Компьютерная экспоненциальная запись
Обновлено: 04.07.2024
Научное представление, также иногда известное как стандартная форма или экспоненциальное представление, – это способ записи чисел, который допускает слишком большие или малые значения, чтобы их было удобно записывать в стандартном десятичном представлении. Научная нотация обладает рядом полезных свойств и часто используется учеными, математиками и инженерами, работающими с такими числами.
В экспоненциальном представлении числа записываются в следующем виде:
("a умножить на десять в степени b"), где показатель степени b – целое число, а коэффициент a — любое действительное число, называемое мантиссой или мантиссой (хотя термин «мантисса» может вызвать путаницу, поскольку он также может относиться к дробной части десятичного логарифма). Если число отрицательное, то знак минус предшествует первой десятичной цифре a (как в обычной десятичной системе счисления). Например:
| Обычная десятичная запись | Научная запись |
|---|---|
| 1 | 7000100000000000000♠ 1 × 10 0 |
| 30 | 70013000000000000000♠ 3 × 10 1 |
| 5 720 000 000 | 7009572000000000000♠ 5,72 × 10 9 |
| −0,000 000 006 1 | 3008390000000000000 ♠ −6,1 × 10 −9 |
Содержание
Нормализованные обозначения
Любое данное число может быть записано в виде a × 10 b
многими способами; например, 350 можно записать как 7002350000000000000♠ 3,5 × 10 2 , или 70023500000000000000♠ 35 × 10 1 , или 70023500000000000000♠ 350 × 10 0 .
Во многих областях научная запись нормализуется таким образом, за исключением промежуточных вычислений или когда требуется ненормализованная форма, такая как инженерная запись. (Нормализованную) экспоненциальную запись часто называют экспоненциальной записью, хотя последний термин является более общим и также применяется, когда a не ограничен диапазоном от 1 до 10 (как, например, в инженерной записи), а основания, отличные от 10 (например, 315 × 2 20 ).
Обозначение E
Большинство калькуляторов и многие компьютерные программы представляют очень большие и очень маленькие результаты в экспоненциальном представлении. Поскольку показатели степени с надстрочным индексом, такие как 10 7, не всегда могут быть удобно представлены на компьютерах, пишущих машинках и калькуляторах, часто используется альтернативный формат: буква «E» или «e» представляет «десять в степени», таким образом заменяя « × 10 n
", в то время как показатель степени не указывается в верхнем индексе, а остается на том же уровне, что и мантиссса (например, a E−6, а не a × 10 -6
). Знак часто дается, даже если он положительный (например, a E+11, а не a E11). Например, 6,0221415 E+23 или 6,0221415 e23 равнозначно 7023602214150000000♠ 6,022 1415 × 10 23 (число Авогадро).
Обратите внимание, что этот символ "e" не связан с математической константой e (невозможно спутать, если используется заглавная "E"); и хотя это сокращение от экспоненты, нотация обычно упоминается как (научная) E-нотация или (научная) e-нотация, а не (научная) экспоненциальная нотация (хотя последнее тоже встречается).
Примеры из вычислений:
- В языке программирования FORTRAN 6.0221415E23 эквивалентно 7023602214150000000♠ 6.022 1415 × 10 23 .
- Язык программирования ALGOL[1][2] также использует нотацию E; в качестве альтернативы (если доступно) можно использовать любой символ '₁₀' или '\', например: 6.0221415₁₀23 и 6.0221415\23.
Техническая нотация
Техническая запись отличается от нормализованной научной записи тем, что показатель степени b ограничен кратным 3. Следовательно, абсолютное значение a находится в диапазоне 1 ≤ | а| < 1000, а не 1 ≤ |a| < 10. Хотя инженерная запись похожа по своей концепции, ее редко называют научной записью.
Числа в этой форме легко читаются с использованием префиксов величин, таких как мега- (b = 6), кило- ( b = 3), милли- (b = −3), микро- (b = −6) или нано- (b = −9) . Например, 6992125000000000000♠ 12,5 × 10 −9 м можно прочитать как «двенадцать целых пять десятых нанометров» или записать как 6992125000000000000♠ 12,5 нм .
Использование пробелов
В нормализованной научной нотации, в нотации E и в инженерной нотации пробел (который при наборе текста может быть представлен пробелом нормальной ширины или тонким пробелом), который разрешен только до и после «×» или перед «E» или «e» можно опустить, хотя это реже делается перед буквенным символом. [3]
Мотивация
Научная нотация – очень удобный способ записи больших и малых чисел и выполнения с ними вычислений. Он также быстро передает два свойства измерения, полезные для ученых, — значащие цифры и порядок величины.
Примеры
- Масса электрона примерно равна 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 22 кг. В научных обозначениях это записывается как 6969910938220000000♠ 9,109 3822 × 10-31 кг.
- Масса Земли составляет около 5 973 600 000 000 000 000 000 000 кг. В научной записи это записывается как 7024597360000000000♠ 5,9736 × 10 24 кг .
- Окружность Земли составляет примерно 40 000 000 м. В научной записи это записывается как 7007400000000000000♠ 4 × 10 7 м . В инженерной записи это записывается 7007400000000000000♠ 40 × 10 6 м. В стиле письма SI это может быть записано как «70074000000000000000♠ 40 Mm» («40 мегаметров»).
Значительные цифры
Как и в обычной десятичной системе счисления, количество цифр в экспоненциальном представлении может указывать или не указывать значащие цифры. Например, используя научные обозначения, скорость света в единицах СИ составляет 7008299792458000000♠ 2,997 924 58 × 10 8 м/с, а в дюймах — 6998254000000000000♠ 2,54 × 10 −2 м; оба числа точные. [4]
Можно использовать экспоненциальное обозначение вместе со значащими цифрами, но это не является обязательным и никогда не должно предполагаться. Всегда лучше явно указывать неопределенность. Например, принятое значение единицы элементарного заряда может быть правильно выражено как 6981160217648699999♠ 1,602 176 487 (40) × 10 −19 Кл (Кулон), [5], где (40) указывает на 40 отсчетов неопределенности в последнем десятичное место. Если число было округлено, его можно записать в виде 2,5 (½) × 10 -2,
чтобы явно указать, что в последней цифре имеется половинная неопределенность.
Порядок величины
Научное представление также упрощает сравнение по порядку величины. Масса протона 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 6 кг. Если это записать как 6973167260000000000♠ 1,6726 × 10-27 кг, то легче сравнить эту массу с массой электрона, указанной выше. Порядок величины отношения масс можно получить, сравнивая показатели степени вместо более подверженной ошибкам задачи подсчета ведущих нулей. В этом случае «−27» больше, чем «−31», поэтому протон примерно на четыре порядка (примерно в 10 000 раз) массивнее электрона.
Научная запись также позволяет избежать недоразумений из-за региональных различий в некоторых квантификаторах, таких как "миллиард", который может означать либо 10 9
, либо 10 12
.
Использование экспоненциального представления
Конвертация
Чтобы преобразовать обычное десятичное представление в экспоненциальное, переместите десятичный разделитель на нужное количество знаков влево или вправо, чтобы мантисса находилась в нужном диапазоне (между 1 и 10 для нормализованной формы). Если вы переместили десятичную точку на n разрядов влево, умножьте на 10 n ; если вы переместили десятичную точку на n знаков вправо, умножьте на 10 −n . Например, начиная с 1 230 000, переместите запятую на шесть знаков влево, что даст 1,23, и умножьте на 10 6 , чтобы получить результат 7006123000000000000♠ 1,23 × 10 6 . Точно так же, начиная с 0,000000456, переместите десятичную запятую на семь знаков вправо, что даст 4,56, и умножьте на 10 −7, чтобы получить результат 6993455999999999999♠ 4,56 × 10 −7 .
Если десятичный разделитель не сдвинулся, то множитель степени логически равен 10 0 , что правильно, поскольку 10 0 = 1. Однако часть степени «× 10 0 » обычно опускается, поэтому, например, 1,234 — это просто записывается как 1,234, а не 7000123400000000000♠ 1,234 × 10 0 .
Чтобы преобразовать экспоненциальное представление в обычное десятичное представление, возьмите мантисса и переместите десятичный разделитель на количество разрядов, указанное показателем степени — влево, если показатель степени отрицательный, или вправо, если показатель степени положительный. При необходимости добавьте ведущие или конечные нули. Например, если задано 9,5 × 10 10 , переместите запятую на десять знаков вправо, чтобы получить 95 000 000 000.
Преобразование между различными представлениями одного и того же числа в научной записи достигается путем выполнения противоположных операций умножения или деления на степень десяти над мантиссой и экспонентой. Десятичный разделитель в мантиссе сдвигается на n разрядов влево (или вправо), что соответствует делению (умножению) на 10 n и n добавляется (вычитается) из показателя степени, что соответствует отменяющему умножению (делению) на 10 n . Например:
Основные операции
Учитывая два числа в экспоненциальном представлении,
Умножение и деление выполняются по правилам работы с экспоненциальными функциями:
Сложение и вычитание требуют, чтобы числа представлялись с использованием одной и той же экспоненциальной части, чтобы мантиссы можно было просто складывать или вычитать. Следовательно, для выполнения этих операций может потребоваться два шага. Во-первых, при необходимости преобразуйте одно число в представление с той же экспоненциальной частью, что и у другого.Обычно это делается с тем, у которого показатель меньше. В этом примере x1 переписывается как:
Введите число или выражение в пустой текстовый документ.
Нажмите клавиши "Shift" и "6", чтобы ввести символ вставки. Или введите две звездочки подряд. Введите показатель степени.
Завершите выражение, нажав клавишу "Ввод". Простые текстовые редакторы не поддерживают надстрочные индексы, поэтому все символы, которые вы вводите, находятся на одном уровне и имеют одинаковый размер.
Уроженец Чикаго Джон Папевски имеет степень по физике и пишет с 1991 года. Он участвует в информационном бюллетене Foresight Institute "Foresight Update", посвященном нанотехнологиям. Он также участвовал в написании книги «Нанотехнологии: молекулярные размышления о глобальном изобилии».
Экспоненты — это специальные символы, используемые в математических выражениях, которые возводят числа в определенные степени. Экспоненты используются в самых разных областях, а не только в учебниках по математике для студентов — они на самом деле имеют важное применение в практическом мире. Экспоненты часто встречаются в деловых документах, где они чаще всего используются в формулах сложных процентов. Кроме того, разработчикам программного обеспечения, инженерам и ученым часто приходится включать в свою работу экспонентов. Поскольку это так, необходимо иметь возможность вводить экспоненты на компьютерах, поэтому это вполне возможно.
Самый простой и эффективный способ ввести показатель степени на компьютере – просто использовать функцию надстрочного индекса, встроенную почти во все текстовые редакторы (например, в Microsoft Word). С другой стороны, более простые приложения для редактирования текста не имеют функции надстрочного индекса, поэтому также существует ручной метод ввода и представления экспонент на компьютерах, хотя результат этого метода выглядит гораздо менее профессионально и гораздо менее привлекательным по сравнению с результатами функции надстрочного индекса. Вы можете вводить показатель степени на компьютере двумя разными способами — вы можете либо использовать функцию надстрочного индекса в программе обработки текстов, либо вы можете ввести показатель степени и четко представить его как показатель степени. Ниже приведены методы, которые можно использовать для ввода показателей степени на компьютере:
Способ 1. Введите показатель степени с помощью надстрочного индекса
Прежде всего, вы можете ввести показатель степени на компьютере, используя функцию надстрочного индекса в программе обработки текстов, такой как Microsoft Word. Это самый простой и эффективный метод, который можно использовать для ввода показателя степени, а также метод, дающий наилучшие результаты. Чтобы ввести показатель степени с помощью функции надстрочного индекса, вам необходимо:
- Запустите Microsoft Word.
- Введите любой текст или выражение, частью которого является показатель степени.
- Прежде чем вводить показатель степени, нажмите кнопку «Верхний индекс» в разделе «Шрифт» на вкладке «Главная» панели инструментов Microsoft Word, чтобы включить функцию «Верхний индекс». Кроме того, вы также можете нажать Ctrl + Shift + =, чтобы включить функцию надстрочного индекса. При включенной функции надстрочного индекса все, что вы вводите, печатается с повышенным уровнем в соответствующей строке и шрифтом гораздо меньшего размера, чем остальная часть текста, что делает напечатанный текст фактически похожим на показатель степени.
- Введите показатель степени с включенной функцией надстрочного индекса.
- После того, как вы ввели показатель степени, еще раз нажмите кнопку «Верхний индекс» в разделе «Шрифт» на вкладке «Главная» панели инструментов Microsoft Word, чтобы отключить верхний индекс.Кроме того, вы также можете нажать Ctrl + Shift + = еще раз, чтобы добиться того же результата. Отключение функции надстрочного индекса гарантирует, что текст, который вы вводите после экспоненты, будет на том же уровне и с тем же размером шрифта, что и остальной текст.
- Только цифры с десятичной точкой после первой цифры, за которой следует
- × 10 в степени, которая ставит десятичную точку там, где она должна быть
(т. е. показывает, на сколько знаков нужно переместить десятичную точку). - Цифры находятся в диапазоне от 1 до 10 (может быть 1, но не 10).
- Часть "мощность" показывает, на сколько знаков нужно переместить десятичную точку.
- ширина: 0,000 002 56 м = 2,56 × 10 -6
- длина: 0,000 000 14 м = 1,4 × 10 -7
- высота: 0,000 275 м = 2,75 × 10 -4
- 2700 записывается как 2,7 × 10 3
- 27 000 записывается как 27 × 10 3
- 270 000 записывается как 270 × 10 3
- 2 700 000 записывается как 2,7 × 10 6
- 0,0001 = 1 х 10 -4
- 0,0256 = 2,56 x 10 -2
- 4759000 = 4,759 x 10 6
- 5000 = 5 х 10 3
Конечный результат этого метода на самом деле выглядит так, как экспонента выглядит, когда она написана от руки, что является наиболее значительным преимуществом, которое может предложить этот метод.
Метод 2. Вручную введите показатель степени и представьте его как единицу
Если вам нужно ввести показатель степени на компьютере, который не поддерживает или не имеет функции надстрочного индекса, не бойтесь — вы все равно можете ввести показатель степени. Все, что вам нужно сделать, это убедиться, что вводимый вами показатель степени представлен в виде показателя степени с использованием специальных символов. Чтобы использовать этот метод для ввода показателя степени на компьютере, вам необходимо:
Конечный результат этого метода не такой профессиональный или чистый, как конечный результат функции надстрочного индекса, но ввода показателя степени и использования специального символа, чтобы убедиться, что он представлен как единица, более чем достаточно, чтобы получить работа сделана.
Научная нотация (также называемая стандартной формой в Великобритании) – это особый способ записи чисел:
| Вот так: |
| Или это: |
Это упрощает использование больших и малых значений.
Хорошо, как это работает?
Пример: 700
Почему 700 записывается как 7 × 10 2 в научной записи?
И 700, и 7 × 10 2 имеют одинаковое значение, просто показаны по-разному.
Пример: 4 900 000 000
1 000 000 000 = 10 9 ,
так что 4 900 000 000 = 4,9 × 10 9 в научной записи
Число записывается двумя частями:
В этом примере 5326,6 записывается как 5,3266 × 10 3 ,
потому что 5326,6 = 5,3266 × 1000 = 5,3266 × 10 3
Попробуйте сами
Введите число и посмотрите его в научной нотации:
Теперь попробуйте сами использовать научную нотацию:
Другие способы написания
Можно использовать символ ^ (над цифрой 6 на клавиатуре), так как его легко набирать.
Пример: 3 × 10^4 равно 3 × 10 4
Калькуляторы часто используют "E" или "e" следующим образом:
Пример: 6E+5 равно 6 × 10 5
Пример: 3,12E4 равно 3,12 × 10 4
Как это сделать
Чтобы вычислить степень числа 10, подумайте: "На сколько знаков мне переместить десятичную точку?"
Когда число меньше 1, десятичная точка должна сместиться вправо, поэтому степень числа 10 отрицательна.
Пример: 0,0055 записывается как 5,5 × 10 -3
Потому что 0,0055 = 5,5 × 0,001 = 5,5 × 10 -3
Пример: 3.2 записывается как 3,2 × 10 0
Нам вообще не нужно было перемещать десятичную точку, поэтому степень равна 10 0
Но теперь это в научной нотации
Проверьте!
После ввода числа в экспоненциальном представлении просто проверьте следующее:
Зачем это использовать?
Потому что это упрощает работу с очень большими или очень маленькими числами, которые часто встречаются в научной и инженерной работе.
Пример: легче записать (и прочитать) 1,3 × 10 -9, чем 0,0000000013
Это также может упростить расчеты, как в этом примере:
Пример: крошечное пространство внутри компьютерного чипа имеет размеры 0,00000256 м в ширину, 0,00000014 м в длину и 0,000275 м в высоту.
Каков его объем?
Давайте сначала преобразуем три длины в экспоненциальное представление:
Затем перемножьте цифры вместе (игнорируя ×10):
2,56 × 1,4 × 2,75 = 9,856
Наконец, умножьте ×10:
10 -6 × 10 -7 × 10 -4 = 10 -17 (проще, чем кажется, просто сложите −6, −4 и −7 вместе)
Результат 9,856×10 -17 м 3
Оно часто используется в науке:
Пример: Солнце, Луна и планеты
Солнце имеет массу 1,988 × 10 30 кг.
Легче, чем написать 1 988 000 000 000 000 000 000 000 000 000 кг
(и это число дает ложное представление о многих цифрах точности.)
Поиграй с этим!
Использовать научную нотацию
в Gravity Freeplay
Это также может сэкономить место!Вот что происходит, когда вы удваиваете на каждой клетке шахматной доски:
Значения округлены, поэтому 53 6870 912 отображается как 5 × 10 8
Последнее значение, показанное как 9 × 10 18, на самом деле равно 9 223 372 036 854 775 808
Техническая нотация
Инженерная нотация похожа на научную нотацию, за исключением того, что мы используем только степени десяти, кратные 3 (например, 10 3 , 10 -3 , 10 12 и т. д.).
Примеры:
Пример: 0,00012 записывается как 120 × 10 -6
Обратите внимание, что часть "цифры" теперь может быть от 1 до 1000 (может быть 1, но не 1000).
Преимущество заключается в том, что мы можем заменить ×10 на метрические числа. Таким образом, мы можем использовать стандартные слова (например, тысяча или миллион), префиксы (например, килограмм, мега) или символы (к, М и т. д.)
Пример: 19 300 метров записывается как 19,3 × 10 3 м, или 19,3 км.
Пример: 0,00012 секунды записывается как 120 × 10 -6 с или 120 микросекунд
Научная нотация – это более удобный способ записи очень маленьких или очень больших чисел. Общее представление научной нотации: [латекс]а \раз 10^b[/латекс](где «b» — целое число, а «a» — любое действительное число ). При записи в экспоненциальном представлении включайте в действительное число только значащие цифры «a». Важные цифры описаны в другом разделе.
Чтобы выразить число в экспоненциальном представлении, вы перемещаете десятичный разряд вправо, если число меньше нуля, или влево, если число больше нуля. Например, в 456000 десятичный разряд ставится после последнего ноль, поэтому, чтобы выразить это в экспоненциальном представлении, вам нужно переместить десятичную дробь между 4 и 5.
Десятичная запятая переместится на пять разрядов влево, чтобы получить 4,56, как наш [латекс]а[/латекс] в [латекс]а \times 10^b[/латекс]. Количество перемещений десятичного знака становится целым числом «b». В этом случае десятичная дробь перемещалась пять раз. Следовательно, наше число в экспоненциальном представлении будет следующим: [латекс]4,56 х 10^5[/латекс]. Имейте в виду, что нули не включаются в «a», поскольку они не являются значащими цифрами.
Для перехода между экспоненциальной записью и десятичными дробями десятичная точка перемещается на количество пробелов, указанное показателем степени. Отрицательная экспонента говорит вам переместить десятичную точку вправо, в то время как положительная экспонента говорит вам переместить ее влево.
Научное представление: введение — YouTubeУзнайте, как преобразовывать числа в экспоненциальное представление и обратно. Научная нотация — это способ выразить очень большие и очень маленькие числа с показателями степени в степени десяти. Ее также иногда называют экспоненциальной записью. Это видео содержит объяснение и руководство, а также практические задания и примеры задач.
Примеры научной записи:
Научное обозначение числа АвогадроВот пример научного обозначения на калькуляторе. 6.02E23 означает то же самое, что и 6.02 x 10 23 .
Научная нотация позволяет сравнивать порядки величин. Как видно выше, научная запись использует основание 10, и если число на порядок больше другого, оно больше в 10 раз. Например, 4,759 x 10 6 на 3 порядка больше, чем 5 x 10 3 ; это на 8 порядков больше, чем 2,56 x 10 -2 .
Основы математики в научных обозначениях
Основные операции Основные операции, такие как умножение и сложение, выполняются так же, как и с экспоненциальными числами.
Бесконечные ветеринары и кураторы высококачественного контента с открытой лицензией со всего Интернета. Этот конкретный ресурс использовал следующие источники:
Читайте также: