Каково отношение сторон и углов треугольника?

Обновлено: 03.07.2024

Два треугольника похожи, если разница только в размере (и, возможно, в необходимости повернуть или перевернуть один из них).

Все эти треугольники похожи:

(Равные углы отмечены одинаковым количеством дуг)

Некоторые из них имеют разные размеры, а некоторые перевернуты или перевернуты.

Для подобных треугольников:

Все соответствующие углы равны

Все соответствующие стороны имеют одинаковое соотношение

Также обратите внимание, что соответствующие стороны обращены под соответствующими углами. Например, стороны, обращенные к углам с двумя дугами, являются соответствующими.

Соответствующие стороны

В подобных треугольниках соответствующие стороны всегда находятся в одном и том же отношении.

Треугольники R и S подобны. Равные углы отмечены одинаковым количеством дуг.

Какова соответствующая длина?

Длины 7 и a соответствуют друг другу (они обращены к углу, отмеченному одной дугой)
Длины 8 и 6,4 соответствуют друг другу (они смотрят на угол, отмеченный двумя дугами)
Длины 6 и b соответствуют друг другу (они обращены к углу, отмеченному тремя дугами)

Вычисление длин соответствующих сторон

Иногда мы можем рассчитать длину, которую еще не знаем.

Шаг 1. Найдите отношение соответствующих сторон.
Шаг 2. Используйте это соотношение, чтобы найти неизвестные длины.

Пример. Найдите длины a и b треугольника S

Шаг 1. Найдите соотношение

Нам известны все стороны треугольника R и
нам известна сторона 6,4 треугольника S

6.4 обращена к углу, отмеченному двумя дугами, как и сторона длины 8 в треугольнике R.

Таким образом, мы можем сопоставить 6,4 с 8, и поэтому отношение сторон треугольника S к треугольнику R равно:

Теперь мы знаем, что все длины сторон треугольника S в 6,4/8 раз больше длин сторон треугольника R.

Шаг 2. Используйте соотношение

a обращена к углу с одной дугой, как и сторона длины 7 в треугольнике R.

b обращена к углу с тремя дугами, как и сторона длины 6 в треугольнике R.

Треугольник 30-60-90 — это особый прямоугольный треугольник, так как углы треугольника находятся в соотношении 1:2:3. Существуют различные типы треугольников, такие как тупоугольные, равнобедренные, остроугольные, равносторонние и так далее. Но только несколько типов треугольников считаются особыми треугольниками. Эти треугольники особенные, поскольку их стороны и углы постоянны и предсказуемы. Их свойства можно использовать для решения различных задач геометрии или тригонометрии. Треугольник 30-60-90 (произносится как «тридцать шестьдесят девяносто») — действительно один из таких треугольников особого типа.

В этом уроке мы рассмотрим концепцию треугольника 30-60-90 и узнаем о нем все, включая его формулу, определение, стороны, площадь и правила, применимые к этому треугольнику.

< td>Часто задаваемые вопросы о треугольнике 30-60-90

1.	Что такое треугольник 0-60-90?
2.	30 Стороны треугольника -60-90
3.	30-60-90-Теорема о треугольнике
4.	Треугольник 30-60-90 Proof
5.	Правило треугольника 30-60-90
6.	Площадь треугольника 30-60-90
7.

Что такое треугольник 30-60-90?

Треугольник 30-60-90 называется особым прямоугольным треугольником, так как углы этого треугольника находятся в уникальном соотношении 1:2:3. Здесь под прямоугольным треугольником понимается любой треугольник, содержащий угол 90°. Треугольник 30-60-90 — это особый прямоугольный треугольник, углы которого всегда равны 30°, 60° и 90°. Вот несколько вариантов треугольника 30-60-90. Треугольники ABC и PQK составляют 30-60-90 треугольников.

Здесь в треугольнике ABC ∠ C = 30°, ∠ A = 60°, ∠ B = 90°, а в треугольнике PQK ∠ P = 30°, ∠ K = 60°, ∠ Q = 90°

30-60-90 сторон треугольника

Треугольник 30-60-90 — это особый треугольник, поскольку длины его сторон всегда находятся в постоянном соотношении друг с другом.

В приведенном ниже треугольнике ABC 30-60-90 ∠ C = 30°, ∠ A = 60° и ∠ B = 90°. Мы можем понять отношения между каждой из сторон из следующих определений:

Сторона, лежащая напротив угла 30 °, AB = y, всегда будет наименьшей, так как 30 ° — наименьший угол в этом треугольнике.
Сторона, противоположная углу 60°, BC = y × √3 = y√3, будет средней длиной, поскольку 60 ° — это средний угол в градусах в этом треугольнике.
На стороне, противоположной углу 90°, гипотенуза AC = 2y будет наибольшей стороной, поскольку 90° – это наибольший угол.

Стороны треугольника 30-60-90 всегда находятся в соотношении 1:√3:2. Это также известно как формула треугольника 30-60-90 для сторон y: y√3: 2y. Давайте изучим вывод этого соотношения в разделе доказательства треугольника 30-60-90. Эту формулу можно проверить с помощью теоремы Пифагора.

Рассмотрите несколько примеров треугольника 30-60-90 градусов со следующими длинами сторон:

Здесь, в треугольнике 30-60-90 DEF

∠ F = 30°, ∠ D = 60° и ∠ E = 90°

Сторона, противоположная углу 30°, DE = y = 2
Сторона, противоположная углу 60°, BC = y√3 = 2√3
Сторона, противоположная углу 90°, гипотенуза AC = 2y = 2 × 2 = 4

Здесь, в треугольнике 30-60-90 PQR

∠ R = 30°, ∠ P = 60° и ∠ Q = 90°

Сторона, противоположная углу 30°, AB = y = 7
Сторона, противоположная углу 60°, BC = y√3 = 7√3
Сторона, противоположная углу 90°, гипотенуза AC = 2y = 2 × 7 = 14

30-60-90-Теорема о треугольнике

Утверждение теоремы 30-60-90 треугольников дается как,

Утверждение: длина гипотенузы в два раза больше длины самой короткой стороны, а длина другой стороны в √3 раза больше длины самой короткой стороны в треугольнике 30-60-90.

Формула треугольника 30-60-90

Вышеупомянутая теорема может быть записана математически как формула треугольника 30-60-90 как 1:√3:2, которая является отношением трех сторон треугольника 30-60-90. Другая формула для этого особого треугольника 1:2:3, которая является отношением трех углов треугольника 30-60-90.

30-60-90-Triangle Proof

Давайте рассмотрим равносторонний треугольник ABC с длиной стороны, равной 'a'.

Теперь проведите перпендикуляр из вершины A на сторону BC в точке D треугольника ABC. Перпендикуляр в равностороннем треугольнике делит другую сторону пополам.

Треугольники ABD и ADC — это два треугольника 30-60-90. Оба треугольника подобны и прямоугольные треугольники. Следовательно, мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти длину AD.

(AB) 2 = (AD) 2 + (BD) 2

а 2 = (АД) 2 + (а/2) 2

a 2 - (a/2) 2 = (AD) 2

Эти стороны также подчиняются тому же соотношению a/2 : (a√3)/2: a

Умножить на 2 и разделить на "а",

Получаем 1:√3:2. Это теорема треугольника 30-60-90.

Правило треугольника 30-60-90

В треугольнике 30-60-90 меру любой из трех сторон можно узнать, зная меру хотя бы одной стороны треугольника. Это называется правилом треугольника 30-60-90. В приведенной ниже таблице показано, как найти стороны треугольника 30-60-90, используя правило треугольника 30-60-90:

Предполагается, что основание BC треугольника равно 'a'.

Перпендикуляр DE треугольника считается равным 'a'.

Предполагается, что гипотенуза PR треугольника равна 'a'.

Перпендикуляр треугольника ABC равен AB = (a /√3)

Гипотенуза треугольника ABC равна AC = (2a)/√3

Основание треугольника DEF равно EF = √3a.

Гипотенуза треугольника DEF равна DF = 2a.

Основание треугольника PQR равно QR = (√3a)/2.

Перпендикуляр треугольника PQR равен PQ = (a/2).

Площадь треугольника 30-60-90

Формула для вычисления площади треугольника = (1/2) × основание × высота. В прямоугольном треугольнике высота есть перпендикуляр треугольника. Таким образом, формула для вычисления площади прямоугольного треугольника = (1/2) × основание × перпендикуляр

Давайте узнаем, как применить эту формулу, чтобы найти площадь треугольника 30-60-90.

Основание BC треугольника принимается равным «a», а гипотенуза треугольника ABC равна AC. В предыдущем разделе мы узнали, как найти гипотенузу, если известно основание.

Давайте применим изученную формулу.

Таким образом, перпендикуляр треугольника = a/√3

Площадь треугольника = (1/2) × основание × перпендикуляр

Площадь = 1/2 × а × а/√3

Следовательно, площадь треугольника 30-60-90, когда основание (сторона средней длины) задано как "a", составляет: a 2 /(2√3)

Статьи по теме

Важные примечания о треугольнике 30-60-90

Вот список нескольких моментов, которые следует помнить при изучении треугольников 30-60-90:

Треугольник 30-60-90 называется особым прямоугольным треугольником, так как углы этого треугольника находятся в уникальном соотношении 1:2:3, а стороны в соотношении 1:√3:2.
Треугольник 30-60-90 – это особый прямоугольный треугольник, углы которого всегда равны 30 °, 60 ° и 90 °.
Все стороны треугольника 30-60-90 можно вычислить, если известна любая сторона. Это называется правилом треугольника 30-60-90.

Решенные примеры для треугольника 30-60-90

Пример 1. Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если две другие стороны равны 8 и 8√ 3 единицы.

Решение:

Во-первых, давайте проверим соотношение, чтобы убедиться, что оно подходит для треугольника 30-60-90.

Отношение двух сторон = 8:8√3 = 1:√3

Это указывает на то, что треугольник представляет собой треугольник 30-60-90. Мы знаем, что гипотенуза в 2 раза меньше стороны.

Таким образом, гипотенуза равна 2 × 8 = 16 единиц

Ответ: Гипотенуза = 16 единиц

Пример 2. Стороны треугольника равны 2√2, 2√6 и 2√8. Найдите углы этого треугольника.

Решение:

Стороны треугольника равны 2√2, 2√6 и 2√8.

Во-первых, давайте проверим, соответствуют ли стороны правилу треугольника 30-60-90.

2√2: 2√6: 2√8 можно переписать как 2√2: 2√2 × √3: 2 × 2√2

Если мы разделим это отношение на 2√2, то получим 1:√3:2

Эти стороны соответствуют правилу треугольника 30-60-90. Мы знаем, что углы треугольника 30-60-90 равны 30°, 60° и 90°.

Ответ: углы треугольника равны 30°, 60° и 90°.

Пример 3. Проверьте, является ли треугольник треугольником 30-60-90, если стороны треугольника равны 4 единицам, √48 единицам и 8 единицам.

Решение. Чтобы проверить, является ли треугольник треугольником 30-60-90, мы проверим соотношение сторон. У нас есть

4 : √48 единиц : 8 = 4 : 4√3 : 4 × 2

Используя теорему о треугольнике 30-60-90, стороны относятся как 1 : √3 : 2. Таким образом, треугольник является треугольником 30-60-90.

Ответ: Данным треугольником является треугольник 30-60-90.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций с помощью Cuemath.

Чтобы лучше понять некоторые проблемы, связанные с самолетами и двигателями, необходимо использовать некоторые математические идеи из тригонометрии, изучения треугольников. На другой странице мы представили тригонометрические функции синуса, косинуса и тангенса углов прямоугольного треугольника и описали, как эти функции связаны с величиной сторон треугольника. На этой странице мы продолжим изучение отношений между сторонами прямоугольного треугольника и покажем, что тригонометрические функции зависят только от углов треугольника, а не от размера треугольника.

На этой странице мы построили три прямоугольных треугольника разного размера, но с одинаковым острым углом c в левом нижнем углу. Используя терминологию со страницы синусов, косинусов и тангенсов, мы сделали сторону, противоположную углу c, равной 1,0 для красного треугольника. И мы сделали сторону, примыкающую к углу c, равной 2,0. Отношение противоположного к соседнему для любого прямоугольного треугольника определяется как тангенс (tan) угла. Для красного треугольника значение касательной равно:

Для синего треугольника мы сохранили угол c таким же, но удвоили размер противоположной стороны и смежной стороны. Математики сказали бы, что синий и красный треугольники — подобные треугольники; углы равны, а размер разный.Каково отношение противоположного к соседнему для синего треугольника?

То же значение, что и для красного треугольника. Для желтого треугольника мы утроили размер красного треугольника. Противоположная сторона теперь имеет длину 3 единицы, а соседняя сторона теперь имеет длину 6 единиц. Желтый треугольник математически похож на красный и синий треугольники. Каково отношение противоположного к соседнему для желтого треугольника?

То же значение, что и у красного и синего треугольников. Мы могли бы повторить этот процесс для любого числа, кратного (m) сторонам красного треугольника, и результат был бы таким же:

tan(c) = (1 * m) / (2 * m) = 0,5

Значение тангенса (а также синуса и косинуса) зависит от размера угла, а не от размера треугольника. Начальная геометрия красного треугольника была произвольной. Если бы мы выбрали другие числа для отношения сторон красного треугольника, значение угла c было бы другим, и значение тангенса было бы другим. Но одно и то же значение касательной будет иметь место для синего и желтого треугольников, пока угол c сохраняется одним и тем же.

Он также имеет равную важность с треугольником 45°-45°-90° из-за соотношения его сторон. У него два острых угла и один прямой угол.

Что такое треугольник 30-60-90?

Треугольник 30-60-90 – это особый прямоугольный треугольник, углы которого равны 30º, 60º и 90º. Треугольник особенный, потому что длины его сторон всегда находятся в соотношении 1: √ 3: 2.

Любой треугольник формы 30-60-90 можно решить без применения методов длинных шагов, таких как теорема Пифагора и тригонометрические функции.

Самый простой способ запомнить соотношение 1: √ 3: 2 — это запомнить числа; «1, 2, 3». Одной из предосторожностей при использовании этой мнемоники является то, что 3 находится под знаком квадратного корня.

Из приведенного выше рисунка мы можем сделать следующие выводы о треугольнике 30-60-90:

Более короткая сторона, противоположная углу в 30 градусов, помечена буквой x.
Гипотенуза, лежащая напротив угла 90 градусов, в два раза короче катета (в 2 раза).
Более длинный отрезок, противоположный углу в 60 градусов, равен произведению более короткого отрезка и квадратному корню из трех (x√3).

Как решить треугольник 30-60-90?

Решая задачи с участием треугольников 30-60-90, вы всегда знаете одну сторону, по которой можно определить другие стороны. Для этого вы можете умножить или разделить эту сторону на соответствующий коэффициент.

Вы можете обобщить различные сценарии следующим образом:

Когда известна более короткая сторона, вы можете найти более длинную сторону, умножив более корень на квадратный корень из 3. После этого вы можете применить теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу.
Когда известна более длинная сторона, вы можете найти более короткую сторону, разделив длинную сторону на квадратный корень из 3. После этого вы можете применить теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу.
Когда известна более короткая сторона, вы можете найти гипотенузу, умножив более короткую сторону на 2. После этого вы можете применить теорему Пифагора, чтобы найти более длинную сторону.
Когда известна гипотенуза, можно найти меньшую сторону, разделив гипотенузу на 2. После этого можно применить теорему Пифагора, чтобы найти длинную сторону.

Это означает, что более короткая сторона служит воротами между двумя другими сторонами прямоугольного треугольника. Вы можете найти более длинную сторону, когда задана гипотенуза, или наоборот, но всегда нужно сначала найти более короткую сторону.

Кроме того, для решения задач, связанных с треугольниками 30-60-90, необходимо знать о следующих свойствах треугольников:

Сумма внутренних углов любого треугольника в сумме составляет 180º. Следовательно, если вы знаете величину двух углов, вы можете легко определить третий угол, вычитая два угла из 180 градусов.
Самая короткая и самая длинная стороны в любом треугольнике всегда противоположны наименьшему и наибольшему углам. Это правило также относится к треугольнику 30-60-90.
Треугольники с одинаковыми величинами углов подобны, и их стороны всегда находятся в одном и том же отношении друг к другу. Таким образом, понятие сходства можно использовать для решения задач, связанных с треугольниками 30-60-90.
Поскольку треугольник 30-60-90 является прямоугольным, то теорема Пифагора a 2 + b 2 = c 2 также применима к треугольнику. Например, мы можем доказать, что гипотенуза треугольника равна 2x следующим образом:

⇒ c 2 = x 2 + (x√3) (x√3)

Найдите квадратный корень из обеих сторон.

Давайте решим несколько практических задач.

Пример 1

В прямоугольном треугольнике, один из углов которого равен 60 градусам, длинная сторона равна 8√3 см.Вычислите длину его меньшей стороны и гипотенузу.

Из соотношения x:x√3:2x длинная сторона равна x√3. Итак, у нас есть;

Возведите в квадрат обе части уравнения.

Найдите квадрат с обеими сторонами.

2x = 2 * 8 = 16 см.

Следовательно, меньшая сторона равна 8 см, а гипотенуза — 16 см.

Пример 2

Лестница, прислоненная к стене, образует с землей угол 30 градусов. Найдите длину лестницы 9 м;

а. Высота стены.

б. Рассчитайте длину между основанием лестницы и стеной.

Один угол равен 30 градусам; тогда это должен быть прямоугольный треугольник 60°- 60°- 90°.

а. Высота стены = 4,5 м

Пример 3

Диагональ прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите длины двух других сторон треугольника, если один из его углов равен 30 градусов.

Это должен быть треугольник 30°-60°-90°. Поэтому мы используем соотношение x: x√3:2x.

Диагональ = гипотенуза = 8 см.

Короткая сторона прямоугольного треугольника равна 4 см, а длинная сторона равна 4√3 см.

Пример 4

Найдите значения x и z на диаграмме ниже:

< бр />

Длина, равная 8 дюймов, будет более короткой ногой, потому что она противоположна углу в 30 градусов. Чтобы найти значение z (гипотенуза) и y (более длинный отрезок), мы поступаем следующим образом:

Из соотношения x:x√3:2x;

Следовательно, y = 8√3 дюйма и z = 16 дюймов.

Пример 5

Если один угол прямоугольного треугольника равен 30º, а кратчайшая сторона равна 7 м, какова мера двух оставшихся сторон?

Это треугольник 30-60-90, в котором длины сторон относятся к x:x√3:2x.

Подставьте x = 7 м вместо более длинного катета и гипотенузы.

Следовательно, другие стороны равны 14 м и 7√3 м

Пример 6

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 12 см, а меньший угол равен 30 градусам. Найдите длину длинной и короткой ноги.

Учитывая отношение сторон = x:x√3:2x.

Подставьте x = 6 см вместо длинной и короткой стороны, чтобы получить;

длинная нога = 6√3 см

Пример 7

Две стороны треугольника равны 5√3 мм и 5 мм. Найдите длину его диагонали.

Проверьте соотношение длин сторон, если оно соответствует соотношению x:x√3:2x.

Умножить 2 на 5.

Следовательно, гипотенуза равна 10 мм.

Пример 8

Для разгрузки грузовика высотой 2 фута используется пандус, образующий угол 30 градусов с землей. Рассчитайте длину пандуса.

Это должен быть треугольник 30-60-90.

Следовательно, длина пандуса составляет 4 фута.

Пример 9

Найдите гипотенузу треугольника с углами сторон 30°-60°-90°, длинная сторона которого равна 6 дюймов.

Читайте также: