MATLAB (The MathWorks, Natick, MA, USA). Для моделирования мы принимаем исходный массив ячеек, как показано на рис. 2а, где каждая ячейка контактирует с другими ячейками и имеет тонкий мягкий слой. Будем рассматривать исходную элементарную ячейку как полусферу, закрепленную на полом цилиндре, как показано на рис. 2б. Радиус полусферы равен \(R=1\) с центром \((x,y,z)=(0,0,1)\), а высота цилиндра равна \(H=2\) . Мы создаем триангуляцию поверхности элементарной ячейки с помощью DistMesh 4, генератора сетки MATLAB с открытым исходным кодом, см. рис. 2c.

(a) Исходный массив ячеек. (б) Полая полусфера, закрепленная полым цилиндром в качестве исходной ячейки. (c) Триангуляция поверхности элементарной ячейки. (d) Расстояние между ячейками на \(g\) .

Мы исследуем временную эволюцию \(50\) клеток с помощью предложенной модели. Обозначим расстояние зазора между ячейками через \(g\) , см. рис. 2г. На рис. 3 показаны снимки времени \(t=0,300\Delta t\) и \(700\Delta t\) . Здесь мы используем \(_=73\), \(_=63\), \(_=50\), \(h=0,2496\), \(\Delta t=0,1^\) и \( г=0,1\) . На рис. 3а, б показаны два разных вида. Чтобы детально изучить эволюцию клеток, мы изолируем четыре ячейки, включая выделенную ячейку, от других ячеек, как показано на рис. 3c. Мы можем наблюдать, как клетки превращаются из круглого цилиндра в округлый шестиугольный цилиндр и из полусферы в закругленную ромбоэдрическую поверхность.

Эволюция во времени при \(t=0,300\Delta t\) и \(700\Delta t\): (a) вид сверху, (b) вид сбоку и (c) часть (b).< /p>

Рассмотрим эволюцию морфологии выделенной клетки более подробно.На рис. 4a–c показаны различные виды снимков выделенной ячейки с наиболее подходящей системой отсчета при \(t=0,120\Delta t\) и \(600\Delta t\) соответственно. Система отсчета представляет собой математически оптимизированную форму. Результат указывает на то, что выделенная ячейка принимает оптимальную форму, наблюдаемую в природе.

Различные виды снимков выделенной ячейки с системой отсчета в точках (a) \(t=0\), (b) \(t=120\Delta t\) и (c) \(t= 600\Дельта t\).

До сих пор мы проводили вычислительные тесты с равномерной граничной силой, как показано на рис. 5а. В качестве последнего теста мы исследуем временную эволюцию \(50\) ячеек со случайной граничной силой, как показано на рис. 5b. Числовые параметры такие же, как в предыдущем тесте, за исключением шага по времени, \(\Delta t\) . Здесь мы используем размер временного шага как \(\Delta t=^\) . Граничная сила задается случайным образом в пространстве и времени, т. е. мы случайным образом прикладываем граничную силу к 10% ячеек. Численные результаты представлены на рис. 5в–д. На рис. 5c, d представлены два разных вида, а на рис. 5e — четыре ячейки, включая выделенную ячейку. Здесь мы можем наблюдать трансформацию клеток из круглого цилиндра в закругленный шестиугольный цилиндр и из полусферы в закругленную ромбоэдрическую поверхность.

Схема граничной силы с (а) постоянным значением и (б) случайным значением. Эволюция во времени случайного форсирования клеток при \(t=0,400\Delta t\) и \(1000\Delta t\): (c) вид сверху, (d) вид сбоку и (e) часть (d).

Выводы

Мы предложили математическую модель, численную схему и компьютерное моделирование формирования трехмерного рисунка сотовой структуры с использованием IBM. В предлагаемой модели ячейки, имеющие полусферу, установленную в форме полого круглого цилиндра, при их рождении становятся оптимизированной сотовой структурой за счет суммарной силы от внешних сил отдельных ячеек. Вычислительные эксперименты продемонстрировали наблюдаемые в природе закругленные ромбоэдрические поверхности, соединенные узорами шестиугольных цилиндров. В этой статье мы сосредоточились на математическом моделировании трехмерного сотового образования и его численном методе. В качестве будущей работы было бы интересно сравнить теоретические результаты с экспериментальными.

Метод

В этой статье мы предлагаем математическую модель и выполняем вычислительное моделирование трехмерного формирования сот с использованием метода погруженных границ (IBM) 5,6,7. Основной механизм трехмерной модели аналогичен механизму двухмерной модели 3 и заключается в следующем: мы задаем два слоя конгруэнтных ячеек, и каждая ячейка состоит из полой полусферы, закрепленной на полом цилиндре.

Сначала мы вычисляем силы, действующие на всю поверхность отдельных ячеек. Во-вторых, мы вычисляем чистую силу из этих сил. В-третьих, мы перемещаем точки границы ячейки в новые положения в соответствии с результирующей силой. Мы повторяем эти шаги, пока не будет достигнуто заданное количество итераций. Теперь опишем предложенную схему более точно. Мы дискретизируем набор сотовых ячеек треугольной поверхностной сеткой \(S=_^_

>(_

),\), где \(_

=\>>_| 1\le q\le _\>\) и \(_

=\_|1\le q\le _\>\) — списки вершин и треугольников сотовой ячейки \(p\) , соответственно.

Мы используем следующее уравнение эволюции, предложенное в 3 :

где \(\alpha \) пропорциональная константа и имеют размерность [время]/[масса]; и \(>\) - это результирующая сила, возникающая в результате сил, действующих наружу на границы отдельных клеток, таких как прикрепление воска, движение личинки и хранение меда. Пусть вычислительная область, включающая дискретные сотовые ячейки, разбита в декартовой геометрии на равномерную сетку с шагом сетки \(h\) . Центр каждой ячейки сетки \(<\Omega >_\) расположен в точке \(>>_=(_,_,_)=((i-0.5)h,(j-0.5)h,( k-0.5)h)\) для \(i=1,\cdots ,_\) , \(j=1,\cdots ,_\) и \(k=1,\cdots ,_\) . Здесь \(_\) , \(_\) и \(_\) - количество ячеек в \(x\) -, \(y\) - и \(z\) -направлениях, соответственно. На декартовой сетке применялось нулевое граничное условие Дирихле. Пусть \(I(>)\) будет множеством индексов треугольников, содержащих вершину \(>\) . Тогда единичный вектор нормали в вершине \(>\) определяется выражением

где \(>>_\) — единичный вектор нормали треугольника \(_\) , \(<\omega >_=\parallel >>_-><\parallel >^\) и \( >>_\) — центр тяжести \(_\) 8 , см. рис. 6. Определим граничную силу на единицу площади поверхности \(>>_

^=\sigma >(<>>_

^),\), где \(\sigma \) — постоянная величины.

Схема единичного вектора нормали в вершине.

Чтобы вычислить чистую плотность силы, мы распределяем граничную силу по ближайшим точкам решетки:

где \(_^(x,y,z)=^\phi (x/h)\phi (y/h)\phi (z/h)\) — сглаженная дельта-функция Дирака 9 :

Для устойчивости двигаем по горизонтали точки на верхнем и нижнем краях ячеек. Это завершает один временной шаг.

Доступность данных

Данные, подтверждающие результаты этого исследования, можно получить у соответствующего автора по обоснованному запросу.

Ссылки

Раз, Т. О применении гипотезы о сотах к пчелиным сотам. Philosophia Mathematica 21, 351–360 (2013).

Karihaloo, B. L., Zhang, K. & Wang, J. Соты медоносных пчел: как круглые ячейки превращаются в округлые шестиугольники. <Я> Дж. Королевский соц. Междунар. 10, 20130299 (2013).

Чон Д., Чой Ю. и Ким Дж. Моделирование и симуляция формирования гексагональной структуры сот методом погруженных границ. Общ. Нелинейная наука. Число. Simul. 62, 61–77 (2018).

Persson, P. O. & Strang, G. Простой генератор сетки в MATLAB. SIAM Rev. 46, 329–345 (2004 г.).

Ли, К., Чжэн, М., Пан, Т. и Су, Г. Экспериментальное и численное исследование движения крыльев и тела стрекозы во время произвольного взлета. Науч. Отчет 8, 1011 (2018).

Пескин, К. С. Численный анализ кровотока в сердце. <Я> Дж. вычисл. Phys. 25, 220–252 (1977).

Кай, Л. и др.. Некоторые эффекты различных конститутивных законов на моделирование FSI для митрального клапана. Науч. Отчет 9, 1–15 (2019).

Чен, С. Г. и Ву, Дж. Ю. Оценка векторов нормали и кривизны по весам центроидов. Вычисление. Помощник геом. Des. 21, 447–458 (2004).

Пескин, К. С. Метод погруженных границ. Acta Numer. 11, 479–517 (2002).

Благодарности

Первый автор (Д. Чон) был поддержан грантом Национального исследовательского фонда Кореи (NRF), финансируемым правительством Кореи (MSIP) (NRF-2017R1E1A1A03070953). Ю.Б. Ли был поддержан Национальным фондом естественных наук Китая (№ 11601416, № 11631012) и Национальной ключевой программой исследований и разработок Китая (№ 2018YFB1105302). С.К. Ким и К. Ли были поддержаны программой BK21 PLUS. Соответствующий автор (Дж. С. Ким) получил поддержку гранта Корейского университета на исследования будущего. Авторы очень признательны рецензентам за их конструктивные комментарии и предложения, которые позволили улучшить качество этой статьи.

Информация об авторе

Принадлежности

Кафедра математики, Канвонский национальный университет, Канвондо, 24341, Республика Корея

Школа математики и статистики Сианьского университета Цзяотун, Сиань, 710049, Китай

Кафедра математики Корейского университета, Сеул, 02841, Республика Корея

Ким Санквон, Ли Чеён и Ким Джунсок

Кафедра математики и больших данных, Университет Тэгу, Кёнсан-си, Кёнсанбук-до, 38453, Республика Корея

Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

Вклад

Дж.К. задумал проект и руководил всеми экспериментами. Д.Дж. и Ю.Л. предоставил исходный код для IBM. Ю.К. сгенерированные данные DistMesh. С.К., Ю.К. и К.Л. проведены и интерпретированы вычислительные эксперименты. С.К. и К.Л. подготовил все фигуры. Д.Дж., Ю.Л., Ю.К. и Дж.К. написал рукопись. Все авторы прочитали и отредактировали рукопись.

Ответственный автор

Декларации этики

Конкурирующие интересы

Авторы заявляют об отсутствии конкурирующих интересов.

Дополнительная информация

Примечание издателя Springer Nature остается нейтральным в отношении юрисдикционных претензий в опубликованных картах и институциональной принадлежности.

Права и разрешения

Об этой статье

Процитировать эту статью

Получено: 3 июля 2019 г.

Принято: 19 декабря 2019 г.

Опубликовано: 30 декабря 2019 г.

Поделиться этой статьей

Все, с кем вы поделитесь следующей ссылкой, смогут прочитать этот контент:

Современные вычислительные модели позволяют изучать биологическую систему на нескольких уровнях. Модели развития болезни включают молекулярные процессы, межклеточные взаимодействия и то, как эти изменения влияют на ткани и органы.Изучение систем на нескольких уровнях известно как многомасштабное моделирование (МСМ).

Клиническая поддержка принятия решений. Вычислительные модели интеллектуально собирают, фильтруют, анализируют и представляют информацию о здоровье, чтобы предоставить врачам рекомендации по лечению заболеваний на основе подробных характеристик каждого пациента. Системы помогают обеспечить информированный и последовательный уход за пациентом при его переводе в соответствующие больничные учреждения и отделения и сдаче различных анализов в ходе курса лечения.

Человеческое и машинное обучение для индивидуального управления вспомогательными роботами.Чем серьезнее двигательные нарушения человека, тем сложнее ему управлять вспомогательными механизмами, такими как кресла-коляски с электроприводом и роботизированные руки. Доступные средства контроля, такие как устройства для вдоха и выдоха, не подходят для людей с тяжелым параличом. Исследователи, финансируемые NIBIB, разрабатывают систему, позволяющую людям с тетраплегией управлять роботизированной рукой, одновременно продвигая физические упражнения и поддерживая остаточные двигательные навыки. В технологии используются интерфейсы «тело-машина», которые реагируют на минимальное движение конечностей, головы, языка, плеч и глаз. Первоначально, когда пользователь двигается, машинное обучение усиливает сигнал для выполнения задачи с помощью робота-манипулятора. Помощь сокращается по мере того, как машина передает управление все более опытному пользователю. Этот подход направлен на то, чтобы расширить возможности людей с тяжелым параличом и предоставить интерфейс для безопасного обучения управлению роботами-помощниками.

Читайте также: