Как найти производную в Excel

Обновлено: 21.11.2024

Введите "=(B2-B1)/$D$1" в ячейку C1. Это уравнение находит производную для вашей формулы в каждой точке, используя определение производной «dy/dx»: разница между каждой строкой в столбце B составляет «dy», а значение, которое вы выбрали для D1, представляет «dx». Дважды щелкните маркер заполнения в ячейке C1, чтобы заполнить столбец.

Впоследствии можно также спросить, как вывести уравнение из графика в Excel?

Чтобы отобразить уравнение, нажмите «Линия тренда» и выберите «Дополнительные параметры линии тренда…». Затем установите флажок «Отображать уравнение на диаграмме».

А что такое производная? Производный инструмент — это договор между двумя или более сторонами, стоимость которого основана на согласованном базовом финансовом активе (например, ценной бумаге) или наборе активов (например, индексе). Общие базовые инструменты включают облигации, сырьевые товары, валюты, процентные ставки, рыночные индексы и акции.

Помимо этого, как создать дифференциальную диаграмму в Excel?

Откройте новую таблицу Excel и введите "X" в ячейку A1.
Введите "DF1" в ячейку B1, чтобы представить дифференциальное уравнение 1, а затем введите "DF2" в ячейку C2, чтобы представить дифференциальное уравнение 2.
Введите значения независимой переменной в столбец A, начиная с ячейки A2.

Вы умеете считать в Excel?

Вычислительные функции Excel. Программа Microsoft Excel для работы с электронными таблицами поставляется с множеством математических функций, но не включает расчеты в стандартной версии. Если вам нужна эта функция, вы можете установить сторонние пакеты математических программ, которые включают в себя функции исчисления, такие как производные и интегралы.

Как найти первую производную?

В принципе, мы можем вычислить производную f(x), используя предельное определение производных, выполнив следующие шаги: Найдите f(x + h). Подставьте f(x + h), f(x) и h в предельное определение производной. Упростите разностное частное. Возьмите предел, когда h приближается к 0, упрощенного разностного отношения.

Как вы различаете данные в Excel?

Excel: краткий обзор данных На вкладке меню «Главная» выберите «Условное форматирование на ленте», «Правила выделения ячеек» и «Больше». В поле «Больше чем» введите пороговое значение, которое вы хотите, чтобы суммы ячеек отражались цветом в поле «с».

Может ли Excel решать интегралы?

Функции численного интегрирования в Excel Используйте QUADF для вычисления правильного или неправильного интеграла любой формулы или определяемой пользователем функции VBA с использованием высокоточных адаптивных алгоритмов. Nest QUADF для вычисления нескольких интегралов любого порядка с индивидуальным управлением каждым вложенным интегралом, например выбором алгоритма.

Как составить уравнение из графика?

Чтобы написать уравнение в форме пересечения наклона, по графику этого уравнения выберите две точки на линии и используйте их для определения наклона. Это значение m в уравнении. Затем найдите координаты точки пересечения по оси y — они должны иметь вид (0, b). Координата Y — это значение b в уравнении.

Что такое функция Linest в Excel?

Функция ЛИНЕЙН в Microsoft Excel использует метод наименьших квадратов для расчета статистики прямой линии и возвращает массив, описывающий эту линию. Функция ЛИНЕЙН — это встроенная функция Excel, относящаяся к категории статистических функций. Его можно использовать как функцию рабочего листа (WS) в Excel.

Microsoft Excel не имеет возможности генерировать производное уравнение по заданной формуле, но вы по-прежнему можете использовать программу для вычисления значений как формулы, так и ее производной, и отображать их на графике. Это позволяет вам сравнивать формулу с ее производной, даже если вы не знаете самой производной. Поскольку Excel берет на себя все расчеты, вы можете использовать этот метод, даже если не знаете математических вычислений.

Введите нижнюю границу горизонтального диапазона, который вы хотите отобразить, в ячейку A1. Например, чтобы построить график от -2 до 2, введите "-2" в ячейке A1 (без кавычек здесь и на всех этапах).

Введите расстояние между точками графика в ячейке D1. Чем меньше расстояние, тем точнее будет выглядеть ваш график, но использование слишком большого количества точек графика может замедлить обработку. Для этого примера введите «0,1», что обеспечит 41 точку графика от -2 до 2. Если вы используете меньший или больший диапазон, соответственно измените расстояние, чтобы получить как минимум несколько десятков точек, но не более нескольких тысяч. .

Введите формулу "=A1+$D$1" в ячейку A2. Перетащите маркер заполнения в углу ячейки вниз, чтобы повторить формулу во всех точках, необходимых для достижения нужного верхнего диапазона.

Поместите исходную формулу в ячейку B1, начиная со знака равенства и заменяя переменную на "A1". Например, чтобы использовать уравнение «y=2x^2», введите «=2*A1^2». Обратите внимание, что Excel не умножает соседние термины автоматически, поэтому для умножения необходимо ввести звездочку.

Дважды щелкните маркер заполнения в ячейке B1, чтобы заполнить все необходимые ячейки в столбце B.

Прокрутите вниз и удалите последнее число в столбце C, чтобы избежать неточного значения последней производной.

Нажмите и перетащите от заголовка столбца A к заголовку C, чтобы выделить первые три столбца. Откройте вкладку «Вставка» на ленте и нажмите «Диаграммы», «Распределение», а затем «Рассеивание с плавными линиями» или другой тип точечной диаграммы, если это необходимо. В Excel ваша исходная формула будет отображаться как «Серия 1», а производная — как «Серия 2».

Используйте DERIVF для вычисления производных первого или более высокого порядка функции f(x) при x=p с использованием высокоточного адаптивного алгоритма. С помощью необязательных аргументов можно указать более высокий порядок производной, а также переопределить параметры алгоритма по умолчанию.

d n f ( x ) d x n

DERIVF может быть вложен для вычисления частных производных любого порядка.

∂ ∂ z ∂ ∂ y ∂ ∂ x f x y z

Необходимые входные данные

f ссылка на формулу функции.

Если ваша функция слишком сложна для представления вложенными формулами, вы можете закодировать ее в функции VBA (см. пример 3).

x ссылка на переменную дифференцирования.

p точка, в которой вычисляется производная.

Необязательные входные данные

n производный порядок. Вы можете ввести целое число от 1 до 4. По умолчанию 1.

удерживайте набор пар ключ/значение для алгоритмического управления, как описано ниже.

(0,00001 для (n = 1)
0,0001 для (n = 2)
0,001 для (n = 3)
0,01 для (n = 4)

Ключ	INITSTEP
Допустимые значения (целое число)	> 0
Значение по умолчанию	0,05
Примечания	Этот параметр очень важен. Пробуйте разные малые и большие значения, когда сталкиваетесь с трудностями сходимости.

Ключ	ITRNMAX
Допустимые значения (действительные)	>= 3
Значение по умолчанию	50
Примечания	Устанавливает верхнюю границу максимального размер сгенерированной таблицы Невилла по алгоритму Риддерса.

Рассмотрите функцию:

f ( x ) = x ⁢ грех ( х 2 ) + 1

f '( x ) = sin ( x 2 ) + 2 ⁢ x 2 ⁢ потому что ( х 2 )

Мы вычисляем численные производные при x = 0 и при x = 1 для заказов с 1 по 4 и сравниваем их с аналитическими значениями, показанными в столбце B таблиц ниже:

При x=0

A
1	=X1*SIN(X1^2)+1
2	=ПРОИЗВОД(A1,X1,0)
3	=ПРОИЗВОД(A1 ,X1,0,2)
4	=ПРОИЗВОДНАЯ(A1,X1,0,3)
5	=ПРОИЗВОДНАЯ(A1,X1,0,4)

< /tr>

A	B
1	1	1< /td>
2	3.18603E-15	0
3	0	0
4	6	6
5	1.27896E-15	0

При x=1

< tr>

A
6	=DERIVF(A1,X1,1)
7	=ПРОИЗВОД(A1,X1,1,2)
8	=ПРОИЗВОД(A1 ,X1,1,3)
9	=ПРОИЗВОДНАЯ(A1,X1,1,4)

Рассмотрите частную производную:

∂ ∂ y ∂ ∂ x cos ( x , y ) = - sin ( x y ) - x ⁢ у потому что ( х у )

Мы вычисляем частную производную cos(xy) в точке (π,π) путем вложения DERIVF и сравниваем результат с аналитическим значением, показанным в B3 ниже:

Частная производная в точке (π,π)

Мы демонстрируем, как вычислить производную для пользовательской функции VBA с помощью DERIVF . Вы можете определить свои собственные функции VBA в Excel, что очень удобно, когда вашу функцию трудно определить с помощью стандартных формул. Для иллюстрации мы вычисляем производную для

log (x + 1), при x=2.

VBA поддерживается только в ExceLab 7.0. ExceLab 365, основанный на кроссплатформенной технологии Office JS, несовместим с VBA

Решение

Откройте Excel и запустите редактор VBA, нажав Alt+F11

Вставьте модуль с вкладки «Вставка», затем закодируйте следующую функцию:

Вычислить производную при x=2

Ваше имя функции VBA должно иметь префикс "vb", чтобы его можно было использовать с решателями ExceLab.

X1 — это просто фиктивная переменная для функции, и ее значение игнорируется.

DERIVF реализует метод Риддерса, который использует адаптивный шаг для получения гораздо более высокой точности, чем простой метод конечных разностей с фиксированным шагом. Он использует алгоритм Невилла и полиномиальную экстраполяцию, чтобы уменьшить размер шага до нуля с машинной точностью.

Начальный размер шага для алгоритма Риддерса — важный параметр, который может способствовать успешной сходимости алгоритма. Вы можете переопределить значение этого параметра по умолчанию с помощью клавиши управления INITSTEP (например, DERIVF(A1, X1, P1, 1, )). Размер начального шага не обязательно должен быть маленьким, а скорее должен масштабироваться в диапазоне вокруг точки p, в которой функция заметно изменяется. Метод Риддерса пытается довести размер шага до нуля путем полиномиальной экстраполяции с использованием алгоритма Невилла.

В этом посте я сосредоточусь на вычислении производных табличных данных, а пост о вычислении того же с помощью VBA появится позже.

Как выделиться в Excel

Это тип расчета производной, который обычно выполняется на основе экспериментальных данных. Это может быть особенно полезно, когда вы не можете напрямую измерить интересующую величину, но можете измерить ее подынтегральную функцию.

Конечно, классический пример — положение и скорость:

Скажем, например, вы провели какой-то эксперимент, в котором было трудно получить скорость напрямую. Вместо этого вы измеряли положение в разное время, t. Вы можете импортировать данные в Excel и рассчитать скорость как производную от положения по времени.

Производная формула Excel с использованием метода конечных разностей

Для выполнения этого расчета в Excel используется метод конечных разностей.

Чтобы использовать метод конечных разностей в Excel, мы вычисляем изменение «y» между двумя точками данных и делим на изменение «x» между теми же точками данных:

Это называется односторонней оценкой, поскольку учитывает наклон данных только с одной стороны интересующей точки. Приведенная выше формула возвращает тот же результат, что и функция НАКЛОН в Excel, поэтому мы могли бы ее использовать. Однако это не предпочтительный метод.

Лучшей оценкой будет вычисление среднего уклона в интересующей точке путем усреднения уклона непосредственно до и после этой точки.

Итак, если бы мы хотели найти наклон при y₂ (z), мы могли бы использовать этот расчет:

Эта производная формула известна как центральная конечная разность.

Пример: вычисление производной в Excel

Давайте рассмотрим, как рассчитать производную в Excel на примере. Мы можем использовать данные о положении, которые были рассчитаны путем интегрирования данных о скорости в предыдущем посте, и использовать их для расчета как скорости, так и ускорения. В качестве проверки мы сравним рассчитанные данные ускорения с исходными данными ускорения.

Чтобы упростить задачу, я скрыл старые данные об ускорении и скорости. В конце мы посмотрим, как они сравниваются.

Как рассчитать скорость в Excel

Во-первых, я вычисляю скорость как производную от данных о местоположении, используя вышеприведенное уравнение конечных разностей. Поскольку нам нужны y3 и y1, я начинаю расчет в ячейке E5 и заполняю ее.

Как вычислить первую производную в Excel

Далее, используя вычисленную скорость, я могу рассчитать ускорение (которое является первой производной скорости) тем же методом. На этот раз расчет начинается в строке 6.

Результаты

Теоретически, если мы различаем данные, полученные путем интеграции, мы должны вернуться к исходным данным. Конечно, все численные методы вносят в данные некоторую ошибку.

Но насколько серьезна ошибка? Давайте сравним.

В этом случае мы видим небольшие различия между исходными данными об ускорении и данными, полученными дифференцированием в Excel. Есть также некоторые небольшие различия в двух наборах данных скорости. К счастью, ошибка при численном дифференцировании не накапливается, в отличие от численного интегрирования.

Таблицы данных не являются идеальным способом изучения этих данных, поэтому давайте посмотрим на графики:

Это трудно увидеть, потому что две линии расположены друг над другом, но для всех практических целей скорости одинаковы.

Как насчет ускорения?

Здесь мы видим, что в периоды стабильного или постоянного ускорения два набора данных очень похожи. Однако если в данных об ускорении есть разрыв (т. е. в моменты времени 0,1, 0,45, 0,5, 0,7 и 0,75 сек.), ускорение, полученное дифференцированием (оранжевый цвет), не соответствует исходным данным ускорения (синий цвет).

Это связано с уравнением, которое мы использовали для дифференцирования. Помните, как мы получили производную в точке, усреднив наклон по обе стороны от этой точки? Мы видим результаты этого здесь.

Подведение итогов

Если вы следовали инструкциям, поздравляем! Вы только что выполнили численное дифференцирование с помощью Excel. Вычислить производную в Excel не так сложно, если вы знаете, как это сделать.

ПРОИЗВОДНАЯXY — это мощная функция, использующая кубические сплайны для оценки производной в произвольной точке только на основе набора точек данных (x,y).

С помощью параметров вы можете взвешивать точки данных, использовать точную или сглаженную аппроксимацию методом наименьших квадратов, а также указывать наклоны конечных точек, если они известны.

DERIVXY автоматически сортирует ваши точки данных и усредняет значения y, если ваш набор данных содержит повторяющиеся точки x.

Необходимые входные данные

x вектор координат x точек.

y соответствующий вектор значений y точек.

p точка, в которой вычисляется производная.

Если p — вектор точек, запустите DERIVXY как формулу массива.

Необязательные входные данные

n-го порядка производной. Введите значение 1, 2 или 3. Значение по умолчанию: 1.

удерживайте набор пар ключ/значение для алгоритмического управления, как описано ниже.

Если задано, первая производная сплайновой кривой будет соответствовать указанному значению.
Невозможно наложить с помощью линейного сплайна или с включенным параметром PERIOIDC.

Значения Y в конечных точках должны быть равны, если для параметра PERIOIDC задано значение True.
Ограничения ISLOPE и ESLOPE игнорируются

Нулевое значение будет вычислять точный интерполирующий сплайн, проходящий через точки данных. Большое значение позволит вычислить кривую сглаживания по методу наименьших квадратов.
Коэффициент сглаживания оказывает существенное влияние на вычисленное значение интеграла.

w — строго положительный соответствующий набор весов для (x,y) точек данных. Значение по умолчанию — единица.

В этом примере мы используем функцию f ( x ) = x ⁢ sin ( x 2 ) + 1, затем вычислите его производную из выборочных точек данных, используя DERIVXY, и сравните результат с аналитическими производными, заданными выражением f ' ( x ) = sin ( x 2 ) + 2 ⁢ x 2 ⁢ потому что ( х 2 )

Решение

Используя формулы, показанные в таблице 1, мы с помощью автозаполнения генерируем значения данных (x, y) и аналитические производные для значений x. Числовые значения показаны в Таблице 2 ниже:

A	B
6	1,922075597	1,922075597< /td>
7	-0,124070104	-0,124070104
8	-21,27590825	-21,27590825
9	-80,24890792	80,24890780

Таблица 1

A	B	C
3	x_data	y_data	Аналитические производные при значениях x
4	0	=A4*SIN(A4^2)+1	=SIN(A4^2)+2A4^2COS(A4^2)
5	0,25	=A5*SIN(A5^2)+1	=SIN(A5^2)+2A5^2 COS(A5^2)
6	⇓ Перетащите вниз до строки 20

Таблица 2 < td>13

A	B	C
3	x_data	y_data	Аналитический дер
4	0	1< /td>	0
5	0,25	1,015615	0,1872153
6	0,5	1,123702	0,7318602
7	0,75	1,399977	1,4849677
8	1	1,841471	1,9220756
9	1.25	2,249957	1,0258913
10	1,5	2,16711	-2,0487081
11	1,75	1,138268	-6,0268418
12	2	-0,5136	-5,9859515
2,25	-1,1135	2,5335616
14	2,5	0,917052	12,459939
15	2,75	3,634003	5,3043158
16	3	2,236355	-15,988226
17	3,25	-1,94996	-9,773066
18	3,5	-0,08892	22,972966
19	3,75	4,739551	3,0952707
20	4	-0,15161	-30.933007

Используя формулы DERIVXY, показанные в таблице 3, мы с помощью автозаполнения генерируем числовые производные для значений x и вычисляем относительную ошибку по отношению к аналитическим производным. Численные результаты показаны в таблице 4 ниже.

Обратите внимание, что мы передали определенные имена x_data и y_data для столбцов A4:A20 и B4:B20 соответственно. Это один из способов заблокировать данные, чтобы функция автозаполнения игнорировала эти аргументы и увеличивала только третий аргумент. В качестве альтернативы мы могли бы использовать знак доллара, $, чтобы заблокировать первые два аргумента во время автозаполнения, используя формулу =DERIVXY($A$4:$A$20, $B$4:$B$20, A4) .

Таблица 3 < tr>

E	F
3	Числовые производные	% ошибок
4	=DERIVXY(x_data,y_data,A4)	1
5	=DERIVXY(x_data,y_data,A5)	=ABS((E5-C5)/C5)
⇓ Перетащите вниз до строки 20

Таблица 4 < /tr> < tr>

E	F
3	Числовые производные	% ошибок
4	-0,006256108	100,00%
5	0,189289352	1,11%
6	0,733522457	0,23%
7	1,488966928	0,27%
8	1,923837894	0,09%
9	1,015441218	1,02%
10	-2,07793704	1,43%
11	-6,043962293	0,28%
12	-5,914791221	1,19%
13	2,68187738	5,85%
14	12,35516509	0,84%
15	4,867529358	8,23%
16	-15,99364056	0,03%
17	-7,900514125	19,16%
18	19,69241868	14,28%
19	9,404971886	203,85%
20	-58,06465252	87,71%

Обратите внимание, что ошибки максимальны вблизи конечных точек данных, поскольку подгонка сплайна по умолчанию не ограничивает производные в конечной точке. Но в этом примере мы знаем точные производные в конечных точках из аналитической формулы. Мы можем повысить точность, предоставив эти данные с помощью ключей ISLOPE и ESLOPE в необязательном управляющем аргументе для DERIVXY. Мы называем диапазон K1:L2 end_slopes и определяем следующие пары "ключ-значение" для начального и конечного наклона, используя вычисленные значения аналитических производных в C4 и C20 из таблицы 2 выше.

Мы регенерируем новые производные и ошибки в столбцах H4:H20 и I4:I20 из расширенных формул DERIVXY в таблице 5. Числовые значения, полученные с помощью автозаполнения, показаны в таблице 6 ниже.

Таблица 5

H	I
3	Числовая производная с конечными наклонами	% ошибок
4	=DERIVXY(x_data,y_data,A4,1,end_slopes)	1< /td>
5	=DERIVXY(x_data,y_data,A5,1,end_slopes)	=ABS((H5-C5)/ C5)
⇓ Перетащите вниз до строки 20

Таблица 6 < td>1,02%

H	I
3	Число. Дер. с конечными наклонами	% ошибок
4	0	0,00%
5	0,187612966	0,21%
6	0,733971891< /td>	0,29%
7	1,488845578	0,26%
8	1,923873859	0,09%
9	1,015418708
10	-2,077882964	1,42%
11	-6,044156087	0,29%
12	-5,91407012	1,20%
13	2,679186771	5,75%
14	12,36520643	0,76%
15	4,830054635	8,94%< /td>
16	-15,853783	0,84%
17	-8,422469647	13,82%
18	21,64038321	5,80%
19	2,135069296	31,02%
20	-30,93300669	0,00%

Обратите внимание на уменьшение относительной ошибки при заданных наклонах конечных точек. Имейте в виду, что мы работаем с относительно небольшим размером выборки. Для дальнейшего улучшения потребуется более точная выборка.

DERIVXY вычисляет производную, подгоняя модель кубического сплайна к данным.

Пол Диркс. Подгонка кривых и поверхностей с помощью сплайнов. Численная математика и научные вычисления. Издательство Оксфордского университета, (1995).
Карл де Бур. Практическое руководство по сплайнам (прикладные математические науки). Спрингер, (2001).

Политика конфиденциальности ExcelWorks

Мы не передаем и не продаем информацию, полученную от наших клиентов.

Мы не рассылаем рекламные или нежелательные электронные письма.

Иногда мы можем отправлять по электронной почте нашим клиентам важную информацию, касающуюся транзакций и наших продуктов.

Мы не просматриваем и не храним данные кредитных карт на наших серверах. Транзакции по кредитным картам обрабатываются на защищенных сторонних серверах платежных шлюзов с использованием 256-битного шифрования.

Читайте также: