Правильная связь между радиусом окружности, вписанной в правильный шестиугольник, и стороной заданного

Обновлено: 21.11.2024

Добро пожаловать в калькулятор шестиугольников, удобный инструмент для работы с любым правильным шестиугольником. Шестиугольная форма — одна из самых популярных форм в природе, от узоров в виде сот до шестиугольных плиток для зеркал — ее применение практически безгранично. Здесь мы объясняем не только, почему 6-сторонний многоугольник так популярен, но и то, как правильно рисовать стороны шестиугольника. Также отвечаем на вопрос "что такое шестиугольник?" используя определение шестиугольника.

С помощью нашего калькулятора шестиугольников вы можете изучить многие геометрические свойства и расчеты, в том числе узнать, как найти площадь шестиугольника, а также научить вас, как использовать калькулятор для упрощения любого анализа, связанного с этой шестигранной формой.

Сколько сторон у шестиугольника? Изучение шестигранной формы

Неудивительно, что у шестиугольника (также известного как "6-сторонний многоугольник") ровно шесть сторон. Этот факт верен для всех шестиугольников, поскольку является их отличительной чертой. Длина сторон может различаться даже в пределах одного и того же шестиугольника, за исключением случаев, когда речь идет о правильном шестиугольнике, в котором все стороны должны иметь одинаковую длину.

Мы углубимся в эту форму позже, когда будем решать, как найти площадь шестиугольника. А пока достаточно сказать, что правильный шестиугольник является наиболее распространенным способом представления 6-стороннего многоугольника и наиболее часто встречающимся в природе.

Будет целый раздел, посвященный важным свойствам формы шестиугольника, но сначала нам нужно знать технический ответ на вопрос: "Что такое шестиугольник?" Ответ на этот вопрос поможет нам понять приемы, которые мы можем использовать для вычисления площади шестиугольника, не используя вслепую формулу площади шестиугольника. Эти трюки включают использование других многоугольников, таких как квадраты, треугольники и даже параллелограммы.

Определение шестиугольника, что такое шестиугольник?

Подобно тому, как восьмиугольник определяется как имеющий 8 углов, шестиугольная форма технически определяется как имеющая 6 углов, что, наоборот, означает (как вы можете видеть на рисунке выше), что шестиугольная форма всегда имеет 6 углов. двусторонняя форма. Углы произвольного шестиугольника могут иметь любое значение, но все они должны в сумме давать 720º (вы можете легко преобразовать их в другие единицы с помощью нашего калькулятора преобразования углов).

Однако в правильном шестиугольнике все стороны и углы шестиугольника должны иметь одинаковое значение. Для сторон принимается любое значение, если они все одинаковые. Эти ограничения означают, что для правильного шестиугольника вычисление периметра настолько просто, что вам даже не нужно использовать периметр калькулятора многоугольника, если вы немного знаете математику. Просто посчитайте:

где сторона означает длину любой стороны.

Что касается углов, правильный шестиугольник требует, чтобы все углы были равны и в сумме не превышали 720º, а это значит, что каждый отдельный угол должен быть равен 120º. Этот факт оказывается чрезвычайно важным, когда мы говорим о популярности формы шестиугольника в природе. Это также будет полезно, когда мы объясним, как найти площадь правильного шестиугольника, поскольку мы будем использовать эти углы, чтобы выяснить, какой калькулятор треугольника мы должны использовать, или даже какой прямоугольник мы будем использовать в другом методе.

Формула площади шестиугольника: как найти площадь шестиугольника

Теперь мы рассмотрим, как найти площадь шестиугольника с помощью различных приемов. Самый простой способ — использовать наш калькулятор шестиугольников, который включает встроенный инструмент преобразования площади. Для тех, кто хочет знать, как сделать это вручную, мы объясним, как найти площадь правильного шестиугольника с помощью формулы площади шестиугольника и без нее. Формула площади многоугольника всегда одинакова, независимо от того, сколько у него сторон, если это правильный многоугольник:

Напоминаем, что апофема — это расстояние между серединой любой стороны и центром. Вы можете рассматривать его как высоту равностороннего треугольника, образованного путем взятия одной стороны и двух радиусов шестиугольника (каждая из цветных областей на изображении выше). В качестве альтернативы можно также думать об апофеме как о расстоянии между центром и любой стороной шестиугольника, поскольку евклидово расстояние определяется с помощью перпендикулярной линии.

Если вы не помните формулу, вы всегда можете думать о 6-стороннем многоугольнике как о наборе 6 треугольников. Для правильного шестиугольника эти треугольники являются равносторонними треугольниками.Этот факт значительно упрощает вычисление их площади, чем если бы они были равнобедренными треугольниками или даже 45 45 90 треугольниками, как в случае восьмиугольника.

Для правильного треугольника все стороны имеют одинаковую длину, которая равна длине стороны шестиугольника, который они образуют. Мы будем называть это а. А высота треугольника будет h = √3/2 * a , что является точным значением апофемы в данном случае. Напоминаем, что √ означает квадратный корень. Используя это, мы можем начать с математики:

  • А₀ = а * ч / 2
  • = а * √3/2 * а / 2
  • = √3/4 * а²

Где A₀ означает площадь каждого из равносторонних треугольников, на которые мы разделили шестиугольник. Умножив эту площадь на шесть (потому что у нас 6 треугольников), мы получим формулу площади шестиугольника:

A = 6 * A₀ = 6 * √3/4 * a²

= апофема * периметр /2

Мы надеемся, что вы видите, как мы приходим к той же формуле площади шестиугольника, которую мы упоминали ранее.

Если вы хотите получить экзотику, вы можете поиграть с другими формами. Например, предположим, что вы делите шестиугольник пополам (от вершины к вершине). В этом случае вы получите две трапеции, и вы можете рассчитать площадь шестиугольника как сумму обоих, используя наш калькулятор площади трапеции. Вы также можете объединить два соседних треугольника, чтобы построить в общей сложности 3 разных ромба и вычислить площадь каждого отдельно. Вы даже можете разложить шестиугольник на один большой прямоугольник (используя короткие диагонали) и 2 равнобедренных треугольника!

Поэкспериментируйте с различными формами и калькуляторами, чтобы увидеть, какие еще трюки вы можете придумать. Попробуйте использовать только прямоугольные треугольники или даже специальные прямоугольные треугольники для вычисления площади шестиугольника! Посмотрите площадь калькулятора прямоугольного треугольника, чтобы получить помощь в вычислениях.

Диагонали шестиугольника

Общее количество диагоналей шестиугольника равно 9 - три из них являются длинными диагоналями, пересекающими центральную точку, а остальные шесть являются так называемой "высотой" шестиугольника.
Наш калькулятор шестиугольников также может избавить вас от утомительных вычислений длин диагоналей шестиугольника. Вот как вы вычисляете два типа диагоналей:

Длинные диагонали. Они всегда пересекают центральную точку шестиугольника. Как видно из рисунка выше, длина такой диагонали равна двум длинам ребер:
D = 2 * a .

Короткие диагонали. Они не пересекают центральную точку. Они строятся путем соединения двух вершин, оставляя ровно одну между ними. Их длина равна d = √3 * a .

Вы должны быть в состоянии проверить утверждение о длинной диагонали путем визуального осмотра. Однако проверка коротких диагоналей требует немного большей изобретательности. Но не волнуйтесь, это не ракетостроение, и мы уверены, что вы сможете рассчитать это сами, потратив немного времени; помните, что вы всегда можете воспользоваться помощью калькуляторов, таких как калькулятор длин сторон прямоугольного треугольника.

Радиус окружности и внутренний радиус

Еще одна пара значений, важных для шестиугольника, — это радиус описанной окружности и внутренний радиус. Радиус описанной окружности — это радиус окружности, содержащей все вершины правильного шестиугольника. Внутренний радиус — это радиус наибольшего круга, целиком заключенного в шестиугольник.

  • Радиус окружности: чтобы найти радиус окружности, описанной на правильном шестиугольнике, необходимо определить расстояние между центральной точкой шестиугольника (которая также является центром окружности) и любой из вершин. Он просто равен R = a .
  • Внутренний радиус: радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен половине его высоты, что также является апофемой: r = √3/2 * a .

Как нарисовать шестиугольник

Теперь мы исследуем более практичный и менее математический мир: как нарисовать шестиугольник. Для случайного (неправильного) шестиугольника ответ прост: нарисуйте любую шестигранную фигуру так, чтобы она была замкнутым многоугольником, и готово. Но для правильного шестиугольника все не так просто, так как мы должны убедиться, что все стороны имеют одинаковую длину.

Чтобы получить идеальный результат, вам понадобится чертежный циркуль. Нарисуйте круг, и с таким же радиусом начните делать по нему отметки. Начиная со случайной точки, а затем делая следующую отметку, используя предыдущую в качестве опорной точки, нарисуйте круг с помощью компаса. У вас получится 6 отметок, и если вы соедините их прямыми линиями, то у вас получится правильный шестиугольник. Вы можете увидеть аналогичный процесс на анимации выше.

Самый простой способ найти сторону шестиугольника — площадь.

Калькулятор шестиугольника позволяет рассчитать несколько интересных параметров шестигранной формы, которую мы обычно называем шестиугольником.Пользоваться этим калькулятором настолько просто, насколько это возможно, поскольку для вычисления всех остальных параметров требуется только один параметр, и для каждого из них имеется встроенный инструмент преобразования длины.

Мы обсудили все параметры калькулятора, но для ясности и полноты кратко пробежимся по ним:

  • Площадь — двухмерная поверхность, заключенная в шестиугольник;
  • Длина стороны – расстояние от одной вершины до следующей подряд;
  • Периметр – сумма длин всех сторон шестиугольника.
  • Длинная диагональ — расстояние от одной вершины до противоположной;
  • Короткая диагональ – расстояние между двумя вершинами, между которыми находится еще одна вершина;
  • Радиус окружности — расстояние от центра до вершины (такое же, как радиус шестиугольника); и
  • Радиус вписанной окружности – такой же, как у апофемы.

Если вам нравится простота этого калькулятора, мы приглашаем вас попробовать другие наши калькуляторы многоугольников, такие как калькулятор обычных пятиугольников, или даже трехмерные калькуляторы, такие как калькулятор пирамиды, калькулятор треугольной призмы или калькулятор прямоугольной призмы.< /p>

Плитки шестиугольника и реальное использование 6-стороннего многоугольника

Все любят хорошие приложения для реального мира, и шестиугольники, безусловно, являются одними из наиболее часто используемых многоугольников в мире. Начиная с человеческого использования, самым простым (и, вероятно, наименее захватывающим) использованием является шестиугольная плитка для напольных покрытий. Шестиугольник — отличная форма, потому что они идеально подходят друг к другу, чтобы покрыть любую желаемую область. Если вы заинтересованы в таком использовании, мы рекомендуем калькулятор напольных покрытий и калькулятор квадратных метров, так как они являются отличными инструментами для этой цели.

Следующий случай является общим для всех полигонов, но на него все равно интересно посмотреть. В фотографии отверстие сенсора почти всегда имеет многоугольную форму. Эта часть камеры называется апертурой и определяет многие свойства и особенности изображений, производимых камерой. Самым неожиданным является форма очень ярких (точечных) объектов из-за эффекта, называемого дифракционной решеткой, и он показан на картинке выше.

Одним из наиболее ценных применений шестиугольников в современную эпоху, тесно связанным с тем, о котором мы говорили в фотографии, является астрономия. Одна из самых больших проблем, с которыми мы сталкиваемся при наблюдении за далекими звездами, заключается в том, насколько они тусклые на ночном небе. Это потому, что, несмотря на то, что они очень яркие объекты, они находятся так далеко, что до нас доходит лишь крошечная часть их света; Вы можете узнать больше об этом в нашем калькуляторе светимости. Кроме того, из-за релятивистских эффектов (подобных замедлению времени и сокращению длины) их свет достигает Земли с меньшей энергией, чем он излучается. Этот эффект называется красным смещением.

В результате мы получаем небольшое количество энергии с большей длиной волны, чем хотелось бы. Лучший способ противодействовать этому — строить как можно более огромные телескопы. Проблема в том, что сделать цельный объектив или зеркало больше пары метров практически невозможно, не говоря уже о проблемах с логистикой. Решение состоит в том, чтобы построить модульное зеркало из шестиугольных плиток, подобных тем, которые вы видите на рисунках выше.

Изготовление такого большого зеркала улучшает угловое разрешение телескопа, а также коэффициент увеличения благодаря геометрическим свойствам "телескопа Кассегрена". Таким образом, мы можем сказать, что благодаря правильным шестиугольникам мы можем видеть лучше, дальше и четче, чем когда-либо, используя только цельные линзы или зеркала.

Знаете ли вы, что шестиугольные стеганые одеяла тоже популярны??

Сотовый узор — почему шестиугольная форма так распространена в природе

Сотовый узор состоит из правильных шестиугольников, расположенных рядом друг с другом. Они полностью заполняют всю поверхность, которую охватывают, поэтому между ними нет никаких отверстий. Этот сотовый узор появляется не только в сотах (сюрприз!), но и во многих других местах в природе. На самом деле, он настолько популярен, что можно сказать, что это форма по умолчанию, когда действуют конфликтующие силы, а сферы невозможны из-за характера проблемы.

От пчелиных ульев до трещин в скалах и органической химии (даже в строительных блоках жизни: белках) правильные шестиугольники являются наиболее распространенной многоугольной формой, существующей в природе. И тому есть причина: углы шестиугольника. Угол 120º является наиболее механически стабильным из всех, и, по совпадению, это также угол, под которым стороны встречаются в вершинах, когда мы выстраиваем шестиугольники бок о бок. Для полного описания важности и преимуществ правильных шестиугольников рекомендуем посмотреть это видео.

Для тех, кто любит читать, читайте дальше (вы можете проверить, насколько быстро вы читаете, с помощью калькулятора скорости чтения).

То, как углы 120° распределяют усилия (и, в свою очередь, напряжение) между двумя сторонами шестиугольника, делает эту геометрию очень стабильной и механически эффективной. Это существенное преимущество, которым обладают шестигранники. Еще одним важным свойством правильных шестиугольников является то, что они могут заполнять поверхность без промежутков между собой (наряду с правильными треугольниками и квадратами). Кроме того, обычная шестигранная форма имеет наименьший периметр для наибольшей площади среди этих многоугольников, заполняющих поверхность, что делает ее очень эффективной.

Увлекательным примером в этом видео являются мыльные пузыри. Когда вы создаете пузырь, используя воду, мыло и немного собственного дыхания, он всегда имеет сферическую форму. Это связано с тем, что объем сферы является наибольшим по сравнению с любым другим объектом для данной площади поверхности.

Однако, когда мы кладем пузыри вместе на плоскую поверхность, сфера теряет свое преимущество в эффективности, поскольку сечение сферы не может полностью покрыть 2D-пространство. Следующая лучшая форма с точки зрения отношения объема к площади поверхности также лучше всего уравновешивает натяжение между пузырьками, которое создается на поверхности пузырьков. Мы, конечно же, говорим о нашем всемогущем шестиугольнике.

мы выберем новые вопросы, соответствующие вашему уровню, на основе вашей истории таймера

каждую неделю мы будем присылать вам примерный результат GMAT, основанный на вашей успеваемости

мы выберем новые вопросы, соответствующие вашему уровню, на основе вашей истории таймера

Не заинтересованы в получении ценных практических вопросов и статей по электронной почте? Нет проблем, отмените подписку здесь.

Здравствуйте, Гость!

Похоже, вы просматриваете форум GMAT Club без регистрации!

Регистрация бесплатна, быстра и конфиденциальна.
Присоединяйтесь к более чем 700 000 участников и получите все преимущества GMAT Club

Регистрация дает вам:

Тесты

Пройдите 11 тестов и викторин от GMAT Club и ведущих компаний по подготовке к GMAT, таких как Manhattan Prep. Все они бесплатны для участников GMAT Club.

Статистика кандидата

Просматривайте подробную статистику кандидатов, такую ​​как средний балл, балл GMAT, опыт работы, местонахождение, статус заявки и т. д.

Книги/Загрузки

Загружайте тысячи учебных заметок, подборки вопросов, учебники GMAT Club по грамматике и математике. Все бесплатно!

и многие другие преимущества!

Информатор таймера GMAT Club

Привет, GMATClubber!

Спасибо за использование таймера!
Мы заметили, что вы на самом деле не рассчитываете время тренировки. В следующий раз, когда вы будете использовать таймер, сначала нажмите кнопку СТАРТ.
Периодичность занятий дает множество преимуществ, в том числе:

Мы дадим вам
оценку
вашего балла

Мы предоставим
персональный вопрос
рекомендации

Ваша оценка улучшится,
и ваши результаты
будут более реалистичными

Мои заметки

Макс.: 2000 символов

Запросить ответ эксперта

События и акции

770 Q50 V47 с первой попытки — узнайте, как пройти GMAT стратегически

Инсайты INSEAD Application and GMAT Prep Insights от Manish (пакет INSEAD 2022-23, GMAT 720)

Понять объем и основную мысль любого отрывка за 3 минуты! (бесплатный вебинар)

Освойте вопросы PS и DS уровня 700, используя уравнение остатка

Планируете сдавать GMAT в 2022 году? Вот микрокурс, который определенно поможет.

Стоит ли подавать документы в Wharton Business School? Опыт Wharton MBA

Как получить стипендии на сумму более 300 000 долларов США в ведущих бизнес-школах? | Стипендии MBA

Как Даниэла поднялась с 620 до 720 на GMAT

Революционная подготовка к GMAT

План действий, чтобы набрать 760 баллов на GMAT

Освойте неравенство уровня 700 и вопросы с абсолютной ценностью

Начните обучение по программе MBA 2022 с бесплатным стартовым набором GMAT от Manhattan Prep.

770 Q50 V47 с первой попытки — узнайте, как пройти GMAT стратегически

• Зарабатывайте на 700+ быстрее | Гарантия 120 баллов | Персонализированный календарь и аналитика • Вам не нужно задавать более 3000 практических вопросов и тратить 4 месяца • Первоначальная 5-дневная пробная версия. Попробуйте сейчас за 1 цент: 5DAYS1C

Инсайты INSEAD по применению и подготовке к GMAT от Manish (пакет INSEAD за 2022–2023 годы, GMAT 720)

Понять масштаб и суть любого отрывка за 3 минуты! (бесплатный вебинар)

Узнайте, как правильно определить цель отрывка и избежать распространенных ловушек, установленных GMAT в вопросах RC Main Point. Мы также рассмотрим часто путаемые слова, используемые в основных вопросах.

Освойте вопросы PS и DS уровня 700, используя уравнение остатка

Посетите этот веб-семинар, чтобы узнать об основных концепциях NP и структурированном подходе к решению более 700 вопросов о числовых свойствах менее чем за 2 минуты.

Планируете сдавать GMAT в 2022 году? Вот микрокурс, который определенно поможет.

Узнайте САМЫЙ БОЛЬШОЙ СЕКРЕТ, который поможет превратить подготовку к GMAT в такую ​​же простую привычку, как чистка зубов, с помощью этой программы из 4 частей. Разблокируйте доступ, пока эта серия не исчезла навсегда!

Стоит ли подавать документы в Wharton Business School? Опыт Wharton MBA

Подать заявку на получение степени MBA в Wharton в 2022 году? Тогда не пропустите прямую трансляцию, в которой мы обсудим.. - Для кого лучше всего подходит школа Wharton - Стратегии написания эссе - Стратегии знаменитого командного собеседования Wharton

Как получить стипендии на сумму более 300 000 долларов США в ведущих бизнес-школах? | Стипендии MBA

Скотт Эдинбург, магистр делового администрирования Wharton и основатель программы Personal MBA Coach, рассказывает о стратегиях и методах, позволяющих увеличить ваши шансы на получение стипендии от лучших школ бакалавриата.

Как Даниэла поднялась с 620 до 720 на GMAT

Посвятив месяц изучению курса Target Test Prep, Даниэла наконец достигла своей цели в день теста, набрав 720 баллов по GMAT.

Революционная подготовка к GMAT

Курс Target Test Prep – это уникальный комплексный онлайн-курс, который сочетает в себе инновационное программное обеспечение и проверенные временем методы обучения, чтобы подготовить вас к суровым условиям GMAT. Независимо от вашей цели, курс TTP изменит вашу игру.

План действий, чтобы набрать 760 баллов на GMAT

Посетите предстоящий мастер-класс по стратегии GMAT, чтобы получить индивидуальный план обучения, определяющий точные показатели, которые вам необходимо достичь, чтобы набрать GMAT 760 «эффективно».

Освойте неравенство уровня 700 и вопросы с абсолютной ценностью

Посетите бесплатный вебинар GMAT по алгебре и узнайте, как с легкостью решать самые сложные задачи на неравенства и абсолютные значения.

Начните обучение по программе MBA 2022 с бесплатным стартовым набором GMAT от Manhattan Prep.

вы получите бесплатный полноценный тренировочный тест GMAT, нашу бесплатную электронную книгу и мастер-класс по основам математики, а также доступ к бесплатным урокам по исправлению предложений и достаточности данных.

95 % (сложно)

34 % (01:18) верно 66 % (01:47) неверно на основе 191 сеанса

Скрыть статистику таймера показа

В правильный шестиугольник вписана окружность. В эту окружность вписан правильный шестиугольник. Во внутренний правильный шестиугольник вписана другая окружность и так далее.Какова площадь десятого такого круга?

(1) Длина стороны самого внешнего правильного шестиугольника составляет 6 см.
(2) Длина диагонали самого внешнего правильного шестиугольника составляет 12 см.

    Правила публикации: КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ | ВЕРБАЛЬНЫЙ.
    Руководства и ресурсы: КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ | ВЕРБАЛЬНЫЙ | Ultimate GMAT Quantitative Megathread | Все, что вам нужно для Quant
    банка вопросов по тегам и сложности: полный банк вопросов GMAT Club
    Сборник фирменных вопросов Бунюэля
Самый полезный ответ сообщества

(1) Длина стороны самого внешнего правильного шестиугольника равна 6 см.

Поскольку этот шестиугольник правильный, все стороны равны, также очевидно, что только один тип круга может быть вписан в шестиугольник определенной площади, следовательно, можно вывести соотношение. Далее мы можем вычислить площадь шестиугольника, а используя соотношение сверху - вычислить площадь вписанного круга, тогда у нас теперь есть только один тип шестиугольника, который можно вписать в этот круг.
Площадь n-го вписанного круга/правильного шестиугольника можно определить, если мы знаем площадь любой из этих фигур и их место в последовательности. Достаточно.

(2) Длина диагонали самого внешнего правильного шестиугольника равна 12 см.

Хорошо, теперь это похоже на предыдущее утверждение, и если бы не чутье на "700", я бы совершил глупую ошибку, помните, мы говорим о шестиугольнике, у него 6 сторон, а диагонали равны 2 разные длины! Следовательно, у нас может быть 2 разных шестиугольника, которые полностью соответствуют критериям, указанным во втором утверждении. Недостаточно.


Ответ: А
_________________

Первоначально опубликовано kvazar 03 июня 2015, 05:57.
Последний раз редактировалось kvazar 11 июн 2015, 01:43, всего редактировалось 1 раз.

Общие обсуждения

В правильный шестиугольник вписана окружность. В эту окружность вписан правильный шестиугольник. Во внутренний правильный шестиугольник вписана другая окружность и так далее. Какова площадь десятого такого круга?

(1) Длина стороны самого внешнего правильного шестиугольника составляет 6 см.
(2) Длина диагонали самого внешнего правильного шестиугольника составляет 12 см.

СОВЕТ ПО ТАКИМ ВОПРОСАМ: Подобные фигуры (в данном случае либо все шестиугольники, либо все круги) будут иметь стороны и площади в определенной пропорции, которую мы часто называем геометрической прогрессией. Следовательно, все, что нам нужно для вычисления всех размеров всех фигур, это размер только одной из этих фигур

Вопрос : Какова площадь десятого такого круга?

Утверждение 1. Длина стороны самого внешнего правильного шестиугольника равна 6 см.

Используя это, мы можем найти диаметр самого внешнего круга (см. прилагаемый рисунок) = \(6\sqrt\)

Впоследствии мы можем найти сторону второго внешнего шестиугольника = радиус самой внешней окружности = \(3\sqrt\)

Впоследствии мы можем найти диаметр второго внешнего круга = \(3*\sqrt*\sqrt\)

<р>и так далее.
Следовательно, ДОСТАТОЧНО

Утверждение 2: длина диагонали самого внешнего правильного шестиугольника равна 12 см

Но данная диагональ не является самой длинной диагональю самого внешнего шестиугольника, поэтому неоднозначность сохраняется независимо от того, самая длинная диагональ или самая короткая

Следовательно, НЕДОСТАТОЧНО


SOl 2.jpg [ 134,01 КиБ | Просмотрено 24864 раз ]

В правильный шестиугольник вписана окружность. В эту окружность вписан правильный шестиугольник. Во внутренний правильный шестиугольник вписана другая окружность и так далее. Какова площадь десятого такого круга?

(1) Длина стороны самого внешнего правильного шестиугольника составляет 6 см.
(2) Длина диагонали самого внешнего правильного шестиугольника составляет 12 см.

ОФИЦИАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ VERITAS PREP:

К счастью, в вопросах DS нам не нужно вычислять ответ. Остается только установить достаточность приведенных данных. Обратите внимание, что мы обнаружили, что существует определенная связь между сторонами правильного шестиугольника и радиусом вписанной окружности, а также определенная связь между радиусом окружности и стороной вписанного правильного шестиугольника.

Когда окружность вписана в правильный шестиугольник,

Радиус вписанной окружности = \(\frac>\)* Сторона шестиугольника

Когда правильный шестиугольник вписан в окружность,

Сторона вписанного правильного шестиугольника = радиус окружности

Поэтому все, что нам нужно, это сторона любого одного правильного шестиугольника или радиус любой одной окружности, и мы будем знать длину сторон всех шестиугольников и радиусы всех окружностей.

Утверждение I: длина стороны самого внешнего правильного шестиугольника равна 6 см.
Если длина стороны самого внешнего правильного шестиугольника равна 6 см, радиус вписанной окружности равен \((\sqrt /2)*6 = 3\кв\) см

В этом случае сторона правильного шестиугольника, вписанного в этот круг, также равна \(3\sqrt\) см. Теперь мы можем получить радиус круга, вписанного в этот второй шестиугольник, и идти по тем же линиям, пока не дойдем до десятого круга. Одного этого утверждения достаточно.

Утверждение II: длина диагонали самого внешнего правильного шестиугольника равна 12 см.

Обратите внимание, что шестиугольник имеет диагонали двух разных длин. Диагонали, соединяющие вершины с одной вершиной между ними, меньше диагоналей, соединяющих вершины с двумя вершинами между ними. Длина AC будет короче длины AD. Зная длину диагонали, мы не знаем, какая это диагональ. AC = 12 или AD = 12? Длина стороны будет разной в обоих случаях. Поэтому одного этого утверждения недостаточно.

Как и было обещано на прошлой неделе, давайте выясним отношения между сторонами различных вписанных правильных многоугольников и радиусом окружности.

Мы начнем с простейшего правильного многоугольника – равностороннего треугольника.

Мы будем использовать то, что уже знаем о треугольниках, чтобы прийти к требуемым соотношениям. Посмотрите на рисунок ниже.

AB, BC и AC — стороны (длины "a") равностороннего треугольника. OA, OB и OC — это радиусы (длиной r) окружности.

Каждый из внутренних углов равностороннего треугольника равен 60 градусов. Следовательно, угол OBD равен 30 градусам (так как треугольник ABC равносторонний, угол BO будет делить угол ABD пополам). Итак, треугольник BOD — это треугольник 30-60-90.

Как обсуждалось в вашем учебнике по геометрии, отношение сторон в треугольнике 30-60-90 равно 1:sqrt(3):2, следовательно, a/2 : r = sqrt(3):2 или a:r = кврт(3):1

Сторона треугольника = sqrt(3) * радиус окружности

Вам не нужно запоминать этот результат. Вы можете вывести его, если это необходимо. Обратите внимание, что вы можете получить его, используя множество других методов.

Еще один метод, который легко приходит на ум, – использование высоты AD.

Высота AD равностороннего треугольника определяется как (sqrt(3)/2)*a.

Центр окружности находится на расстоянии 2/3 высоты, поэтому AO (радиус) = (2/3)* (sqrt(3)/2)*a = a/sqrt(3)

Или сторона треугольника = sqrt(3) * радиус окружности

А теперь посмотрим на квадрат.

AB — сторона квадрата, AO и BO — радиусы окружности. Каждый внутренний угол квадрата равен 90 градусов, поэтому половина этого угла будет равна 45 градусам.

Следовательно, ABO представляет собой треугольник 45-45-90.

Мы знаем, что отношение сторон в треугольнике 45-45-90 равно 1:1:sqrt(2).

Сторона квадрата = sqrt(2)*Радиус круга

Опять же, нет необходимости заучивать результат. Кроме того, существует множество методов получения отношения.

В другом используется диагональ квадрата. Диагональ квадрата равна sqrt(2), умноженной на сторону квадрата. Радиус круга равен половине диагонали. Таким образом, сторона квадрата равна sqrt (2) * радиусу круга. Случай с пятиугольником более сложен, так как он требует практических знаний тригонометрии, которые выходят за рамки GMAT, поэтому мы не будем углубляться в это. Однако мы рассмотрим шестиугольник.

Обратите внимание, что внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам, поэтому половина этого угла будет равна 60 градусам. Следовательно, оба угла ОАВ и ОВА будут равны по 60 градусов. Это означает, что треугольник OAB является равносторонним треугольником, все углы которого равны 60 градусов, а все стороны равны.

Следовательно, сторона правильного шестиугольника = радиусу окружности.

Правильные многоугольники более высокого порядка и сложнее, и мы не будем их рассматривать. На следующей неделе мы обсудим окружность, вписанную в многоугольник.

Каришма, компьютерный инженер, проявляющая большой интерес к альтернативным математическим подходам, обучала студентов на континентах Азии, Европы и Северной Америки. Она преподает GMAT для Veritas Prep и регулярно участвует в проектах по разработке контента, таких как этот блог!

Окружность описана вокруг правильного шестиугольника с периметром 120. Укажите его площадь.

Ниже приведена ссылка на рисунок; обратите внимание, что шестиугольник делится на его диаметры.

Шестиугольник разделен на шесть равносторонних треугольников; длина каждой стороны равна радиусу шестиугольника, а, следовательно, и радиусу окружности. Периметр правильного шестиугольника равен 120, поэтому длина каждой конгруэнтной стороны равна .Радиус шестиугольника и круга также равен 20.

Площадь круга можно найти с помощью формулы площади, установив:

В правильный шестиугольник с периметром 120 вписан круг. Укажите его площадь.

Ниже приведена ссылка на рисунок; обратите внимание, что шестиугольник разделен по диаметру, и что нарисована апофема — перпендикулярный отрезок от центра к одной стороне.

Шестиугольник разделен на шесть равносторонних треугольников. Периметр правильного шестиугольника равен 120, поэтому длина каждой конгруэнтной стороны равна .

В частности, это треугольник 30-60-90. является серединой , поэтому

По теореме 30-60-90, поскольку и являются короткой и длинной сторонами прямоугольного треугольника,

Это апофема шестиугольника; это также радиус круга.

Площадь круга можно найти с помощью формулы площади, установив:

Что такое в радианах?

Чтобы преобразовать градусы в радианы, нам нужно запомнить следующую формулу.

Теперь давайте заменим градусы.

Квадрат описан вокруг круга, и этот квадрат является основанием куба. Если объем куба равен 216, какова площадь круга?

Уравнение объема куба

Если V= 216, то s = 6.

Когда круг описан квадратом, диаметр круга равен длине одной стороны квадрата. В этом случае одна сторона квадрата равна 6; поэтому диаметр круга также равен 6. Мы можем найти площадь круга с помощью уравнения

а так как радиус равен половине диаметра:

Если площадь круга равна , какова длина окружности?

Формула площади круга: πr 2 . Для этого конкретного круга площадь равна 81π, поэтому 81π = πr 2 . Разделите обе части на π, и у нас останется r 2 =81. Извлеките квадратный корень из обеих сторон, чтобы найти r=9. Формула длины окружности: 2πr = 2π(9) = 18π. Правильный ответ: 18π.

Круг площадью 13π на 2 с центром в точке C. Какова длина окружности этого круга?

Формула площади круга: A = πr 2 .

Нам дана площадь, и подстановкой мы знаем, что 13π = πr 2 .

Мы делим π и получаем 13 = r 2 .

Извлекаем квадратный корень из r, чтобы найти, что r = √13.

Находим длину окружности по формуле C = 2πr.

Затем мы подставляем наши значения, чтобы найти C = 2√13π.

Прямоугольник 6 на 8 вписан в окружность. Какова длина окружности?

Сначала вы должны нарисовать схему. Диагональ прямоугольника также является диаметром круга. Диагональ — это гипотенуза треугольника 3,4,5, кратная 2, поэтому она равна 10.
Диагональ = π * диаметр = 10π .

Садовник хочет построить забор вокруг своего сада, показанного ниже. Сколько метров ограждения им понадобится, если длина прямоугольной стороны 12, а ширина 8?

Форма сада состоит из прямоугольника и двух полукругов. Поскольку они строят забор, нам нужно найти периметр. Периметр длины прямоугольника равен 24. Периметр или длину окружности можно найти с помощью уравнения C=2π(r), где r= радиус окружности. Поскольку у нас есть две полуокружности, мы можем найти длину окружности одной полной окружности с радиусом 4, что будет равно 8π.

Диаметр круга определяется двумя точками (2,5) и (4,6). Какова длина окружности этого круга?

Ни один из других ответов

Сначала мы должны рассчитать расстояние между этими двумя точками. Напомним, что формула расстояния: √((x2 - x1) 2 + (y2 - y1) 2 )

Если d = √5, длина окружности нашего круга равна πd или π√5.

Автомобильная шина имеет радиус 18 дюймов. Когда шина сделала 200 оборотов, сколько проехал автомобиль в футах?

Если радиус равен 18 дюймам, диаметр равен 3 футам. Таким образом, длина окружности шины равна 3π на C=d(π). После 200 оборотов шина и автомобиль прошли 3π x 200 = 600π футов.

Все математические ресурсы SAT

Сообщить о проблеме с этим вопросом

Если вы обнаружили проблему с этим вопросом, сообщите нам об этом. С помощью сообщества мы можем продолжать улучшать наши образовательные ресурсы.

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (согласно определению в наших Условиях предоставления услуг), нарушает одно или несколько ваших авторских прав, сообщите нам об этом, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее информацию, описанную ниже. назначенному агенту, указанному ниже. Если Varsity Tutors предпримет какие-либо действия в ответ на уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент, с помощью самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая судебные издержки и гонорары адвокатов), если вы предоставите ложные сведения о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент, размещенный на Веб-сайте или связанный с ним, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, достаточно подробно, чтобы позволить университетским преподавателям найти и точно идентифицировать этот контент; например, нам требуется ссылка на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание того, к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Заявление от вас: (a) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, не разрешено законом или владельцем авторских прав или его агентом; (б) что вся информация, содержащаяся в вашем уведомлении о нарушении, является точной, и (в) под страхом наказания за лжесвидетельство вы являетесь либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Луи, Миссури, 63105

Длина радиуса окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равна 10 см. найдите периметр шестиугольника.

Шестиугольник:

Чтобы решить этот вопрос, нам нужно знать свойства шестиугольника. Правильный шестиугольник – это двумерная фигура, у которой 6 сторон одинаковой длины.

Радиус окружности, вписанной в шестиугольник, равен \displaystyle \color>a> , где a – сторона шестиугольника.

Ответ и объяснение: 1

Длина радиуса окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равна \displaystyle< 10 \rm \.

Полный ответ см. ниже.

Стать участником и разблокировать все ответы на вопросы исследования

Попробуйте бесплатно в течение 30 дней

Нужна дополнительная помощь по этому вопросу? Пообщайтесь с опытным наставником прямо сейчас!

Поиск ответов

Подробнее об этой теме:

Глава 3 / Урок 11

Фигура, вписанная в окружность, означает, что вершины фигуры являются точками, лежащими на окружности. Узнайте о построении фигур в кругах и шагах по рисованию равносторонних треугольников, квадратов и правильных шестиугольников, вписанных в окружность.

Относится к этому вопросу

Прямоугольники отличаются от других фигур. В этом уроке вы узнаете, как определить прямоугольник, изучите свойства прямоугольников и научитесь их рисовать.

Узнайте, как рисовать различные многоугольники и диагонали этих многоугольников. Изучите значение правильных многоугольников и посмотрите примеры рисования равносторонних треугольников и четырехугольников. Наконец, узнайте, сколько диагоналей имеет каждый многоугольник.

Решение задач Word по алгебре Обзор и примеры | Как писать выражения из задач Word

Изучите определение словесных задач с алгебраическими выражениями. Научитесь составлять алгебраические выражения из текстовых задач и решать текстовые задачи с помощью алгебры.

Научитесь определять, что означает пропорция в математике. Откройте для себя формулу пропорции. Научитесь решать пропорции и находить пропущенные переменные. См. примеры пропорциональных задач.

С помощью линий и углов можно создавать различные геометрические фигуры и узоры. Ознакомьтесь с определением геометрического построения, инструментами, необходимыми для работы, и способами копирования углов и отрезков.

Геометрическое построение дает возможность создавать точные чертежи и модели без использования чисел. Откройте для себя методы и инструменты, которые помогут решать математические задачи, а также создавать дуги, линии и окружности.

Построение треугольников включает использование циркуля и линейки для создания трехсторонних фигур. Изучите типы геометрических построений, построение треугольников, конгруэнтные треугольники, модели с двумя сторонами и углом или двумя углами и одной стороной, а также равносторонние треугольники.

Центральные углы окружности образованы двумя радиусами, а вписанные углы образованы двумя точками на окружности. Изучите определения этих двух понятий и решите примеры задач на вычисление центральных и вписанных углов.

Узнайте, что означает главный квадратный корень. Узнайте, как вычислить главный квадратный корень числа или термина, и посмотрите примеры с использованием главных квадратных корней.

Многочлены можно делить, используя как длинное, так и синтетическое деление, поэтому важно уметь пользоваться обоими. Изучите этапы как длинного, так и синтетического деления многочленов и используйте их для решения практических задач.

В английской системе измерения для описания расстояний, длин и площадей используются определенные единицы измерения. Определите коэффициенты пересчета между различными единицами измерения в английской системе измерения и посмотрите пример расчета площади земли.

В математике аксиоматическая система относится к утверждениям и правилам, используемым для разработки и доказательства теорем. Исследуйте определение и свойства аксиоматической системы, включая непротиворечивость, независимость и полноту. Понять, как аксиома соотносится с аксиоматической системой.

Определите, что такое наборы. Научитесь определять конечные и бесконечные типы множеств. Изучите значение мощности и узнайте, как найти мощность множества.

В тригонометрии теоремы о неравенстве описывают отношения между сторонами и углами треугольника.Откройте для себя теоремы о неравенстве, включая теоремы о неравенстве внешнего угла, неравенстве треугольника и соотношении угла и стороны.

Наклонные линии — это любые линии в пространстве, расположенные в разных плоскостях, которые никогда не пересекаются, а также не параллельны друг другу. Изучите определение и примеры наклонных линий в геометрии, а также узнайте, что наклонные линии можно визуализировать только с помощью трехмерных диаграмм и их невозможно изобразить на плоской плоскости.

Узнайте, как изображать рациональные числа на числовой прямой. Просмотрите графические изображения целых чисел на числовой прямой и начните рисовать рациональные числа на числовой прямой.

Конгруэнтные треугольники – это треугольники с одинаковыми размерами и свойствами. Узнайте, как доказать конгруэнтность двух перекрывающихся треугольников, используя измерения их сторон, углов и длин катетов гипотенузы.

Научитесь определять последовательность преобразований. Научитесь определять преобразования и описывать порядок преобразований. См. примеры преобразований.

Этот урок знакомит с идеей конгруэнтности применительно к треугольникам. В нем приведены примеры постулатов треугольников ASA, SSS и SAS для проверки конгруэнтности треугольников.

Научитесь определять прямое доказательство и косвенное доказательство, а также методы проведения прямого и косвенного доказательства. См. примеры обоих методов доказательства.

Читайте также: